notas de aula funções de várias variáveis

notas de aula de unções de várias variáveis ciências uema Elaborada por : aimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Proessor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA São Luís Ma AGOSTO / 011

ÍNDICE 1 Funções de várias variáveis 03 p Limites e Continuidade 07 3 Derivadas Parciais 10 4 egra da Cadeia 15 5 Derivadas Parciais Direcionais 0 6 Plano Tangente e eta Normal 4 7 Pontos Etremos Máimos e Mínimos 6 8 Máimos e Mínimos estritos 9 9 Integrais Duplas 3 10 Integrais Triplas 46 11 Coordenadas Polares 44

3 FUNÇÕES DE VÁIAS VAIÁVEIS 1 INTODUÇÃO Vamos estender o conceito de unção a unções de mais de uma variável independente Tais unções ocorrem requentemente em situações práticas Por eemplo, a área aproimada da superície do corpo de uma pessoa depende do seu peso e altura O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e a altura De acordo com a lei do gás ideal, o volume ocupado por um gás coninado é diretamente proporcional à sua temperatura e inversamente proporcional à sua pressão O custo de um determinado produto pode depender do custo do trabalho, preço de materiais e despesas gerais Para ampliar o conceito de unção a unções de um número qualquer de variáveis, precisamos primeiro considerar pontos num espaço numérico n-dimensional Da mesma orma que denotamos um ponto em por um número real, um ponto em por um par ordenado de números reais (, ) e um ponto em 3 por um tripla ordenada de números reais (,, z ), um ponto do espaço n- dimensional, n, é representado por uma ênupla de números reais, sendo comumente denotado por P ( 1,, 3,, n ) FUNÇÕES DE DUAS VAIÁVEIS DEFINIÇÃO : Uma unção de duas variáveis reais a valores reais é uma unção ƒ : A B, onde A Uma tal unção associa a cada par (, ) A, um único número ƒ(, ) O domínio é todo o plano ou parte dele EXEMPLOS : a) ƒ(, ) b) g(, ) c) z OBSEVAÇÃO : Quando os valores de uma unção são dados por uma órmula e não descrevemos eplicitamente o Domínio da unção, admitimos que o domínio consista de todos os pontos (, ) para os quais a órmula é deinida 1 GÁFICO O gráico de uma unção ƒ(, ) é uma superície que representa o conjunto de pontos (,, z ) 3 para os quais (, ) ( domínio) e z ƒ(, )

4 CUVAS DE NÍVEL A representação geométrica de uma unção de duas variáveis não é tarea ácil Então quando se pretende ter visão geométrica da unção, utiliza-se as suas curvas de nível, por ser mais ácil de se obter a sua representação geométrica Uma curva de nível de uma unção ƒ(, ) é a curva ƒ(, ) c ( c cte ) no plano, logo a curva de nível consiste dos pontos (, ) onde a unção tem valor c 3 FUNÇÕES DE TÊS VAIÁVEIS DEFINIÇÃO : Uma unção de três variáveis reais, deinida em A 3, é uma unção que associa, a cada terno (,, z ) A, um único número real w ƒ(,, z ) O domínio é todo o 3 ou parte dele EXEMPLOS : a) ƒ(,, z ) z b) g(,, z ) z 3 c) w 3z 3 1 SUPEFÍCIES DE NÍVEL O gráico de uma unção de três variáveis é um subconjunto do espaço de quatro di - mensões e, como tal, não temos a possibilidade de representá-lo em um desenho Dizemos que se trata de uma hipersuperície de 4 De modo geral, o gráico de uma unção ƒ : A, onde A n é uma hipersuperície do espoco n 1 Como já oi dito não é possível visualizar o gráico de uma unção de três variáveis, pois o gráico é em 4 dimensões Em vez disso, consideramos suas Superícies de Nível Uma superície de nível de ƒ(,, z ) é uma superície ƒ(,, z ) c no 3, onde a unção tem valor constante EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Seja a unção deinida por ƒ(, ) 1 3 Determine : a) Domínio de ƒ ; b) ƒ( 1, 4 ) c) ƒ( 0, 9 ) d) ƒ( 1, 1 ) Determinar as superícies de nível da unção w z Dar eemplos de três pontos pertencentes ao gráico de w 3 Determinar o domínio e descrever o mesmo das unções : a) ƒ(, ) ln ( ) b) ƒ(, ) 4 c) ƒ(,, z ) ln ( 16 4 4 z ) d) ƒ(, ) 1

5 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Encontrar uma unção de várias variáveis que nos dê : a) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de metros de raio e metros de altura b) A temperatura nos pontos de uma esera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da esera Seja a unção g(, ) Calcule a imagem dos pontos abaio a) P( 3, 5 ) b) M( 4, 9 ) c) T(, 4 4 ) ; 5 3 Esboce o gráico das unções abaio : a) ƒ(, ) 4 b) g(, ) c) h(, ) 5 d) ƒ(, ) 1 4 Encontre o domínio e conjunto imagem das unções de duas variáveis abaio a) ƒ(, ) 1 b) g(, ) ln ( 1) c) z d) g(, ) e) ƒ(, ) e g) h(, ) 9 5 Trace algumas curvas de nível das unções abaio: a) ƒ(, ) b) g(, ) c) ƒ(, ) sen d) z e) h(, ) 9 6 Encontre o domínio das unções abaio : a) ƒ(,, z ) z b) g(,, z ) ln ( 4) c) ƒ(,, z ) 1 z d) ƒ( r, s, v, p ) rs tg v 4sv 1 e) h(, ) 9 ) h(,, z ) 5

6 7 Dada a unção h(, ) 5 a) Determine o seu domínio e o represente no plano ; b) Escreva a equação da curva de nível c 4 e a represente no plano 8 A temperatura do ponto P(, ) de uma chapa é dada por T(, ) 6 Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto A( 1, 4 ) e a represente no plano 10 9 O potencial elétrico em uma região do plano é dado por V(, ) volts) (V é medido em a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 30 volts? b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto P( 1, 1 ) 10 Seja (, ) 3 a receita de vendas de dois produtos de qualidades e Esboce o gráico dos (, ) para os quais 10, tal curva é chamada em Economia de iso receita 11 Sejam e as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preços unitários são $ 10,00 e $ 30,00 respectivamente a) Determine a unção receita (, ) ; b) Calcule ( 0, 40 ) ; c) epresente graicamente os pares para os quais $ 100,00 b) $ 1400,00 1 Seja ƒ(, ) 3 Calcule: a) ƒ( 1, 1 ) b) ( h, ) h (, ) a ) 1 e b) 3 13 Considere a unção ƒ dada por ƒ(, ) 1 a) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da unção ; b) Esboce algumas curvas de nível da unção 14 Hughes 99 A temperatura ajustada pelo ator vento( sensação térmica ) é a temperatura que você sente como resultado da combinação do vento e da temperatura, conorme tabela a) Se a temperatura é de 0º C e a velocidade do vento é de 15 km/h, que temperatura você sente? b) Se a temperatura é de 35º C e a velocidade do vento é de 15 km/h, que temperatura você sente?

7 15 Hughes 306 Esboce um diagrama de curvas de nível correspondente à unção C ( d, m ) 40d 0,15m Inclua curvas de nível com os valores C 50, C 100, C 150 e C 00 16 Hughes 306 A igura abaio representa as curvas de nível da unção z ƒ(, ) A unção z é crescente ou decrescente em relação à variável? E em relação à variável?

8 LIMITES E CONTINUIDADE 1 INTODUÇÃO Enquanto um ponto variável num eio coordenado pode se aproimar de um ponto io o por apenas dois sentidos, um ponto variável (, ) num plano coordenado pode se aproimar de um ponto io P( o, o ) por um número ininito de caminhos DEFINIÇÃO : Dizemos, que o limite de ƒ(, ) é o número L e escrevemos lim ) (, P (, ), desde que o valor de ƒ(, ) da unção em (, ) tende a L, quando (, ) tende a ( o, o ) sobre todos os caminhos que estão no domínio de ƒ ou seja : L lim (, ) L P para todo ε > 0, eiste δ > 0 tal que, para todo (, ) D ƒ, (,) 0 < ( ) ( < δ ƒ(, ) L < ε o o ) 1 1 POPIEDADES Se lim (, ) L P e lim g(, ) M (,) P, então: (,) a),) P lim ( ( ƒ g ) L M b) lim (,) P (ƒ g) L M c),) P lim ( ( ƒ g) L M d) lim (,) P k ƒ k L, onde k e) lim (,) P L g M, com M 0 1 EGA DOS DOIS CAMINHOS Há casos em que o limite de uma unção de duas variáveis não eiste, então nesta situação, para mostrar que o limite não eiste, utilizamos conjuntos particulares convenientes( caminhos ), dados geralmente por curvas que passem em ( o, o ) Se para dois caminhos dierentes para um mesmo ponto P resulta em dois limites dierentes, ou em um dos caminhos o limite não eiste, então esse tal limite não eiste EXECÍCIO POPOSTO : Mostre que o limite lim P (0,0) não eiste

9 CONTINUIDADE DEFINIÇÃO : Uma unção ƒ(, ) é Contínua em um P( o, o) D ƒ, se e somente se, lim (,) P ƒ(, ) ƒ( o, o), ou seja: a) ƒ é deinida em ( o, o) ; b) lim (,) P ƒ(, ) eiste e c) lim (,) P ƒ(, ) ƒ( o, o) EXECÍCIO POPOSTO : Veriique se a unção ƒ(, ) 3 3 1 é contínua no ponto P( 1, ) Se ƒ or contínua em todos os pontos de um subconjunto A de D ƒ, então ƒ é contínua em A Se ƒ e g orem unções contínuas em um ponto P( o, o) que pertencem a seus domínios, então ƒ g, ƒ g, ƒ g e, com g 0, também serão contínuas nesse ponto g Se z ƒ(, ) or uma unção contínua de e e w g( z ) or uma unção contínua de z, então a composta w g(ƒ(, ) é contínua Se unção pode possui uma descontinuidade evitável ( ou não essencial ), então é possível redeinir a unção, obtendo assim uma unção contínua EXECÍCIO POPOSTO : As unções, são descontínuas na origem Determine se a descontinuidade é removível ou não Se a descontinuidade or removível, redeina ƒ( 0, 0 ), de tal modo que a nova unção seja contínua na origem a) G(, ) b) ƒ(, ) 3 c) g(, ) 4

10 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Determine os limites, caso eistam a) lim p (,1) ( 4 ) b) lim P ( 5,3) 3 c) lim p (1,4) d) 3 lim e e) P (0,0) lim e ) lim z 1 P (0,ln ) P (1,3,4) g) lim P (0,0) e sen h) lim P (0,0) i) lim P (0,0) j) lim P (1,1) 3 3 1 1 l) lim P (0,0) 3 1 m) lim P (1,) 4 5 Mostre pela deinição que lim ( 3 4 ) 1 P (3,) 3 Determine o conjunto no qual a unção é contínua a) ƒ(, ) ln ( 1 ) b) g(, ) c) ƒ(,, z ) tg z 5 d) ƒ(, ) 1 e) h(, ) sen ) F(, ) arc sec ( ) 4 Para cada item abaio φ g o ƒ, determine o conjunto de pontos para os quais a unção resultante é contínua a) ƒ(, ) z tg e g( z ) z 1 b) ƒ(, ) w ln e g( w ) e w 5 Dada a unção ƒ(, ) seja contínua em P (, ) 10, k, se se (, ) (, ) (,) (,), determine o valor de k, para que ƒ k 8

11 DEIVADAS PACIAIS 1 INTODUÇÃO Podemos aplicar o cálculo de derivadas de Função a uma variável para uma Função de duas variáveis Podemos, por eemplo, tomar ou constante e considerar ƒ(, ) como uma unção da outra variável As derivadas das unções resultantes são denominadas Derivadas Parciais DEFINIÇÃO 1 : A derivada parcial de ƒ(, ) em relação a é obtida, tomando-se como constante e derivando-se em relação a, ou seja: lim 0 (, ) (, ) DEFINIÇÃO : A derivada parcial de ƒ(, ) em relação a é obtida, tomando-se como constante e derivando-se em relação a, ou seja : lim 0 (, ) (, ) Na maioria dos casos, não temos que calcular os limites acima, para determinar as deriva - das parciais da unção Ao invés disso, utilizamos as regras de derivação de unções de uma variável EXECÍCIO POPOSTO : Calcule as derivadas parciais das unções abaio: a) ƒ(, ) 3 b) ƒ(, ) sen( ) OBSEVAÇÃO : Se a unção possui três variáveis ou mais variáveis o procedimento para cálculo das Derivadas Parciais é análogo ao cálculo para unções de duas variáveis EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Encontrar as derivadas parciais das seguintes unções a) ƒ(,, z ) z z b) g(,, z, r, t ) r z t r t z r t Seja a unção abaio, calcule as derivadas parciais ƒ(, ), 0, se se (, ) (0, 0) (, ) (0, 0)

1 DEIVADAS PACIAIS DE ODEM SUPEIO Se ƒ é uma unção de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem são, também, unções de duas variáveis Se as derivadas dessas unções eistem, elas são chamadas derivadas parciais de ª ordem de ƒ Para uma unção z ƒ(, ) temos quatro derivadas parciais de ª ordem Já vimos como encontrar as unções unções: e, então utilizando o mesmo procedimento, podemos encontrar as ƒ ƒ 3 ƒ ƒ ƒ EXECÍCIOS POPOSTOS : 1 Seja ƒ(, ) 3 5 Encontre as derivadas parciais até a ª ordem Seja a unção G(,, z ) ² ³ z ² ³ 4 z 5 Encontre as seguintes derivadas parciais de 3ª ordem : g, g z, g z, g z z 1 IGUALDADE DAS DEIVADAS PACIAIS TEOEMA : Se ƒ(, ) e suas derivadas parciais ƒ, ƒ, ƒ e ƒ orem deinidas numa região que contenha o ponto ( o, o) e orem contínuas nesse ponto, então : ƒ ( o, o) ƒ ( o, o) 3 DIFEENCIABILIDADE DEFINIÇÃO : Uma unção ƒ é dierenciável em um ponto ( o, o) D ƒ se as derivadas parciais ƒ e ƒ eistirem e orem contínuas neste ponto EXECÍCIO POPOSTO : Veriique se a unção ƒ(, ) ³ é dierenciável nos pontos do seu domínio Se or dierenciável, calcule o dierencial no ponto P( 1, ), utilizando a órmula : dz a b, onde a ƒ ( P ) e b ƒ ( P )

13 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Stewart 917 O índice de sensação térmica W é a temperatura que se sente quando a temperatura real or T e a rapidez do vento( v ) e portanto podemos escrever W ƒ( T, v ) Baseando se nos dados da tabela abaio, Estime os valores de W r ( 15, 30 ) e W v ( 15, 30 ) e dê uma interpretação para os resultados Aplique a deinição para encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das unções abaio : a) ƒ(, ) 3 ² ² b) g(, ) 6 3 7 3 Determine as derivadas parciais das unções abaio : a) ƒ(, ) 4 3 3 1 b) ƒ(, ) ( 3 ) c) ƒ(, ) sen 3 cos d) ƒ(, ) e sen e) ƒ( u, v ) u v e ) ƒ(, ) e ln g) ƒ(, ) cos( ) h) ƒ( r, s, t ) r e s cos t i)ƒ(,, z ) e z e z e j) ƒ(,, z ) z e z l) ƒ(, ) sec ( ) m) ƒ( u, v, w, ) ln (u v w ) 4 Seja ƒ(, ) e a, 0, se se (, ) (, ) (0, (0, 0) 0), encontre as derivadas parciais da unção ƒ em relação a 5 Considere a unção ƒ(, ) 3 Calcule : a) ƒ ( 3, ) b) ƒ ( 3, ) 6 ; 1 1 6 O volume de cone circular reto de altura h com raio r é V( r, h ) π 3 r h Qual é a taa de variação do volume em relação ao raio quando r m e h 6m? 8π m ³

14 7 Uma placa de metal aquecida em um plano de modo tal que a temperatura T no ponto (, ) é dada por T(, ) 10( ) Determine a taa de variação de T em relação à distância no ponto P( 1, ) na direção do eio dos e na direção do eio dos 00 ; 400 8 Encontre a inclinação da reta tangente à curva z 6, resultante da interseção de z ƒ(, ) com, no ponto P(, 1, 1 ) 9 Encontre a inclinação da reta tangente à curva z 5 1, resultante da interseção de z ƒ(, ) com 1, no ponto P(, 1, 6 ) 10 Seja C o traço do parabolóide z 9 no plano 1 Determine a equação da tangente a C no ponto P( 1,, 4 ) 1 z 4 1 11 Suponha que, em um dia, quando operários constituem a orça de trabalho e são usadas máquinas, um abricante produza ƒ(, ) mesas onde : ƒ(, ) 4 3 ; 4 5 e 3 10 a) Ache o número de mesas produzidas em 1 dia que compareceram 10 operários e oram usadas 5 máquinas b) Determine ƒ ( 10, 5 ) ; c) Determine ƒ ( 10, 5 ) ; d) Interprete os resultados dos itens b e c ; 375 ; 40 ; 70 1 A temperatura de um ponto qualquer de uma chapa de aço é dada por T(, ) 4 ( T em Celsius, e em metros ) a) Determine a equação da isoterma que passa no ponto P( 0, 1 ) ; b) Determine as taas de variação na direção dos eios coordenados e, no ponto P(, 1 ) ; c) Com relação ao item anterior, em qual direção a temperatura da chapa aumenta mais rapidamente 4º C ; 8º C ; eio 13 Anton 957 De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por P kt, onde k é a constante de proporcionalidade Suponha que V seja medido em polegadas cúbicas( pol 3 ), T seja medido em kelvins( K ), e que para um certo gás a constante V de proporcionalidade( k 10 pol/k )

15 a) Determine a taa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura or 80 K e o volume permanecer constante em 50 pol 3 b) Determine a taa de variação instantânea do volume em relação à pressão se a pressão or 16 lb/pol e a temperatura permanecer constante em 80 K 14 Calcule as derivadas de ª ordem das unções abaio: a) ƒ(, ) 4 5 b) ƒ(, ) 3 ² 5 ² ² c) ƒ(, ) ln ( 3 ) 15 Seja ƒ(, ) 3 4, encontre: a) ƒ (, 1 ) b) ƒ (, 1 ) c) ƒ (, 1 ) 16 Seja g(, ) 3 e - 4, encontre g ( 0, ) 1 ; 3 ; 48 48 17 Calcule ƒ, ƒ z e ƒ z para ƒ(,, z ) e 3 sen( 4z ) 18 Seja um tanque cilíndrico a ser construído em chapa galvanizada Encontre o aumento aproimado de seu volume quando o raio aumenta de 3m para 3,05 e sua altura de 10 m para 10,1 m 3,9π m ³ 19 Sabe-se que certa unção z ƒ(, ) é tal que ƒ( 1, ) 3 e suas derivadas satisazem 11 18 ƒ ( 1, ) e ƒ ( 1, ) 5, aça uma estimativa razoável para ƒ, 10 10 U 0 A energia consumida num resistor elétrico é dada por P watts Se U 10 volts e 1 ohms, calcular um valor aproimado para a variação de energia quando V decresce de 0,001 volts e aumenta de 0,00 ohms 0,w 1 Um recipiente de metal, echado, na orma de um cilindro circular reto, tem sua altura interna de 6cm, um raio interno de cm, e uma espessura de 0,1 cm Se o custo do material a ser usado é de $ 1,50 por centímetro cúbico Ache por dierenciais o custo aproimado do metal que será empregado na produção do recipiente $ 15,07 Stewart 94 Utilizando a tabela do eercício 1, da página 1, determine a aproimação linear para a sensação térmica W ƒ( T, v ) quando T está próimo de 15 º C e v está próimo de 30 km/h Use essa estimativa do índice de calor quando T 17 ºC e v 33 km/h

16 EGA DA CADEIA 1 INTODUÇÃO No estudo de unções de uma variável utilizamos a regra da cadeia para calcular a derivada de uma unção composta Vamos, também utilizar a regra da cadeia para o caso de unções de várias variáveis Inicialmente vamos trabalhar com unções de duas variáveis FUNÇÕES DE DUAS VAIÁVEIS 1 1º CASO : Se w ƒ(, ) tem derivadas parciais ƒ e ƒ contínuas e se, ( t ) e ( t ) são unções dierenciáveis em t, então a unção composta w ƒ( ( t ), ( t ) ) é uma unção dierencial de t e : dw ƒ [ ( t ), ( t ) ) ] ' ( t ) ƒ [ ( t ),( t ) ] ' ( t ) ou dt dw dt d dt d dt EXECÍCIOS POPOSTOS : 1 Sejam as unções ƒ(, ), ( t ) t 1 e ( t ) t 4 Encontre, utilizando a regra da cadeia d dt Qual é a derivada de G( t ) H( t 3, 5t ) em t 1, se H(, ) tem derivadas de 1ª ordem contínuas e H ( 1, 5) 4, H ( 1, 5)? 3 Seja a lei do gás ideal PV k T Encontre a taa segundo a qual a temperatura está variando no instante em que o volume do gás é 10m 3 e o gás está sob uma pressão de 8N/m se o volume está aumentando a uma taa de m 3 / s e a pressão está decrescendo a uma taa de 0,1 N /m por segundo Considere k 10 º CASO : Sejam w ƒ(, ), ( u, v ), ( u, v ) e w possui derivadas parciais de 1ª ordem contínuas então: w u u u e w v v v EXECÍCIOS POPOSTOS : 1 Sejam as unções ƒ( u, v ) u v 4, u(, ) e v(, ) Encontre as derivadas ƒ e ƒ em unção de e Sejam as unções ƒ(, ), ( r, s ) 3r s e ( r, s ) r s Encontre as derivadas ƒ r e ƒ s em unção de r e s

17 3 EGA DA CADEIA PAA FUNÇÕES DE TÊS VAIÁVEIS 31 1º CASO : Suponhamos que ƒ(,, z ) tem derivadas de 1ª ordem contínuas e que ( t ), ( t ), z z( t ) são unções dierenciáveis em t, então : d dt ƒ [( t ), ( t ), z( t )]'( t ) ƒ [( t ), ( t ), z( t )]'( t ) ƒ z [( t ), ( t ), z( t )]z'( t ) t d dt d dt dz z dt EXECÍCIO POPOSTO : Suponhamos que as derivadas parciais de ƒ(,, z ) sejam contínuas e que ƒ ( 1, 1, 1 ) 4, ƒ ( 1, 1, 1 ) 5, ƒ z ( 1, 1, 1 ) 6 Qual é a derivada d em t 1, se t, t 3 e z t? dt 3 º CASO : Se G ƒ(,, z ), ( u, v, w ), ( u, v, w ) e z z( u, v, w ), então possuem derivadas de 1ª ordem contínuas, então: G u u u z z u G v v v z z v G w w w z z w EXECÍCIOS POPOSTOS : 1 Sejam as unções G(,, z ) z, ( r, s ) r, ( r, s ) 3r s e z z( r, s ) s Encontre as derivadas G r e G s Calcule F ( 0, 0, 0 ), F ( 0, 0, 0 ), F ( 0, 0, 0 ) e F z( 0, 0, 0 ), sendo F(,, z ) (,, z) L( 0, 0, 0 ) 9, L ( 0, 0, 0 ) 5, L ( 0, 0, 0 ) 4 e L z ( 0, 0, 0 ) 3 5 1 3; ; ; 6 3 L e 4 DEIVAÇÃO IMPLÍCITA No estudo das unções de uma variável, vimos que uma unção ƒ(, ) é deinida implicitamente pela equação F(, ) 0 se ao substituirmos por ƒ( ), essa equação se transorma numa identidade

18 EXECÍCIO POPOSTO : A equação 1, deine implicitamente a unção 1 ², logo F(, ) 0 é uma identidade Do mesmo modo, dizemos que uma unção z ƒ(, ) é deinida implicitamente pela equação F(,, z ) 0 se, ao substituirmos z por ƒ(, ), essa equação se reduz a uma identidade 41 DEIVADAS PACIAIS DE UMA FUNÇÃO IMPLÍCITA z ƒ(, ) Seja a equação F(,, z ) 0, onde F é uma unção implícita de duas variáveis ( e ), tal que z ƒ(, ), para todo (, ) D ƒ, então : z F F z (, (,, z), z) z F F z (, (,, z), z) EXECÍCIO POPOSTO : Encontre as derivadas parciais da unção F(,, z ) z 4 z 3 0, onde z ƒ(, ) 4 DEIVADA DAS FUNÇÕES ( ) e z z( ) DEFINIDAS IMPLICITAMENTE PO F(,, z) 0 G(,, z) 0 Suponhamos que as unções dierenciáveis ( ) e z z( ) sejam deinidas implicitamente pelo sistema F(,, z) 0, onde F e G são unções dierenciáveis G(,, z) 0 d dz Para obter as derivadas e, basta derivarmos as equações F e G em relação a d d, utilizando-se para isto a egra da Cadeia, ou seja : F d d G d d F d d G d d F z dz d G dz z d 0 0 EXECÍCIO POPOSTO : Sejam as unções ( ) e z z( ) deinidas pelo sistema z d dz, com z > 0, encontre e d d

19 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Seja ƒ(, ) sen( ), ( t ) t 5 e ( t ) t 3, encontre d dt Seja ƒ(, ) ln ( ), ( u, v ) u e v e ( u, v ) u v 3, encontre ƒ u e ƒ v 3 Calcule g( ) e ƒ ( 8, 16 ) 7 dg ( ), para g( t ) ƒ( t 3, t 4 ), onde ƒ( 8, 16 ) 3, ƒ ( 8, 16 ) 5 e dt 3; 164 4 Encontre dw, quando w z, e t cos t, e t sen t, z e t dt 5 Determine W u, se W, u v, v e u e dê a resposta em unção de e 6Determine W v, quando u 0, v 0, se W ( ) 4 ( ) 3, u v 1 e u v 7 As dimensões de um sólido com orma de paralelepípedo, num determinado instante t o, são : L( t o ) 13cm ( comprimento ), W( t o ) 9cm ( largura ) e H( t o ) 5cm( altura ) Se L e H crescerem à razão de cm/s e W decrescer à 4cm/s Determine as taas de variação do volume e da área total no instante t o 64 ; Zero 8 Uma unção z z(, ) é deinida pela equação z 5 z 6 e pela condição z( 1,1 ) 1 Calcule z ( 1, 1 ) e z ( 1, 1 ) 1 ; 1 9 Seja g( t ) ƒ ( 3t, t 1 ) a) Encontre g'( t ) b) Calcule g'( 0 ), admitindo ƒ ( 0, 1 ) 3 1 10 Mostre que z u z v 0, se z ƒ( u v, v u ) b) 1 dz 11 Se z e sen t, cos t, achar, utilizando a regra da cadeia Veriicar o resulta- dt do substituindo e pelos seus valores antes de derivar 1 Se u t z e 1 t, 1 t 3, z 1 t 4, achar du dt

0 13 Um ponto móvel se desloca sobre a curva interseção da superície z com o plano 0 Achar as velocidades com que crescem e z no instante em que 3 Sabendo que neste instante cresce com uma velocidade de duas unidades por segundo Qual a velocidade do móvel? 4 ' ; z' ; v 4,44 7 14 Em um cilindro o raio da base decresce à razão de 0,1 dm/s e a altura de 0, dm/s com que velo - cidade decresce o volume no momento em que o raio é igual a 4dm e a altura igual a 6dm? 8π dm³ / s 15 Num instante genérico t, as coordenadas de um ponto móvel P, são : 3 t, 3t Achar a velocidade angular do raio vetor OP quando t 1s 1 rad / s 16 Sejam ƒ(, ) 3, 3t e t 1 Calcule g''( t ), utilizando a regra da cadeia, sendo g( t ) ƒ(, ) 17 Supondo que as unções dierenciáveis ( ) e z z( ), z > 0, sejam deinidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d dz e d d z z 4 18 Sejam ƒ(, ) 3, 3t e t 1 Calcule g''( t ), utilizando a regra da cadeia, sendo g( t ) ƒ(, ) 19 Seja z ƒ( u v, v u ) onde ƒ(, ) é de classe C ² num aberto de ² Epresse z u u em termos de derivadas parciais de ƒ, utilizando regra da cadeia 0 Stewart931 A pressão P ( Kpa ), o volume V( litros ) e a temperatura T( K ) de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da órmula PV 8,31T Determine a taa de variação da pressão quando a temperatura é de 300K está aumentando com a taa de 0,1 K/s e o volume é de 100l está aumentando com a taa de 0, l/s

1 DEIVADAS DIECIONAIS 1 INTODUÇÃO A derivada em relação a ( ƒ ) e a derivada em relação a ( ƒ ), só nos dizem as taas de variação de ƒ(, ), quando (, ) se desloca paralelamente aos eios dos ou dos Para se ter um completo conhecimento da unção, precisamos saber suas taas de variação, quando (, ) se desloca em outras direções Tais taas de variação são chamadas Derivadas Direcionais A derivada direcional de ƒ, a partir de um ponto P( o, o ) é determinada pela reta orientada ( r ) que orma com o eio- um ângulo α 11 DEFINIÇÃO : Se ƒ(, ) é dierenciável no ponto P( o, o ) então ƒ(, ) tem derivadas direcionais neste ponto em qualquer direção e vale : ƒ α ( o, o ) ƒ ( o, o ) cos α ƒ ( o, o ) sen α Podemos determinar a direção de uma reta r através do seu vetor diretor u ou então do seu versor ( v ), portanto podemos escrever que : ƒ u ( o, o ) D u ƒ( o, o ) ƒ ( o, o ) a ƒ ( o, o ) b, onde v a i b j EXECÍCIO POPOSTO : Encontre a derivada direcional da unção ƒ(, ) 4 ² ² em P( 1, ), sendo α 60º VETO GADIENTE DEFINIÇÃO : Chama-se Gradiente de ƒ(, ) no ponto ( o, o ) e é representado todo por grad ƒ( o, o ) ou ƒ( o, o ), o vetor : ƒ( o, o ) ƒ ( o, o ) i ƒ ( o, o ) j EXECÍCIO POPOSTO : Seja a unção g(, ) 4² ² Encontre o vetor gradiente da unção no ponto A(, 3 )

A órmula para encontrar uma derivada direcional pode ser escrita em unção do Vetor Gradiente e do versor( v ) do vetor diretor da reta, ou seja : ƒ u ( o, o ) ƒ( o, o ) v 1 POPIEDADES DO GADIENTE Seja ƒ dierenciável no ponto (, ) 1ª : Se grad ƒ (, ) 0, então D u ƒ(, ) 0, para todo u ; ª : A direção de crescimento máimo de ƒ é dada por ƒ(, ) O valor máimo de D u ƒ(, ) é ƒ(, ) 3ª : A direção de crescimento mínimo de ƒ é dada por ƒ(, ) O valor mínimo de D u ƒ(, ) é ƒ(, ) 3 DEIVADA DIECIONAL E VETO GADIENTE PAA FUNÇÕES DE TÊS VAIÁVEIS Para as unções de três variáveis temos que a derivada direcional é dada por : ƒ u ( o, o, z o ) ƒ ( o, o, z o ) cos α ƒ ( o, o, z o ) cos β ƒ z ( o, o, z o ) cos γ, onde : cos α, cos β e cos γ são os cossenos diretores da reta r : Utilizando as coordenadas do vetor diretor da reta temos : ƒ u ( o, o, z o ) ƒ ( o, o, z o ) a ƒ ( o, o, z o ) b ƒ z ( o, o, z o ) c, onde v ( a, b, c ) ou ƒ u ( o, o, z o ) ƒ( o, o, z o ) v, onde v é o versor de u O vetor gradiente para unção de três variáveis é calculado através da epressão : ƒ ƒ i ƒ j ƒ z k EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Seja a unção ƒ(,, z ) ² ² 4z, encontre a derivada direcional e o vetor gradiente de ƒ no ponto B(, 1, 1 ) Stewart 949 A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como sendo a origem A temperatura no ponto P( 1,, ) é de 10º a) Determine a taa de variação de T em P( 1,, ) em direção ao ponto T(, 1, 3 ) b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura na bola?

3 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Qual é a derivada de ƒ (, ) 3 no ponto P(, 1 ) na direção do vetor AB e B( 4, 3 )?, onde A( 3, 1) Calcule o gradiente da unção e a derivada direcional no ponto, na direção e no sentido indicados : 3 a) ƒ(, ) sen( ), em P, π, 4 1 u i j 5 5 b) ƒ(, ) e, em P (4, 3 ), u i 3 j π π π c) ƒ(,, z ) sen sen z z sen, em P,, 6 3, u i k 4 3 v i j, então, quan- 5 5 3 ; 4 7 1 1 3 Se D uƒ( 1, ) para u i j e D vƒ( 1, ) 0 para to valem ƒ ( 1, ) e ƒ ( 1, )? 4 Determine a direção segundo a qual ƒ decresce mais rapidamente a partir de P( 1, 1 ) e a razão de variação de ƒ nessa direção sendo ƒ(, ) 5 Quais as duas direções em que a derivada de ƒ(, ), no ponto P(, 5 ), é nula? 6 Calcule a derivada direcional de ƒ(, ) 3 no ponto P( 1, 1 ) e na direção da reta tangente à curva no ponto P, no sentido dos crescentes 4 5 7 Achar as derivadas direcionais das seguintes unções no ponto dado e segundo a direção indicada Achar ainda o módulo e a direção do gradiente no mesmo ponto a) z ; P(, 1 ) e α 60º b) z ln ; P(, 1 ) e α 30º c) w z ; P( 1,, 3 ) na direção da reta determinada pelos pontos P( 1,, 3, ) e Q( 3, 5, 0 ) d) w z z ; P( 1, 1, 1 ) e α 60º, β 45º e γ 60º e) z 3 ; P( 1, 1 ) na direção da tangente à parábola, no sentido positivo

( E V ) no ponto P(, 3 ) 0,43 4 1 8 Seja T a epressão da temperatura de um disco metálico, no ponto (, ) relativamente a um sistema cartesiano com a origem no centro do disco Achar a razão de variação da temperatura no ponto P(, 1 ), na direção α que az um ângulo de 30º o eio dos Achar o gradiente da temperatura no mesmo ponto 0,18 10 9 Um potencial elétrico é dado pela órmula V Achar a intensidade do campo elétrico π 10 Calcule a derivada direcional da unção ƒ(, ) sen( ) no ponto P 1, e na direção : a) do eio dos b) do vetor i j c) em que ela é máima ; 4 ; 5 11 Uma partícula que procura o calor está localizada no ponto P(, 3 ) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (, ) é : T(, ) 10 8 Determine uma equação para a trajetória da partícula se ela se mover se continuamente na direção do aumento máimo da temperatura

5 PLANO TANGENTE E ETA NOMAL 1 PLANO TANGENTE E ETA NOMAL As retas normais são muito importantes na análise de superícies e sólidos Por eemplo, considere a colisão de duas bolas de bilhar Quando uma bola em repouso é atingida em um ponto P de sua superície, ela se movimenta ao longo da reta de impacto determinada pelo ponto P e pelo centro da bola Essa reta de impacto é a reta normal à superície da bola no ponto P No processo de achar uma reta normal a uma superície, seremos capazes, também, de re - solver o problema de encontrar um plano tangente à superície DEFINIÇÃO : Seja F dierenciável no ponto P ( o, o, z o ) de uma superície S dada por F(,, z ) 0, onde F( o, o, z o ) 0 1 O plano contendo P e perpendicular a em P ; F( o, o, z o ) é chamado de plano tangente de S A reta contendo P e contendo a mesma direção que F( o, o, z o ) é chamada de reta normal ou perpendicular a S em P ; 11 EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE Seja F dierenciável no ponto P ( o, o, z o ) então a equação do plano tangente à superície S dada por F(,, z ) 0, em ( o, o, z o ) é : F ( P ) ( o ) F ( P ) ( o ) F z( P ) ( z z o ) 0 EXECÍCIO POPOSTO : Seja ƒ(, ) 3 Determine as equações do plano tangente no ponto P( 1,, 5 ) 1 EQUAÇÕES DA ETA NOMAL Seja F dierenciável no ponto P ( o, o, z o ) então as equações da reta normal ao plano tangente da superície S dada por F(,, z ) 0, em ( o, o, z o ) são : z z o o o λ λ λ F F F z ( ( ( P P P ) ) ) EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Encontre a equação da reta normal ao gráico de ƒ(, ) 4, no ponto P( 1, ) Determine as equações do plano tangente e a reta normal à superície G(,, z ) 3z 4 no ponto P( 1,, 1 ) OBSEVAÇÕES : 1 O plano tangente é normal A reta normal é paralela a F em P F em P

6 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Para cada unção abaio, encontre a equação do plano tangente e da reta normal no ponto indicado : a) ƒ(,, z ) 3 3 z 76 em P( 1,, 3 ) b) ƒ(, ) 3, em P(, 1 ) c) z 3 z 3 3z, em P( 1, 1, ) d) g(, ) ³, em P(, ) e) 9 36 4z 108, em P(, 1, 3 ) Determine os pontos da hiperbolóide 4z 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4 4z 5 3 Para cada uma das superícies abaio, encontre a equação de um vetor perpendicular à superície no ponto P indicado 1 1 a) z 9 ; P( 1,, ) b) z ; P,1, c) z 0 ; P(, 3, 6 ) 4 Encontre a equação das retas que passam pela origem e são normais à superície z 0 e z 1 5 Achar a equação do plano tangente e as equações da reta normal do cone z no ponto P( 3, 4, 5 ) 6 Achar a equação do plano tangente e as equações da reta normal para a parabolóide z no ponto P(, 3, 6 ) 7 Achar os pontos da superície z 4 6 9, em que o plano tangente é paralelo ao plano O P(, 3, 4 ) 8 Obtenha as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção do parabolóide z e o elipsóide 3 z 9 no ponto P( 1, 1, ) espostas : 5 r : 3 6λ ; 4 8λ ; z 5 10λ e π : 3 4 5z 50 0 6 π : 3 z 6 0 e r : 3λ ; 3 λ ; z 6 λ 8 r : 1 6λ ; 1 7λ ; z λ

7 PONTOS EXTEMOS 1 INTODUÇÃO As unções de duas variáveis podem ter valores Máimos e Mínimos ( Absolutos e elativos ), eatamente como as unções de uma variável Os pontos etremos de uma unção de duas variáveis pode ocorrer na ronteira de uma região ou no seu interior O modo de obter tais valores para unções de várias variáveis é em tudo análogo ao do das unções de uma variável, a não ser pelo ato de agora termos mais derivadas a eetuar Consideremos uma unção de duas variáveis ƒ : A, onde A DEFINIÇÃO 1 : Seja P( o, o ) A Diremos que ƒ( o, o ) é o Máimo da unção ƒ em A se e somente se, ƒ(, ) ƒ( o, o ) para todo ponto do domínio da unção ƒ DEFINIÇÃO : Seja P( 1, 1 ) A Diremos que ƒ( 1, 1 ) é o Mínimo da unção ƒ em A se e somente se, ƒ(, ) ƒ( 1, 1 ) para todo ponto do domínio da unção ƒ PONTO CÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VAIÁVEIS Seja z ƒ(, ) deinida em um conjunto D Um ponto ( o, o ) D é um ponto crítico de ƒ se as derivadas parciais são iguais a zero ou se ƒ não é dierenciável em ( o, o ) D Todo ponto etremo de uma unção é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é e - tremo O ponto crítico que não é etremante é chamado Ponto de Sela 3 CONDIÇÕES NECESSÁIAS PAA A EXISTÊNCIA DE PONTOS EXTEMOS Seja z ƒ(, ) uma unção contínua, então os valores etremos de ƒ poderão ocorrer somente em : a) pontos de ronteira do domínio de ƒ ; b) pontos interiores onde ƒ ƒ 0 ; c) pontos onde ƒ e ƒ não eistem EXECÍCIO POPOSTO : Determinar os pontos críticos da unção ƒ(, ) 3 3 3 4 CONDIÇÃO SUFICIENTE PAA UM PONTO CÍTICO SE EXTEMO LOCAL Seja ƒ uma unção que possui derivadas parciais de 1ª e ª ordem em qualquer região circular aberta que contenha ( o, o ) e se ƒ ( o, o ) ƒ ( o, o ) 0, ou seja, ( o, o ) é um ponto crítico de ƒ Seja o determinante : H(, ) H(, ) ƒ ƒ ƒ

8 Então temos que : 1º : Se H(, ) > 0 então : a) se ƒ < 0 ou ƒ < 0 em ( o, o ), a unção possui Máimo Local ; b) se ƒ > 0 ou ƒ > 0 em ( o, o ), a unção possui Mínimo Local ; º : Se H(, ) < 0 em ( o, o ), a unção possui Ponto de Sela ; 3º : Se H(, ) 0 em ( o, o ), nada se pode concluir, sobre o ponto crítico EXECÍCIO POPOSTO : Seja a unção ƒ(, ) 3 3 3 Classiique os pontos críticos de ƒ 5 PONTOS CÍTICOS PAA FUNÇÕES DE TÊS VAIÁVEIS Os conceitos de máimo e de mínimo de uma unção de mais de duas variáveis em um domínio D n podem ser deinidos de modo análogo ao já apresentado no caso de duas variáveis Consideremos uma unção de três variáveis w ƒ(,, z ) de classe C em uma região A 3 Os pontos críticos da unção ocorrem em pontos nos quais se anulam todas as derivadas de 1ª ordem da unção, ou seja, se P é uma ponto crítico de ƒ então : ƒ ( P ) 0, ƒ ( P ) 0 e ƒ z ( P ) 0 As condições acima nos dizem que P deve ser um ponto crítico da unção Elas não bastam para que eista máimo local ou mínimo local em P Vamos então utilizar um teste semelhante ao utilizado para unções de duas variáveis Com as derivadas de ª ordem da unção ormamos a matriz hessiana de ƒ e suas submatrizes principais, ou seja : H 1 z z z z zz H e H 3 [ ƒ ] Calculamos os determinantes das matrizes acima no ponto P, então podemos airmar que : 1º : se det H 1 > 0, det H > 0 e H 3 > 0, então P é ponto de mínimo local ; º : se det H 1 < 0, det H > 0 e H 3 < 0, então P é ponto de máimo local EXECÍCIO POPOSTO : Seja a unção h(,, z ) ² ² z ² 3 z Encontre os possíveis pontos críticos e classiique-os OBSEVAÇÃO : Podemos utilizar a teoria desenvolvida para pesquisar pontos etremos também para unções deinidas implicitamente

9 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Determine os etremos das unções abaio: a) ƒ(, ) 4 3 4 b) ƒ(, ) 3 c) ƒ(, ) 1 5 5 1 5 16 d) z 5 4 10 5 e) z 4 6 5 ) z (a ) g) ³ ² 3 4 z² z 8 0 h) w ² ( 3 )² ( z 1 )² Encontre os etremos da unção g(, ) ² ², na superície triangular situada no 1º quadrante de vértices A( 0, 0 ) ; B( 3, 0 ) e C( 0, 3 ) 3 Deve-se construir uma caia retangular sem tampa de 1m 3 de volume, O custo do material a ser utilizado é de $ 0,40 por metro quadrado para o undo, $ 0,30 por metro quadrado para um par de lados opostos e $ 0,0 para o outro par de lados opostos Determine as dimensões da caia que minimizem o custo 4 Determine a menor distância do ponto P(, 1, 1 ) ao plano 4 3 z 5 5 Encontre o máimo e mínimo absoluto de ƒ(, ) na superície triangular situada no primeiro quadrante e delimitada pelas retas 0, 0 e 9 4 e 61 6 Uma empresa produz dois tipos de tênis : calçados de corrida e calçados de basquete A receita total de unidades de calçados de corrida e unidades de calçados de basquete é : 5 8 4 10 em que e estão em milhares de unidades Determine e de modo a maimizar a receita 7 Suponha que para a produção de lingotes de alumínio em uma determinada ábrica requer máquinas-hora e homens-hora, o custo de produção seja dado por ƒ(, ) 3 6 500 Determine o números de máquinas-hora e o número de homens hora necessários para que a produção tenha custo mínimo?

30 MÁXIMOS E MÍNIMOS ESTITOS 1 INTODUÇÃO Consideremos uma unção ƒ de duas variáveis, com domínio D Se restringirmos o domínio aos pontos (, ) que satisazem uma dada relação g(, ) 0 e procurarmos entre esses pontos os de Máimo e de Mínimo, dizemos que este é um problema de máimos e mínimos de ƒ condicionados à restrição g(, ) 0 É importante observar que o ponto de Máimo ( ou de Mínimo) condicionado não coincide necessariamente com o ponto de Máimo (ou Mínimo) da unção ƒ deinida em D Lagrange Para resolver problemas desse tipo podemos utilizar o Método dos Multiplicadores de MÉTODO DOS MULTIPLICADOES DE LAGANGE O método dos multiplicadores de Lagrange considera que os valores etremos de uma unção ƒ(, ), cujas variáveis estão sujeitas a restrições do tipo g(, ) 0 ou h(, ) 0, etc, devem situar-se sobre uma superície g 0 ou h 0, nos pontos em que ƒ λ g ou ƒ µ h, para escalares λ ou µ quaisquer denominados Multiplicadores de Lagrange Então supondo que ƒ(, ), g(, ) e h(, ) possuem derivadas contínuas para achar os valores Máimos e Mínimos locais de ƒ, sujeitos às restrições g(, ) 0 e h(, ) 0, basta determinarmos,, λ e µ capazes de satisazer simultaneamente as equações : ƒ λ g, g(, ) 0, h(, ) 0 e ƒ µ h As condições acima podem ser reescritas de um modo mais simples, ou seja : L ƒ(, ) λ g(, ), pois as equações do sistema acima é equivalente à L 0, L 0 e L λ 0 L 0 ou EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Encontre os pontos críticos da unção ƒ(, ) 5, sujeita à restrição 4 0 ( 0, 0 ) e ( 0, 4 ) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a orma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 10m e 0m Determinar a área máima possível para o galpão 50 m ²

31 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Determinar os pontos de máimo e/ou mínimo da unção dada sujeita às restrições indicadas a) z ; sa : 4 b) z 4 3 ; sa : 1 c) g(,, z ) z ; sa : 3 z 4 0 d) H(, z ) z ; sa : 3z 6 e z 1 Se ƒ(,, z ) 4 5z, determine o ponto do plano 3 4z 1 em que ƒ(,, z ) tem mínimo ( 5/11, 30/11, 8/11 ) 3 Denotemos por C o arco, no primeiro octante, da curva em que o parabolóide z 16 intercepta o plano 4 Determine os pontos de C mais próimos e mais aastados da origem Determine a maior e a menor distância da origem a C 6 ; 15 4 A reta t é dada pela interseção dos planos z 1 e 3 z 6 Determinar o ponto de t cuja distância até a origem seja mínima 5 Determine o ponto da esera z 9 mais próimo do ponto P(, 3, 4 ) 6 O departamento de Estradas de odagem deseja uma área de recreação ao longo de uma estrada A área, retangular, terá 5000m e será cercada nos três lados não adjacentes à estrada Qual é o mínimo de cerca necessário para a tarea? 00 metros 7 Quais serão as medidas de uma lata cilíndrica de 54cm 3 de volume que pode ser construída usandose o mínimo possível de metal 3cm ; cm 8 De todos os triângulos que tem o mesmo perímetro, achar aquele que possui área máima 9 Uma bóia deve ter a orma de um cilindro terminado em dois cones iguais e de mesmas base que o cilindro Achar as dimensões do cilindro e dos cones para que o material encontrado seja mínimo 10 Achar a distância mínima da origem ao plano z a 11 Achar a equação do plano que passa pelo ponto P(1,, 1) e determina com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo z 0

3 1 Encontre três números cuja soma seja 9 e a soma de seus quadrados seja a menor possível z 3 13 Uma sonda espacial com a orma do elipsóide 4 4z 16 penetra na atmosera terrestre e sua superície começa a aquecer Após uma hora, a temperatura em um ponto P(,, z ) da superície da sonda é T(,, z ) 8 4 16z 600 Determine o ponto mais quente da superície da sonda 14 Utilize os multiplicadores de Lagrange para encontra a menor distância entre o ponto P( 1, 3, 0 ) e o plano 4 z 5 15 Um disco circular é a região limitada pela circunerência 1 Se T graus or a temperatura em qualquer ponto do disco e T, encontre o ponto mais que e mais rio do disco 16 A temperatura T em um ponto qualquer do espaço é T 400z Determine a temperatura mais alta sobre a esera z 1 50 17 Um recipiente cilíndrico deverá ter um volume de 4π cm 3 O custo( por cm ) de abricação da tampa e da base de metal é o dobro do custo do restante do recipiente, eito de cartolina grossa Quais são as dimensões do recipiente mais barato? 1cm ; 4 cm

33 INTEGAIS DUPLAS 1 DEFINIÇÃO Admitamos que ƒ(, ) seja deinida em uma região retangular deinida por : a b, c d Imaginamos coberta por uma rede ormada por retas paralelas aos eios e Tais retas dividem em pequenos retângulos de área A Ordenamos estes elementos segundo determinada ordem A 1, A, A 3,, A n, escolhemos um ponto ( k, k ) de cada retângulo A k e ormamos a soma S n ƒ( k, k ) A k Se ƒ or contínua em, então a medida que estreitamos a malha de modo que e tendam a zero, os somatórios S n tendem para um limite denominado Integral Dupla de ƒ sobre a região designado por : (, ) da ou (, ) dd ou (, ) dd Assim temos que : (, ) da lim ƒ(, ) A A 0 k POPIEDADES DA INTEGAL DUPLA As integrais duplas possuem as mesmas propriedades que as integrais simples, ou seja : 1ª : k (, ) da k (, ) da, onde k é uma constante g da ª : [ (, ) (, ) ] (, ) da g(, ) da 3ª : (, ) da 0, se ƒ(, ) 0 em

34 4ª : (, ) da g(, ) da da, se ƒ(, ) g(, ) em 5ª : (, ) da superpostos (, ) da 1 (, ) da, onde 1, onde 1 e são retângulo não Quando ƒ(, ) > 0, podemos interpretar por, os planos a, b, c e d e a superície z ƒ(, ) (, ) da como volume do sólido contido 3 CÁLCULO DE INTEGAIS DUPLAS O cálculo das integrais duplas é eito através de duas integrações sucessivas, dependendo do tipo da região de integração, para isto utiliza-se o seguinte teorema( Teorema de Fubini ) : 31 TEOEMA : Seja ƒ(, ) contínua em uma região a) Se or deinida por a b, g 1( ) g ( ), com g 1 e g contínuas em ( a, b ), então : (, ) da b a g () g1() (, )dd b) Se or deinida por c d, g 1( ) g ( ), com g 1 e g contínuas em ( c, d ), então : (, ) da d c g () g () 1 (, )dd EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Calcule Calcule ( 4 ) dd e : 0, 0 1 (, ) da para ƒ(, ) 1 6 e : 0, 1 1 5 4 3 DETEMINAÇÃO DOS LIMITES DE INTEGAÇÃO A parte mais diícil do cálculo de uma integral dupla pode ser a determinação dos limites de integração, então podemos utilizar o seguinte método Suponhamos, que a primeira integração seja em relação a e, depois em relação a, seguimos os seguintes passos :

35 1º : Imaginamos uma reta vertical ( L ) que cruze toda a região no sentido dos crescentes ; º : Integramos a partir do valor de correspondente ao ponto em que a reta ( L ) penetra em, até o valor de correspondente ao ponto em que L abandona a região ; 3º Escolhemos os limites de que incluam todas as retas verticais que passem por EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano, limitado pelo eio- e as retas e 1 Na parte superior, o sólido é limitado pelo plano z 3 1 Seja a região do plano delimitada pelos gráicos e Calcule o volume do sólido limitado superiormente, pela unção F(, ) 3 4 4 ÁEA Se izermos ƒ(, ) 1 na deinição de integral dupla sobre uma região, então a integral representará a área da região, ou seja : A (, ) da EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Determine a área da região limitada por e, no primeiro quadrante Determine a área da região limitada pela parábola e pela reta 1/6 9/ 3 Seja G(, ) 100( 1 ) que representa a densidade populacional de uma região plana da Terra Calcule a população dessa região, onde e são medidos e,m quilômetros e a região é limitada pelas curvas e 5 MUDANÇA DE VAIÁVEIS EM INTEGAIS DUPLAS Na integração de unções de uma variável, a órmula de mudança de variável ou substituição é utilizada para transormar uma integral dada em outra mais simples Suponhamos que desejamos azer a mudança de variáveis, da integral dupla da unção ƒ(, ), onde ( u, v ) e ( u, v ) sobre uma região do plano, para uma região ' do plano uv, onde u u(, ) e v v(, )

36 Considerando que as unções,, u e v são contínuas, com derivadas parciais contínuas em 1 e respectivamente, temos : (, )dd 1 [(u, v), (u, v)] (, ) dudv (u,v), onde : (, ) (u, v) u u v v é o jacobiano de e em relação a u e v EXECÍCIO POPOSTO : Calcular a integral dupla da unção ƒ(, ), sendo o paralelogramo limitado pelas retas 0, 1, e 4 6 INTEGAL DUPLA EM COODENADAS POLAES A regra para conversão de uma integral em coordenadas cartesianas em uma integral em coordenadas polares é : a) Substituir r cos θ, r sen θ e dd r dr dθ b) Estabelecer os limites polares de integração do seguinte modo : I Mantemos θ constante e permitimos que r cresça, de orma a traçar um raio a partir da origem II Integramos em relação a r, a partir do valor de ( r ) correspondente ao ponto em que o raio penetra na região, até o ponto em que ele a abandona III Escolhemos limites de θ que incluam todos os raios com pólo na origem e que interceptam EXECÍCIOS POPOSTOS 1 Calcule a integral d d, sendo o círculo de centro na origem e raio 16π 3 Calcule a integral e 9 d d, sendo a região do plano delimitada por 4 e π ( e 9 e 4 ) 3 Calcule a (, )dd onde ƒ(, ) ( ) ( ), onde é a região delimitada pela circunerência ( ) ( ) 4 8π

37 7 APLICAÇÕES FÍSICAS Assim como utilizamos a integral deinida para calcular a massa, centro de massa e o momento de inércia de uma barra horizontal não homogênea com densidade linear ρ ρ( ), podemos utilizar as integrais duplas, de modo bastante semelhante para encontrar massa, centro de massa e o momento de inércia de uma lâmina plana não homogênea, com a orma de uma região e com densidade de área em um ponto P(, ) de dada pela unção contínua ρ ρ(, ) 71 MASSA TOTAL DE UMA LÂMINA Para encontrarmos a massa total de uma lâmina podemos utilizar a integral : M ρ (, ) da 7 MOMENTO DE MASSA EM ELAÇÃO AOS EIXOS COODENADOS Para calcularmos os momentos de massa em relação aos eios coordenados utilizamos as integrais : M ρ (, ) da e M ρ (, ) da Então as coordenadas do centro de massa da lâmina é dado por : _ M M e _ M M 73 MOMENTO DE INÉCIA Podemos dizer que o momento de inércia de um corpo é a capacidade do corpo resistir à aceleração angular em torno de um eio L Para encontrarmos os momentos de inércia utilizamos as integrais : I ρ(, ) Momento de inércia em relação ao eio ; I ρ(, ) Momento de inércia em relação ao eio ; I o ( ) ρ (, ) Momento de inércia polar ; EXECÍCIO POPOSTO : Determinar o centro de massa de uma chapa homogênea ormada por um quadrado de lado a, encimado por um triângulo isósceles que tem por base o lado a do quadrado e por altura a

38 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Calcule as integrais duplas abaio : a) b ) c) d) ( 4 ) da, onde : 0 3 e 0 (sen cos )da, onde : 0 π e 0 π da, onde : 0 π e 0 sen d d, onde : e 1 16 4 π π / 4 5/6 Calcular (, )dd, onde : a) ƒ(, ) e ; é o retângulo 1 3 e 0 1 b) ƒ(, ) cos ; é o retângulo 0 e 0 π / e³ e 4 / π 3 esolva os problemas abaio : a) da, sobre a região do 1º quadrante limitada pelas retas,, 1 e 45/8 b) Encontre o volume do sólido cuja base é a região do plano ormada pela parábola 4 e pela reta 3, sendo a parte superior do sólido limitado pelo plano z 4 65/ c) Determine a área determinada pela parábola e pela reta 0 4/3 d) da, onde : a a e a a π a² e) Calcule a área da superície da parte do parabolóide hiperbólico z no círculo 1 π/

39 4 Achar o volume do tronco de um prisma limitado pelos planos : 3 z 18, 3, 4 e os três planos coordenados 114 5 Calcular a área da superície compreendida entre as curvas : 5 e 9 4 6 Calcule as integrais abaio : 3 a) ( 3 6) dd 1 b a b) ( )dd c) e 0 0 0 0 dd e e d) 1 1 dd e) π 0 π 0 (a cos θ bsenθ)dθd 87 1 1 ; ab( a b ) ; ; 1 ; π b 7 Calcular dd, onde é o círculo 1 π/4 8 Calcular ( )dd, onde é o setor 0, 0, a πa² / 8 9 Calcular a área da região compreendida entre a parábola 8 16 e a reta 4 3 10 Calcular ( )dd, onde é o círculo 4 15/6 4π 11 Determine o valor médio da unção ƒ(, ) 3, sobre o triângulo cujos vértices são : A( 0, 0 ) ; B( 4, 0 ) e C(, ) 1 Supondo que a unção densidade de probabilidade conjunta para as variáveis não negativas e seja h(, ) e e, determine a probabilidade de 0 1 e 0 0,85 13 Calcular o volume do sólido no 1º octante delimitado por z e pelo cilindro que contorna a região delimitada por ² e ² 31/60

40 14 Calcular o momento de inércia em relação ao eio dos de uma chapa que possui a orma dada pela unção, no intervalo [ 0, 4 ] e sabendo que a sua densidade de massa é igual a kg / m 15 Uma lâmina tem a orma do triângulo de vértices ( 1, 0 ), ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ) Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se a sua densidade de massa é constante 16 Uma lâmina tem a orma de uma região plana delimitada pelas curvas e 4 Sua densidade de massa é constante a) Determinar o momento de inércia da lâmina em relação ao eio dos ; b) O momento de inércia da lâmina em relação ao eio dos 17 Calcular o centro de massa de uma lâmina plana quadrada de 4 cm de lado, com densidade de massa constante 18 Uma lâmina plana tem a orma da região delimitada pelas curvas 1 e 3 Sua densidade de massa no ponto P(, ) é proporcional à distância desse ponto ao eio dos Calcular : a) a massa da lâmina ; b) o centro de massa c) o momento de inércia em relação ao eio

41 INTEGAIS TIPLAS 1 INTEGAIS TIPLAS EM COODENADAS ETANGULAES Se F(,, z ) or uma unção deinida em uma região echada D do espaço ( pe numa esera maciça, num tronco de cone, etc ), então a integral de F sobre D pode ser dividida do modo descrito a seguir Subdividimos uma região retangular de D em células retangulares elementares me - diante planos paralelos aos coordenados As células têm dimensões z Numeramos tais elementos de volume segundo uma determinada ordem : V 1, V,, V n, escolhemos um ponto ( k, k, z k )em cada V k e ormamos a soma : S n F( k, k, z k ) V k Se F or contínua e a superície envolvente de D or constituída de trechos suaves de superícies, unidos ao longo de curvas contínuas, então quando,, z aproimam-se de Zero, o somatório S n tende para um limite : dv lim S n F( k, k,z k ) Vk D Denominamos tal limite Integral Tripla de F sobre D Esse limite eistirá, igualmente, para algumas unções descontínuas POPIEDADES As integrais triplas possuem as seguintes propriedades : 1ª : kfdv k D FdV, onde k constante ª : D (F G) dv D FdV D D G dv 3ª : FdV 0, se F 0 em D 4ª : D FdV D D G dv, se F G em D 5ª : FdV D FdV D 1 FdV D FdV D 3 FdV D n 3 VOLUME Podemos utilizar uma integral tripla para calcular o volume de um sólido, para isto basta azer F(,, z ) 1, então a integral dv representará o volume de D D 3 1 CÁLCULO Para calcular uma integral tripla, utiliza-se uma versão tridimensional do teorema utiliza - do para calcular as integrais duplas, ou seja, calculamos três sucessivas integrais simples EXECÍCIO POPOSTO : Calcular o volume do sólido delimitado ineriormente por z 3, superiormente por z 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorno a região delimitada por e 4 4/5

4 4 APLICAÇÕES FÍSICAS De maneira semelhante ao que oi eito com integrais duplas, podemos utilizar as integrais triplas para determinar a massa de um corpo, as coordenadas de seu centro de massa e o momento de inércia em relação a um eio L 41 MASSA TOTAL DE UMA LÂMINA Para encontrarmos a massa total de um corpo podemos utilizar a integral : M δ T (,, z) dv 4 MOMENTO DE MASSA EM ELAÇÃO AOS EIXOS COODENADOS Para calcularmos os momentos de massa em relação aos eios coordenados utilizamos as integrais : T M δ (,, z) T dv z δ (,, z) dv, M z T δ (,, z) dv e M z Então as coordenadas do centro de massa da lâmina é dado por : _ M z, _ M M z M e _ z M M 43 MOMENTO DE INÉCIA Podemos dizer que o momento de inércia de um corpo é a capacidade do corpo resistir à aceleração angular em torno de um eio L Para encontrarmos os momentos de inércia utilizamos as integrais : I T ( z ) δ (,, z) dv Momento de inércia em relação ao eio ; I T ( z ) δ (,, z) Momento de inércia em relação ao eio ; I z T ( ) δ (,, z) Momento de inércia em relação ao eio z ; EXECÍCIOS POPOSTO 1 Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por z 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(,, z ) é proporcional a distância até o plano Encontrar o momento de inércia em relação ao eio z do sólido delimitado pelo cilindro 9 e pelos planos z e z 4, sabendo que a densidade de massa é igual a ( ) kg/m 3

43 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Calcule as seguintes integrais triplas : a) FdV, onde F(,, z ) z 3 e D : 0, 0 3, 0 z 1 D 9/ b) ( 5 z)dv, onde D : 0 1, 0, 0 z D 17/1 c) ( 3z) dv, onde D : 0, 1 3, 0 z 3 D 10 Calcule z dv, onde D é um prisma reto de base triangular e altura igual a 7, sendo D A( 1, 0, 0 ), B( 3,, 0 ) e C( 1,, 0 ) 49 3 Calcule zdv, onde D : z 4, > 0 e z > 0 D 4 Calcule z ρ sen θ dv, onde D é a região do espaço ( ρ, θ, z ) determinada pelas desigualdades D 0 z 3, 0 ρ e 0 θ π 18 5 Calcule as integrais abaio : 3 a) ( z)ddd b) ( z )dddz c) dzdd 3 1 0 1 a 0 b 0 c 0 1 0 1 1 1 4 1 ; abc( a² b ² c ² ) ; 3 35 0 6 Achar o volume do sólido compreendido entre as superícies z e, z > 0 π 3 7 Achar o volume do sólido limitado pelos cilindros a e z a no 1º octante 3 a ³

44 8 Achar o volume do sólido limitado pela superície 3 3 3 3 z a 35 4 π a ³ 9 Calcular o volume do sólido delimitado por 4, z 0 e 4 z 16 64π 10 Calcular o volume da parte do tetraedro 3 6 z 6 a) entre os planos z 1 e z b) acima do plano z 1 7 ; 7 8 11 Calcule o volume do sólido delimitado pelas superícies 16 ; z e z 9 11π 1 Calcule dv, onde D : 0 1 ; 0 e 0 z D 3/8 13 Calcular a massa dos sólidos limitados pelas superícies dadas considerando a densidade de massa iguala a 4 kg / m 3 a) z b) z 4 14 Calcular o momento de inércia em relação aos eios coordenados do sólido delimitado por z 4 e z 0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional a distância de P ao plano 15 Um sólido no primeiro octante é limitado abaio pelo plano z 0, lateralmente pelos planos 0 e pela superície e, acima, pela superície z 4 A densidade é δ(,, z ) k, onde k é uma constante

45 COODENADAS POLAES 1 INTODUÇÃO Até agora, sempre que oi preciso representamos curvas planas como coleções de pontos (, ) em um sistema de coordenadas cartesianas, onde e representam as distâncias orientadas dos eios coordenados ao ponto (, ) As equações correspondentes para essas curvas podem ser dadas nas ormas cartesianas e paramétrica Nesta unidade vamos conhecer um outro sistema de coordenadas, o Sistema de Coordenadas Polar SISTEMA DE COODENADAS POLAES Para ormar o sistema de coordenadas polares no plano, iamos um ponto ( O ), chamado de pólo( origem ) e construímos a partir do pólo um raio inicial, denominado eio polar DEFINIÇÃO : As coordenadas de um ponto P dierente da origem( pólo ), num plano, são ( r, θ ), onde r é a distância de P à origem e θ é um ângulo ormado pelo eio dos positivos com a reta entre a origem e P Para marcar um ponto em coordenadas polares, utilizaremos as seguintes convenções : a) Se o ângulo AOP or descrito no sentido anti-horário, então θ > 0 Caso contrário, temos θ < 0 b) Se r < 0, o ponto estará localizado na etensão do lado terminal do ângulo AOP EXECÍCIOS POPOSTOS : epresentar num sistema cartesiano de coordenadas polares os seguintes pontos : a) P 1( 3, π / 6 ) b) P ( 3, π / 6 ) c) P 3( 3, π / 6 ) d) P 4( 3, π / 6 ) 3 ELAÇÃO ENTE COODENADAS CATESIANAS E COODENADAS POLAES As deinições de Seno e Cosseno em um triângulo retângulo cujos catetos medem( e ) e a hipotenusa( r ) nos dão as equações : r cos θ e r sen θ, que eprimem as coordenadas retangulares (, ) de um ponto em termos de suas coordenadas polares ( r, θ ) A equação que eprime r em unção de e é : r

46 LISTA DE EXECÍCIOS 1 Supondo 0 θ π, encontre as coordenadas polares dos pontos abaio : a) A( 3, 3 ) b) B( 7, 0 ) c) C( 1, 3 ) d) D( 3, 4 ) Escreva as equações abaio, em coordenadas polares : a) b) 3 c) 1 d) 1 3 Escreva as equações abaio, em coordenadas retangulares : a) r sec θ b) r 3cossec θ c) r cos θ sen θ d) r 6 cos θ 4 Faça o gráico das equações dadas em coordenadas polares a) r b) θ 3 π c) r sec θ d) r 4 sen θ espostas : a) r sec θ b) cotg θ 3 c) r ² sec θ d) 1 r ² r ² tg² θ 3 a ) 1 b) 3 0 c) ( ² ² )² d) 3² 4² 1 36 0

47 BIBLIOGAFIA CONSULTADA EDWADS, C Henr e PENNEY, David E CÁLCULO COM GEOMETIA ANALÍTICA 4ª Edição io de Janeiro Editora Prentice Hall do Brasil Ltda 1997 volumes 0 e 03 GONÇALVES, Míriam Buss e FLEMMING, Diva Marília CÁLCULO B : Funções de Várias Variáveis 1ª Edição São Paulo Editora Makron 1999 GUIDOIZZI, Hamilton Luiz UM CUSO DE CÁLCULO 1ª Edição io de Janeiro Editora LTC 1986 volumes 0 e 03 HOFFMANN, Laurence D CÁLCULO : UM CUSO MODENO E SUAS APLICAÇÕES ª Edição io de Janeiro Editora LTC 1990 volume 0 JUDICE, Edson Durão FUNÇÕES DE VÁIAS VAIÁVEIS 1ª Edição Belo Horizonte PUC/MG 1987 KAPLAN, Wilred CÁLCULO AVANÇADO 1ª Edição 7ª eimpressão São Paulo Editora Edgard Blucher Ltda 1999 volume 01 SWOKOWSKI, Earl W CÁLCULO COM GEOMETIA ANALÍTICA 1ª Edição São Paulo, Editora MAKON, 1983, v THOMAS, George ; FINNEY, oss L CÁLCULO E GEOMETIA ANALÍTICA 6ª Edição São Paulo, Editora LTC,1988, São Paulo, volume 03