Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, Pilares esbelts de cncret armad Parte 3: Um métd simplificad prpst Reinfrced cncrete slender clumns Part 3: A prpsed simplified metd Jsé Miltn de Araúj Escla de Engenaria - FURG - Ri Grande, RS RESUMO: Neste trabal sã analisads métd d mment majrad e métd d pilar padrã cm rigidez aprximada, apresentad na NBR-68. A principal desvantagem desses métds cnsiste na necessidade de uma crreta definiçã para a rigidez d pilar. Cm uma cntribuiçã adicinal, prpõe-se um métd simplificad que frnece excelentes resultads, quand cmparad cm mdel nã linear. ABSTRACT: In tis wrk, we analyzed te magnified mment metd and te mdel-clumn metd wit apprximated rigidity, as presented in te NBR-68. Te main disadvantage f tese metds is te need f a crrect definitin f te rigidity f te clumn. As an additinal cntributin, it is prpsed a simplified metd tat gave excellent results wen it was cmpared t te nn-linear mdel.. INTRODUÇÃO Este artig faz parte de um ampl estud sbre s prcediments de prjet ds pilares de cncret armad. Na primeira parte desse estud, fi apresentad mdel nã linear para análise e dimensinament de pilares esbelts de cncret armad []. Esse mdel fi implementad n sftware JMPILAR [] e teve sua precisã cnfirmada através da análise d4 pilares ensaiads em flex-cmpressã nrmal e blíqua pr diverss autres. Devid à cmplexidade d dimensinament de pilares de cncret armad, cnsiderand as nã linearidades presentes, as nrmas de prjet permitem a adçã de prcesss simplificads para us em prjet. Esses prcesss simplificads smente sã permitids até cert limite de esbeltez, u seja, para s denminads pilares mderadamente esbelts. Na segunda parte desse estud [3], fram analisads dis métds simplificads cnstantes na NBR-68[4]: métd d pilar-padrã cm curvatura aprximada e métd d pilar-padrã cm rigidez aprximada. Nesse artig fi mstrad que ambs s métds pdem frnecer sluções cntrárias à segurança. Entretant, err d métd da rigidez aprximada é mair, pdend resultar em errs inadmissíveis cntra a segurança. N presente artig, apresenta-se desenvlviment matemátic d métd d pilarpadrã cm rigidez aprximada e as justificativas para s errs previamente detectads. Cm uma cntribuiçã adicinal, prpõe-se um métd simplificad cuja segurança é demnstrada através de inúmers exempls.. O MÉTODO DO MOMENTO MAJORADO O métd d mment majrad é adtad pr diversas nrmas de prjet [5,6,7]. Trata-se de um métd clássic, utilizad para a cnsideraçã ds efeits de segunda rdem n prjet ds pilares de cncret armad, desde lnga data. Eventuais diferenças nas diversas apresentações d métd residem na expressã para a rigidez equivalente d pilar. Na fig., apresenta-se um pilar birrtulad, submetid a uma frça nrmal de cálcul F d cm uma excentricidade de primeira rdem. A princípi, cnsidera-se cas de flexã nrmal.
38 Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, nde β é camad fatr de amplificaçã de mments, cuja expressã exata é β = (3) csψ send π Fd ψ = (4) P A carga de Euler P e é dada pr e Fig. Excentricidades de primeira e de segunda rdens Imediatamente após a aplicaçã d carregament, pilar sbre uma deflexã cuj valr máxim é igual a e. A excentricidade máxima, na seçã central d pilar, vale e tt = + e. O mment fletr de primeira rdem é M = F e mment de segunda rdem é d d d = Fd e M. O mment slicitante máxim, na seçã central d pilar, vale M d, tt = Md + M d, u seja, M d, tt = Fd ett. Para um pilar cnstituíd pr material elástic linear, cm rigidez à flexã EI cnstante a lng d eix, equilíbri é garantid através da equaçã diferencial 4 d W d W EI + Fd = q 4 dx dx () nde W é a deflexã d eix em uma psiçã genérica x e q representa carregament transversal a eix d pilar ( q = para carregament da fig. ). Essa equaçã diferencial pde ser reslvida, intrduzind-se as cndições de cntrn nas duas extremidades d pilar, cnfrme mstrad na ref. [8]. Encntrada a funçã W ( x), btém-se mment máxim M d, tt n pilar. O mment máxim é dad pr M d, tt = β Md () Pe EI le π = (5) O fatr de amplificaçã β pde ser aprximad, cm bastante precisã, pr = Fd Pe β (6) As equações () e (6) dã rigem a métd d mment majrad. Para s cass em que mment de primeira rdem é variável a lng da altura d pilar, trabala-se cm um mment de primeira rdem equivalente [4,5,6]. Se M a e M b sã s mments de primeira rdem nas extremidades d pilar, cm Ma Mb, cnsidera-se mment de primeira rdem equivalente = + (7) Md,6Ma,4Mb, 4Ma Alternativamente, pde-se trabalar em terms de excentricidades, definind-se uma excentricidade de primeira rdem equivalente = + (8) e,6ea,4eb, 4ea cm na ref. [8]. A excentricidade ttal e tt é dada pr e tt = β (9) A grande dificuldade d métd d mment majrad cnsiste na adequada avaliaçã da rigidez equivalente EI para cálcul da carga de Euler.
Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 39 O ACI[5] sugere as expressões,ecsic + Es I s EI = + C u,4ecs Ic EI = + C () () particularizad para pilares de seçã retangular. Prtant, nã se trata de um métd nv, excet pela definiçã da rigidez equivalente, cm se demnstra a seguir. A rigidez à flexã equivalente de um pilar de seçã retangular pde ser escrita na frma EI 3 = κ b f cd (4) nde C é a razã entre a frça nrmal de lnga duraçã e a frça nrmal ttal de cálcul. O ceficiente C é intrduzid para levar em cnta s efeits da fluência d cncret e pde ser cnsiderad cm C =, 6 [5]. Se a fluência nã fr cnsiderada, deve-se adtar C =. A rigr, parâmetr C deveria ser substituíd pel ceficiente de fluência efetiv, ϕ ef, cm sugerid n EC[6]. Nas equações () e (), E cs é módul de E s é I é mment de defrmaçã lngitudinal d cncret, módul de elasticidade d aç, c inércia centridal da seçã de cncret simples e I é mment de inércia das armaduras em s trn d eix centridal da seçã de cncret. De acrd cm ACI, módul secante d cncret é dad pr Ecs = 473 f ck, MPa () nde f ck é a resistência característica à cmpressã em MPa. Observa-se que a equaçã () depende da área de aç, que exige um prcess iterativ. Pr utr lad, a equaçã () pde ser usada de maneira direta para cálcul da carga de Euler. Ainda n ACI, a carga Euler é multiplicada pr um fatr de reduçã igual a,75, resultand β ACI = (3),75 Fd Pe 3. O MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM RIGIDEZ APROXIMADA O métd d pilar-padrã cm rigidez aprximada, apresentad na NBR-68, nada mais é d que métd d mment majrad, nde b e representam a largura e a altura da seçã transversal, respectivamente, e f cd = f ck,4 é a resistência à cmpressã de cálcul d cncret. Segund a NBR-68, a cnstante κ é dada pr M d, tt κ = 3 + 5 ν F (5) d nde Fd ν = (6) bfcd Em terms das excentricidades, também se pde escrever ett κ = 3 + 5 ν (7) já que M = F e d, tt d tt. O índice de esbeltez λ para um pilar de seçã retangular é dad pr l λ = (8) Substituind as equações (4) e (8) na equaçã (5) e cnsiderand π, resulta κ bfcd P e = (9) λ Substituind as equações (6) e (9) na equaçã (6), resulta β = () λ ν κ
4 Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, que é a expressã d fatr de amplificaçã de mments da NBR-68. Encntrad β, utiliza-se a equaçã (), para a determinaçã d mment ttal de cálcul, u a equaçã (9), para a determinaçã da excentricidade ttal. Cnsiderand as equações (9), (7) e (), pde-se bter uma expressã analítica para a excentricidade ttal, sem a necessidade de iterações. Cnfrme já fi mstrad pel Autr [9,], a excentricidade ttal é dada pr nde e tt = B B e + +, () λ e B = +,5, 384 4. MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ EQUIVALENTE () Cnfrme fi discutid, a grande dificuldade d métd d mment majrad cnsiste na definiçã crreta da rigidez equivalente EI. Se fr adtada a expressã (4), cega-se n fatr de amplificaçã de mments dad na equaçã (). Intrduzind () em (9), tem-se e tt e = (3) λ ν κ Desta equaçã pde-se bter a cnstante κ λ ν ett κ = (4) e ( e ) A expressã (4) pde ser utilizada para determinar s valres de κ que levam à sluçã exata, u seja, à mesma área de aç btida cm mdel nã linear. Para ist, utiliza-se seguinte prcediment iterativ: tt empregand-se sftware PACON [], realiza-se dimensinament à flex-cmpressã nrmal da seçã d pilar cm s esfrçs N d = F d e M d = Fd ett, para bter a área de aç A sa (prcess aprximad); partind de e tt = e, incrementa-se a excentricidade e tt e repete-se dimensinament à flex-cmpressã nrmal, até que A sa supere ligeiramente valr A se (cnvergência d prcess iterativ); encntrada a excentricidade ttal e tt que leva à sluçã exata, calcula-se a cnstante κ cm empreg da equaçã (4). 5. RESULTADOS OBTIDOS PARA A RIGIDEZ EQUIVALENTE A seguir apresentam-se s resultads btids para a cnstante κ através d prcediment descrit anterirmente (equaçã 4). Esses resultads sã cmparads cm a expressã (7) da NBR-68. As seções transversais cnsideradas neste trabal sã indicadas na fig.. Fig. Seções transversais ds pilares Nas figuras 3, 4, 5 e 6 apresentam-se as relações entre a cnstante κ e a excentricidade relativa e tt para quatr valres d índice de esbeltez. As linas tracejadas crrespndem à equaçã (7). dad um pilar cm λ, ν e cnecids, utiliza-se sftware JMPILAR para a btençã da área de aç A (prcess exat ); se
Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 4 4 λ= (seçã ) 4 λ=6 (seçã ) Cnstante κ 6 8 ν=,5 ν=,75 ν=, - - - = NBR-68 Cnstante κ 8 6 4 ν=,5 ν=,75 ν=, - - - = NBR-68 4...3.4.5.6 Excentricidade relativa ett/ Fig. 3 Relações κ - e tt para λ = (seçã )...3.4.5.6.7.8 Excentricidade relativa ett/ Fig. 5 Relações κ - e tt para λ = 6 (seçã ) λ=4 (seçã ) 4 λ=8 (seçã ) ν=,5 ν=,75 ν=,5 ν=,75 Cnstante κ 8 6 4 ν=, - - - = NBR-68 Cnstante κ 8 6 4 ν=, - - - = NBR-68...3.4.5.6 Excentricidade relativa ett/ Fig. 4 Relações κ - e tt para λ = 4 (seçã )...3.4.5.6.7.8.9 Excentricidade relativa ett/ Fig. 6 Relações κ - e tt para λ = 8 (seçã ) Cnfrme se bserva pelas figuras 3 a 6, a equaçã (7), prpsta na NBR-68, nã representa adequadamente parâmetr de rigidez κ, necessári para que a armadura btida cm prcess simplificad se iguale àquela btida cm métd exat. Em geral, a expressã (7) superestima parâmetr κ e, cnsequentemente, a rigidez equivalente d pilar. Cm iss, prcess aprximad d pilar-padrã tenderá a frnecer uma sluçã cntrária à segurança, cm já fi mstrad na parte [ 3]. Neste estud, a tentativa de crrelacinar κ cm utrs parâmetrs fi fracassada, pis a
4 Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, variabilidade de κ é muit acentuada, sem que se pssa definir uma tendência e algum tip de crrelaçã satisfatória. As variações de κ cm e tt (figuras 3 a 6) mstram a dificuldade de crrelaçã. Funções simples cm a da NBR-68 (equaçã (7)) falam; funções mais cmplexas perdem sentid, já que elas devem ser intrduzidas em um métd simplificad. 6. PROPOSTA DE UM MÉTODO SIMPLIFICADO De acrd cm a equaçã (9), fatr de amplificaçã de mments pde ser btid da relaçã β = e tt e. Uma vez determinada a excentricidade ttal e tt que leva à sluçã exata, cnfrme prcess iterativ descrit anterirmente, pde-se calcular fatr de amplificaçã β e crrelaciná-l cm s demais parâmetrs envlvids na análise. Através de regressã nã linear, cegu-se à seguinte expressã aprximada para fatr de amplificaçã de mments α,45 e β = +,85λ (5), +,5λ,9λ α = (6) λ λ = (7) Essas expressões fram determinadas para pilares de seçã retangular cm duas camadas de armadura (seçã da fig. ). Nas figuras 7, 8, 9 apresentam-se as variações de β em funçã da excentricidade relativa de primeira rdem, juntamente cm a equaçã prpsta. Fatr de amplificaçã β.3.5..5..5 λ= (seçã ) ν=,5 ν=,75 ν=, Prpsta....3.4.5.6 Excentricidade relativa e/ Fig. 7 Relações β - para λ = (seçã ) Fatr de amplificaçã β..8.6.4. λ=4 (seçã ) ν=,5 ν=,75 ν=, Prpsta....3.4.5.6 Excentricidade relativa e/ Fig. 8 Relações β - para λ = 4 (seçã )
Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 43 Fatr de amplificaçã β 3..8.6.4...8.6.4. λ=6 (seçã ) ν=,5 ν=,75 ν=, Prpsta...3.4.5.6 Excentricidade relativa e/ Fig. 9 Relações β - para λ = 6 (seçã ) Fatr de amplificaçã β 5. 4.5 4. 3.5 3..5..5 λ=8 (seçã ) ν=,5 ν=,75 ν=, Prpsta....3.4.5.6 Excentricidade relativa e/ Fig. Relações β - para λ = 8 (seçã ) Observand as figuras 7 a, verifica-se uma nítida crrelaçã entre fatr de amplificaçã β e a excentricidade relativa de primeira rdem. De acrd cm a sluçã elástica, fatr de amplificaçã é independente da excentricidade de primeira rdem, cm se bserva na equaçã (6) e nas equações derivadas da mesma: equações (3) e (). Lg, métd d mment majrad, assim cm métd d pilar-padrã cm rigidez aprximada, nã sã capazes de representar essa dependência de que se verifica n mdel nã linear. Ainda bservand as figuras 7 a, cnstata-se que fatr de amplificaçã varia muit puc cm esfrç nrmal reduzid ν. Em geral, as variações de β cm ν nã ultrapassam 5. Desse md, pde-se cnsiderar que fatr de amplificaçã é independente de ν, cm na equaçã prpsta. Para seções retangulares cm armaduras distribuídas cm as seções e 3 da fig., fatr de amplificaçã β, dad na equaçã (5), deve ser multiplicad pel ceficiente C s λ C s = + (8) 5 7. APLICAÇÕES DO MÉTODO PROPOSTO De acrd cm métd prpst, fatr de amplificaçã de mments, β, é btid cm empreg das equações (5) a (7). Para seções cm armaduras distribuídas, ainda deve-se cnsiderar a equaçã (8). Em seguida, calcula-se a excentricidade ttal e tt = βe e dimensina-se a seçã transversal d pilar à flex-cmpressã nrmal cm s esfrçs F M = F e. N d = d e d d tt A seguir, cmparam-se as áreas de aç btidas cm métd prpst cm aquelas btidas cm sftware JMPILAR. Os pilares pssuem seções retangulares cm as dispsições de armadura indicadas na fig.. Em tdas as tabelas, ρ = A s, JMPILAR Ac é a taxa gemétrica de armadura btida cm sftware JMPILAR. Os resultads smente sã apresentads para s cass em que ρ >, mesm que tena resultad uma área de aç menr d que a área mínima. O parâmetr R = A s, MÉTODO As, JMPILAR é a razã entre a área de aç btida cm métd simplificad prpst e a área de aç btida cm sftware.
44 Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 7. Pilares cm a seçã da figura Tabela Pilares cm λ = (seçã ) ν =,5 ν =, 75 ν =, ρ R ρ R ρ R,5,,,,4,,53,,5,9,97,,,,7,86,3,3,7,,3,77,,9, 3,95,,4,4, 3,4, 5,7,,5,, 4,9, 6,6, Tabela 4 Pilares cm λ = 8 (seçã ),5,36,7 3,9,95,, 4,9,5, 4,5,99,5,8, 3,3,99 5,,,,6,9 3,94, 6,,,3,76,98 5,,3 7,5,3,4 3,47, 6,5,4 >8,5 4,9, 6,97,6 >8 7. Pilares cm a seçã da figura Tabela Pilares cm λ = 4 (seçã ),5,5,96,33,99,,73,,95,,5,7,,6,,,47,86,78, 3,3,,3,,94,8, 4,54,,4,84,96 3,83,98 5,89,99,5,43,98 4,68, 6,97, Tabela 5 Pilares cm λ = (seçã ) ν =,5 ν =, 75 ν =, ρ R ρ R ρ R,5,7,,,44,,66,,5,,6,37,5,,3,3,63,8 3,8,6,3,6,,96,5 4,84,6,4,9,8 4,5,4 6,59,4,5,77,6 5,47,5 >8 Tabela 3 Pilares cm λ = 6 (seçã ) ν =,5 ν =, 75 ν =, ρ R ρ R ρ R,5,66,,97,95,,35,,73,,5,38,47,8,97 3,55,,,9,9,67,98 4,34,,3,86,93 3,73,99 5,73,,4,53,96 4,73, 7,,,5 3,3,98 5,66, >8 Tabela 6 Pilares cm λ = 4 (seçã ),5,8,3,49,98,,84,6,5,5,5,65,5 3,,4,,65,3,4,4 4,7,7,3,64,8 3,79,5 5,93,6,4,54,7 5,,6 7,67,6,5 3,4,6 6,37,6 >8
Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 45 Tabela 7 Pilares cm λ = 6 (seçã ),5,7,3,37,97,,84,8 3,6,,5,5,3,84,4 4,66,6,,6,5 3,66,5 5,86,4,3,57,9 5,,8 7,64,4,4 3,55,9 6,47, >8,5 4,4, 7,68, Tabela Pilares cm λ = 4 (seçã 3),5,3,6,6,93,,95,,54,,5,94,4 3,77,,,77,8,84,5 4,87,4,3,9,4 4,59,5 7,4,3,4 3,,5 6,6,6 >8,5 4,,7 7,84,6 Tabela 8 Pilares cm λ = 8 (seçã ),5,65,47 3,99,6,, 7,96 3,46, 5,98,,5,9,3 4,7,8 7,9,8,,9, 5,45,3 >8,3 3,89,7 7,,4 4,87,8 >8,5 5,75,9 Tabela Pilares cm λ = 6 (seçã 3),5,85,,65,95,,, 4,4,,5,6, 3,54, 5,73,,,97,5 4,49,3 7,,,3 3,8,6 6,34,6 >8,4 4,44,9 >8,5 5,55, 7.3 Pilares cm a seçã 3 da figura Tabela 9 Pilares cm λ = (seçã 3),5,,,,47,7,77,,5,3,4,63,5,,5,38,95,4 3,7,3,3,3, 3,56,4 5,75,5,4,38,7 5,8,6 7,8,5,5 3,44,6 6,73,4 >8 Tabela Pilares cm λ = 8 (seçã 3),5,9,5 4,8,3,,9 7,3 4,36,7 7,43,98,5,45,6 5,93,4 >8, 3,68,9 6,9,8,3 4,96,4 >8,4 6,3,8,5 7,5,8 Cnfrme se bserva nas tabelas, métd prpst frnece bns resultads, quand cmparad cm sftware JMPILAR. Para valres muit baixs de, métd simplificad pde superestimar as áreas de aç, principalmente se esfrç nrmal reduzid ν fr pequen. Ist crre prque essas situações sã muit próximas da zna nde a armadura é tericamente desnecessária. O mdel nã linear
46 Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, cnsegue detectar essa prximidade, que nã é pssível cm métd simplificad. Em alguns cass, crrem pics n valr de R (áreas smbreadas das tabelas). Esse tip de prblema também crre cm utrs métds simplificads, cm métd d pilar-padrã cm curvatura aprximada. Nas figuras, 3 apresentam-se s istgramas de R = A s, MÉTODO A s, MPILAR, cm a exclusã ds valres de pic (nas prximidades da zna nde a armadura é tericamente desnecessária). Cnfrme se bserva, s errs médis R m sã muit próxims da unidade e s ceficientes de variaçã V sã pequens, que indica um excelente ajuste d métd simplificad prpst. 3 Frequência Seçã 6 Rm=,7 V=4 8 4.96..4.8..6. Valres de R Fig. Histgrama de R para a seçã Rm=,99 V=3,9 Seçã Seçã 3 Frequência Frequência 8 4 Rm=,5 V=3,8.84.88.9.96.4.8..6 Valres de R Fig. Histgrama de R para a seçã.9.96..4.8..6 Valres de R Fig. 3 Histgrama de R para a seçã 8. CONCLUSÕES Neste trabal apresentu-se a frmulaçã d métd d mment majrad para a cnsideraçã ds efeits de segunda rdem n dimensinament ds pilares de cncret armad. A partir dessa frmulaçã, fram demnstradas as expressões d denminad métd d pilar padrã cm rigidez aprximada, cnstante na NBR-68. A grande dificuldade de utilizaçã desses métds, reside na necessidade de definiçã da rigidez equivalente das seções d pilar. A
Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.37-47, Mai, 47 expressã prpsta na NBR-68 nã representa adequadamente essa rigidez. Na mairia ds cass, essa expressã frnece uma rigidez excessiva para pilar, que explica fat de esse métd da nrma frnecer sluções cntrárias à segurança, cm fi mstrad na parte [3]. Cm uma cntribuiçã adicinal, fi prpsta uma fórmula simples para cálcul d fatr de amplificaçã de mments. Os resultads btids cm essa fórmula fram cmparads cm s resultads exats, ficand demnstrada a precisã d métd prpst.. Araúj, J.M. Prjet Estrutural de Edifícis de Cncret Armad. Ri Grande. Editra Dunas,. ed. 9.. Araúj, J. M. PACON : Prgrama auxiliar para prjet de estruturas de cncret. Site: www.editradunas.cm.br. REFERÊNCIAS. Araúj, J. M. Pilares esbelts de cncret armad. Part: Um mdel para análise e dimensinament. Revista Teria e Prática na Engenaria Civil, n.8, p.8-93, nv.,.. Araúj, J. M. JMPILAR Sftware para análise e dimensinament de pilares esbelts de cncret armad. 9. Infrmações dispníveis em www.editradunas.cm.br. 3. Araúj, J. M. Pilares esbelts de cncret armad. Parte : Verificaçã ds métds simplificads da NBR-68. Revista Teria e Prática na Engenaria Civil, n.9, p.5-35, mai,. 4. Assciaçã Brasileira de Nrmas Técnicas: NBR-68: Prjet de Estruturas de Cncret. Ri de Janeir, 3. 5. American Cncrete Institute. Building Cde Requirements fr Structural Cncrete (ACI 38-95) and Cmmentary (ACI 38R-95). Detrit, 995. 6. Eurpean Cmmittee fr Standardizatin. Eurcde : Design f Cncrete Structures Part -: General rules and rules fr buildings. Final draft., dec., 3. 7. Cmisión Permanente del Hrmigón. Instrucción de Hrmigón Estructural, EHE. Madrid, 7. 8. Araúj, J. M. Curs de Cncret Armad. 4 vl. Ri Grande: Editra Dunas, 3. ed.,. 9. Araúj, J. M. Métds simplificads para cnsideraçã ds efeits de segunda rdem n prjet de pilares de cncret armad. Revista d IBRACON, n.7, p.3-, Sã Paul, nv./dez.. (dispnível em www.editradunas.cm.br/publicaces.tml).