Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Elétrica Prof. Pedro Macário de Moura Pedro.mmoura@univasf.edu.br A educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo. Mandela Lista 0: Funções de Uma Variável Real 09.0.5 I Parte Construção de Gráficos de Funções Fundamentais Problema 0 Construa os gráficos das funções lineares (linhas retas): y k se k = 0; ; ; /; -; -. b) y b se b = 0;;;-;- Problema 0 Construa os gráficos das funções de º grau: y a se a=; ; / ;- ;- b) y c se c=0; ; ;- c) y a b c se )a=, b=-, c=; )a=-, b=-6, c=0 Problema 0 Construa os gráficos das funções racionais de grau maior que : y b) y ( ) c) y d) y e) y Problema 0 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles): y b) y d) y e) y Construímos muros demais e pontes de menos. Newton
Problema 05 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias: y b) y c) y d) y 0 e) y (curva de Agnesi) f) y (serpentina de Newton) Problema 06 Construa o gráfico das funções eponenciais e logarítmicas: b) f ( ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) ln( ) e) f ( ) ln( ) f) f ( ) e g) y e Problema 07 Construa o gráfico das funções trigonométricas a seguir, dando o domínio, a imagem e o período de cada uma: f ( ) sen b) y sen c) f ( ) cos d) y sen e) y cos f) y cos / g) y tg / Construímos muros demais e pontes de menos. Newton
II Parte Operações Fundamentais com Funções Problema 0 Se f( ) = -, então : g() = 9-5 b) g() = 9 + 5 c) g() = 5-9 d) g() = 5 + 9 e) g() =9-5 Problema 0 O domínio da função real f(g()), sabendo-se que f()= e g() = D=(R/ -} b) D={R/0 e -} c) D={R/-<- ou 0 } d) D={R/-- ou 0 } e) D= {R/-<<-ou 0} é : Problema 0 Considere as funções f() = + e g() = ² -. Então as raízes da equação f(g())=0 são : inteiras b) negativas c) racionais d) inversas e) opostas Problema 0 Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f() = e. O valor de g(g (-))+f(g ()) é: b) c) d) / e) 5/ Construímos muros demais e pontes de menos. Newton
Problema 05 Seja y=f() uma função definida no intervalo [-; 6] conforme indicado no gráfico. Deste modo, o valor de f(f()) é: b) 0 c) - d) -/ e) Problema 06 Com respeito à função f:rr, cujo gráfico está representado abaio, é correto afirmar: (f o f) (-) = b) (f o f) (-) = c) (f o f) (-) = - d) (f o f) (-) = 0 e) f(-) = Problema 07 Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes: - C, a taa média diária de monóido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5p +; - em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t)=0 + 0, t. Em relação à taa C, epresse-a como uma função do tempo; b) calcule em quantos anos essa taa será de, partes por milhão. Problema 08 O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (-,) e (,0). Se função inversa de f, determine f (). f é a Problema 09 Seja f : R R a função dada por: f ( ) e seja : R R g a função dada por f ( h ) f ( ) g( ), com h 0. Nessas condições, g( ) é igual a: h h b) c) d) + h e) + h Construímos muros demais e pontes de menos. Newton
Problema 0 Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g. A soma f(g()) + g (f ( )) é igual a: b) c) 0 d) e) Problema Simplifique as epressões ao máimo. sen sen. cos sen b) cos cossen cos sen cos c) tg sen sen. cos sen Problema As epressões tg e cos sen E são equivalentes. Justifique. cos E Problema Verifique as identidades trigonométricas. sen sen cos. tg. cos b) sec. tg sen 7 cos c) 5 cossec. cos cot g sen.cos sen cos. tg cos d) 5 sen e) cot g sen 5 cossec. cos cos cos Problema Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,) e é paralela ao eio OX. A semi-reta Ot forma um ângulo com o semi-eio OX 0º 90º e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. Marque a opção que calcula a área do triângulo TAB, em função de. sen.cos b) sen. sen c) sen. tg d) sen.cot g e) sen.sec Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 5
Problema 5 A epressão cossec. cos cossec. cos é igual a: sen b) cos c) cossec d) tg e) sec Problema 6 sen cos Para todo IR, tal que sen cos, a epressão é idêntica a: sen cos tg b) sen cos c) d) sen. cos sen cos e) Problema 7 n Se cos, então n n n n b) n tg é igual a: cot g n c) n n d) n n e) n Problema 8 Transforme o polinômio um deles do terceiro grau. Resposta em um produto de dois polinômios, sendo Problema 9 Sabendo que, calcule. Problema 0 Se os números e são as soluções da equação então o valor da soma é? Resposta. Problema Se é raiz de multiplicidade do polinomio, encontre se possível os valores de Problema um número positivo tal que, o valor de é? Resposta Problema Os coeficientes do polinômio devem satisfazer certas relações para que seja um cubo perfeito. Demonstre e depois assinale a opção correta para que isto se verifique: D=C²A/B b) C=B/A³ e D = B²/7A³ c) BC=.A e C.D² = B²A² d) C=B²/.A e D = B³/7.A² Resposta Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 6
Problema Dada a equação. + = 0, assinale o que for correto. 0. A soma entre suas raízes é e o produto é. 0. A soma entre suas raízes é nula. 0. Se s é a soma entre suas raízes, então 0 s = 0 08. Se p é o produto entre suas raízes, então p = 6. O produto entre suas raízes é um número ímpar Problema 5 Num raio de km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o número de famílias que recebem menos de salários mínimos é dado por N() = k., em que k é uma constante e > 0. Se há 6 famílias nessa situação num raio de 5km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de km da escola, seria: Problema 6 O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = α. t onde t 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será: 6 α b) 8 α c) 9 α d) 8 α e) α + 8 Problema 7 Num tanque biodigestor, os dejetos suínos sob a presença de determinadas bactérias se t decompõem segundo a lei D( t) K., na qual K é uma constante, t indica o tempo (em dias) e D(t) indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t. Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico abaio, a quantidade de dejetos estará reduzida a 8 g depois de: 6 dias b) dias c) dias d) 0 dias e) 8 dias Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 7
Problema 8 O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara Federal foi ajustado através da função f() = log a + m e está apresentado na figura, onde representa o número de dias que precediam o pleito e f() o número de votos em milhares de unidades. Sabendo que g() = f(), o valor de g () é: b) c) 9 d) 7 e) 8 Problema 9 A epressão que representa a inversa da função f() = log ( + ) é f () = + b) f () = c) f () = d) f () = ( ) e) f () = log ( + ) Problema 0 O número real que satisfaz a equação log 5 log ( ) = é: Irracional b) Primo c) Quadrado perfeito d) Negativo e) Múltiplo de 5 Problema Sejam os conjuntos A R / e B y R / y por f ( ). Obtenha a função inversa de f. e a função f de A em B definida Problema Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 8
Problema Problema Problema 5 Problema 6 Problema 7 Problema 8 Problema 9 Problema 0 Problema Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 9
III Parte Modelos Problemas BIBLIOGRAFIA ANTON, H. et AL. Cálculo. vol.. 8ª ed. Porto Alegre, Bookman, 007. DANTE, L. Roberto. Matemática Conteto & Aplicações, Volumes:, e, ª ed. São Paulo, Ática, 0. DEMANA, Franklin et al. Pré-cálculo. ª ed. São Paulo: Pearson, 0. FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 007. IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática elementar vol., e, 8ª ed. São Paulo, Atual, 0. LIMA, E. Larges [et a]l. A matemática no ensino médio vol., 0ª ed. Rio de Janeiro, SBM, 006.. A matemática no ensino médio, vol., 7ª ed. Rio de Janeiro, SBM, 006. MEDEIROS, Valéria Zuma [et a]l. Pré-Cálculo, ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 00. STEWART, J. Cálculo. Vol. I. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 0. THOMAS, George B. Cálculo. Vol., ª ed. São Paulo: Pearson, 0. Construímos muros demais e pontes de menos. Newton 0