Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema de coordenadas cartesiana, fixando o ponto A (de coordenadas (0,1) como origem dos arcos. Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo: Na circunferência de raio 1, a medida do comprimento do arco de circunferência coincide com a medida do arco e consequentemente com a medida do ângulo que o define. Se o ponto P está associado à medida x, dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Assim para a figura acima temos, por exemplo, que a imagem de é B; a imagem de é B ; a imagem de é B. 1
Arcos Congruos Note que se P é a imagem de um arco então também é a imagem dos pontos que pertencem ao conjunto. Dizemos que dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas diferem de um múltiplo de. Todos os arcos cuja imagem coincide com um mesmo ponto P sobre a circunferência são côngruos. Seno e Cosseno e Tangente no Ciclo Trigonométrico Se tomarmos a circunferência de raio unitário, os valores das coordenadas de um ponto P no primeiro quadrante que é a imagem de um arco de medida sobre o circulo trigonométrico coincidira com os valores do e do, conforme ilustra a figura abaixo: Tomado a relação da tangente, concluímos que. Note que esta idéia funciona quando estamos com ângulos posicionados no primeiro quadrante (onde todos os triângulos formados são retângulos). Porém baseados nesta idéia, vamos definir as relações de seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico, expandindo estas relações para todos os quadrantes. Definimos: 2
Assim, podemos agora expandir nossa tabela para valores notáveis de seno, cosseno e tangente. Valores Notáveis de seno e cosseno Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o seno pela circunferência trigonométrica temos: 3
Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o cosseno pela circunferência trigonométrica temos: 4
Ampliando a nossa tabela de valores notáveis e usando a relação, obteremos: Medida do âgulo (em graus) Seno cosseno tangente Não há Não há Relações Trigonométricas para ângulos de medidas opostas Na circunferência trigonométrica um ângulo terá medida positiva se resultar na construção de um arco na sentido horário, e será negativo caso contrário. Usando esta convenção, verificamos na circunferência trigonométrica que: Redução ao 1º quadrante Da forma como definimos os sinais do seno e do cosseno de um ângulo, e consequentemente da tangente de um ângulo, tem sinais que dependem do quadrante em que se encontram. Podemos determinar o valor do seno e do cosseno, e, consequentemente da tangente, de qualquer ângulo em qualquer quadrante se conhecermos seus valores no primeiro quadrante. A isto chamamos de redução ao 1º quadrante. 5
Se temos um ângulo no 2º quadrante, então Neste caso ainda Se temos um ângulo no 3º quadrante, então Neste caso ainda 6
Se temos um ângulo no 4º quadrante, então Neste caso ainda Se nos detivermos ao 1º quadrante veremos que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar, e que o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complementar. Ou seja, e Esta propriedade continua válida se considerarmos todos os outros quadrantes. Resumindo, para todo sempre valem as seguintes igualdades: I) e II) e III) e IV) e Com isso é possível simplificar expressões trigonométricas que envolvem a soma de ângulos dados com ângulos que são múltiplos de. Por exemplo: 7
A idéia geométrica da tangente Vamos considerar no ciclo trigonométrico uma reta tangente à circunferência de raio 1 no ponto, com a mesma orientação do eixo. Nas figuras abaixo consideramos os casos onde o ponto é correspondente a ângulos em cada um dos quatro quadrantes: Em todos os casos, e são semelhantes. Então: Ou seja, geometricamente a é a medida do segmento. Da mesma forma, podemos situar geometricamente a cotangente na reta tangente à circunferência de raio 1 no ponto, com a mesma orientação do eixo. 8
Cícunferência Trigonométrica com Valores de Seno, Cosseno e Tangente de alguns ângulos notáveis 9
Relações Trigonométricas Fundamentais I) Para todo, vale a relação: II) Para, desde que vale a relação: III) Para, desde que vale a relação: IV) A relação secante A secante de um ângulo de medida (denotada por é definida, na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta que liga o centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos cossenos com a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo ângulo ). Na figura abaixo a secante do ângulo é o comprimento do segmento. Os e são semelhantes pois ambos são retos e possuem um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a relação: De onde temos a relação 10
V) A relação cossecante A cossecante de um ângulo de medida (denotada por é definida, na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta que liga o centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos senos com a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo ângulo ). Na figura abaixo a cossecante do ângulo é o comprimento do segmento. Os e são semelhantes pois ambos são retos e possuem um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a relação: De onde temos a relação Relações Trigonométricas decorrentes das fundamentais Temos, se Então 11
Temos, Então Temos, Então Temos, Então Temos Então 12
Identidades trigonométricas Toda igualdade entre expressões que envolvem relações trigonométricas que se verifica para todos os valores do domínio das funções trigonométricas envolvidas é chamada de Identidade trigonométrica. Igualdades que se verificam apenas para alguns valores particulares não são identidades. Neste caso dizemos que se trata de uma equação trigonométrica. Exemplos: A igualdade é uma identidade trigonométrica. Note que, tanto para a quanto para a, os valores de x para os quais o cosseno se anula fica fora do domínio das referidas funções. Portanto a expressão só tem sentido em se estudar para valores de x tais que. Para estes valores temos Se tomarmos porém a igualdade, não teremos uma identidade pois ela não é válida para todos os valores de x. Basta tomar, por exemplo para verificar que não se verifica a igualdade. Neste caso dizemos que a igualdade representa uma equação trigonométrica. Temos algumas estratégias das quais podemos lançar mão para demosntrar uma identidade: I) Partir de um dos membros da igualdade (normalmente o mais complexo) e, usando as relações fundamentais e seus desdobramentos, transformá-lo no outro membro. Exemplo: Mostrar que,. Temos: 13
II) Transformar o 1º membro em uma outra expressão, e transformar separadamente o 2º membro até chegar na mesma expressão que se conseguiu a partir do 1º membro. Exemplo: Mostrar que. Temos: Por outro lado III) Fazemos a subtração entre os dois membros e mostramos que o resultado é igual a zero, baseados no fato de que se, então necessariamente. Exemplo: Mostrar que. 14
Temos: 15
Exercícios Circunferência Trigonométrica 1) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determinar os cujas imagens são os pontos divisores. 2) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determinar os cujas imagens são os pontos divisores. 16
3) Associar as medidas dos arcos dados abaixo com as respectivas imagens desenhadas: a. b. I. c. II. d. III. e. f. IV. 4) Indicar no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes números reais:,,,,,, e. V. 5) Representar, no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes conjuntos de números: a. b. c. d. 17
Redução ao 1º quadrante 6) Determine a. (Resposta ) b. c. d. e. f. g. h. i. j. 7) Determine, tal que e 8) Determine, tal que e 9) Simplifique as seguintes expressões: a. ( ) b. c. d. e. 10) Mostre que 18
Relações 11) Se, com, determine e. e 12) Se, com, determine e. e 13) Determine o valor de m para que se tenha simultaneamente, e. m=2. 14) Simplifique a expressão, considerando. 15) Se, com, determine. 16) Simplifique as expressões: a. b. 17) Dado, calcule o valor da expressão. 18) Sendo, calcule os possíveis valores para. 19
19) Se, escreva a expressão em função de u. (Sugestão: fatore o numerador e o denominador da expressão). 20) Dado, calcule o valor da expressão. 21) Calcular, sabendo que com. 22) Calcular, sabendo que com. 23) Sabendo que, calcular o valor da expressão.. Identidades 24) Demonstre que, para todo. 25) Demonstre que, para todo. 26) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: a. b. c. d. e. f. g. 20
h. i. j. 27) Mostre que 28) Mostre que. 29) Mostre que se, então. Referências Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3. Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003. Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 3. Ed Atual. São Paulo. 1977. 21