Actividade de enriquecimento Algoritmo da raiz quadrada Nota: Apresenta-se uma actividade de enriquecimento e de um possível trabalho conjunto com as disciplinas da área de informática: os alunos poderão efectuar um programa informático para implementar os métodos apresentados. Hoje em dia utilizamos a máquina de calcular para realizar alguns cálculos complexos (e não só!!!!). Para efectuar cada um desses cálculos, a máquina de calcular tem incorporados algoritmos 1, que lhe permitem a sua realização. Existem algoritmos que permitem calcular, por exemplo, os zeros, os máximos e mínimos locais de uma função, as razões trigonométricas (seno, co-seno, tangente) de um ângulo, o inverso de um número e a raiz quadrada. A verdade é que esses valores, calculados pela máquina, são valores aproximados. E se de repente ficamos sem máquina de calcular? Que fazer? Como efectuar os cálculos? Ainda nos lembramos como adicionar, multiplicar e como dividir, pois aprendemos (ainda no primeiro ciclo de escolaridade) os algoritmos que nos permitem efectuar esses cálculos. E a raiz quadrada? Existem alguns algoritmos, relativamente simples, que nos permitem efectuar o cálculo da raiz quadrada de um número. 1 Um algoritmo é uma sequência de passos, que nos permite obter uma solução para um problema. Netprof.pt 1
Um desses algoritmos é o chamado Método Chinês. Este método permite determinar se um determinado número é ou não quadrado perfeito e a qual a sua raiz quadrada. O método baseia-se no facto de a soma de números ímpares consecutivos produzir sempre um quadrado perfeito: 1+ 3 = 2 2 = 4 1+ 3 + 5 = 3 2 = 9 1+ 3 + 5 + 7 = 4 2 = 16 1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2 = 25 Para determinar se um número é ou não quadrado perfeito e, nesse caso, qual a sua raiz quadrada, vamos subtraindo a esse número a sucessão do números ímpares (1, 3, 5, 7, ). Se chegarmos a zero, esse número é quadrado perfeito e o número de passos é a sua raiz quadrada. Vejamos com alguns exemplos: 25 é um quadrado perfeito? Se sim, qual o valor da sua raiz quadrada. 25 =? 1º Passo 25 1 = 24 2º Passo 24 3 = 21 3º Passo 21 5 = 16 4º Passo 16 7 = 9 5º Passo 9 9 = 0 Logo 25 é um quadrado perfeito e 25 = 5 ( 5 passos) Netprof.pt 2
728 é um quadrado perfeito? 728 =? 1º Passo 728 1 = 727 2º Passo 727 3 = 724 3º Passo 724 5 = 719 4º Passo 719 7 = 712 5º Passo 712 9 = 703 26º Passo 52 51 = 1 27º Passo 51 53 = 1 Logo 728 não é um quadrado perfeito, mas podemos afirmar que 26 < 728 < 27. Exercício: Utilizando o método chinês, verifica se os números seguintes são quadrados perfeitos. Em caso afirmativo, determina a sua raiz quadrada. Caso contrário, indica os seus valores aproximados às unidades, por defeito e por excesso. 1. 49 2. 73 3. 81 4. 225 5. 333 6. 360 7. 361 Netprof.pt 3
Existe um processo, não tão simples, mas que permite calcular a raiz quadrada de um número qualquer, com a aproximação desejada. Vamos apresentar este método através de alguns exemplos. Calculemos 1024. 1. Começa-se por dividir o número, da direita para a esquerda, em grupos de dois algarismos. 10 24 2. Determina-se a raiz quadrada do maior quadrado perfeito não superior ao número formado pelo grupo da esquerda. No caso do nosso exemplo, esse número é 3. De seguida, determina-se a diferença entre o número formado pelo grupo da esquerda e o quadrado perfeito. No nosso exemplo, 10 9 = 1. 10.24 3 9 1 3. À direita escreve-se o grupo seguinte de algarismos: 24. Debaixo do 3 escreve-se o seu dobro: 6. 10.24 3 9 6 1 24 4. De 124, separa-se o algarismo da direita, 4, e divide-se o número à direita, 12, por 6, obtendo-se 2. Coloca-se este quociente à direita do 6 e multiplica-se o número assim obtido, 62, pelo quociente, 2. 10.24 3 9 6 2 12 4 2 124 Netprof.pt 4
5. Como o produto obtido é menor ou igual que o numero se encontra à esquerda, efectua-se a subtracção do segundo pelo primeiro. E aceita-se 2 como sendo o segundo número da raiz quadrada. 10.24 32 9 6 2 12 4 2 12 4 124 0 Logo, 1024 = 32. Calculemos 728. 1. Começa-se por dividir o número, da direita para a esquerda, em grupos de dois algarismos. 7 28 2. Determina-se a raiz quadrada do maior quadrado perfeito não superior ao número formado pelo grupo da esquerda. De seguida, determina-se a diferença entre o número formado pelo grupo da esquerda e o quadrado perfeito. No nosso exemplo, 7 4 = 3. 7.28 2 4 3 3. À direita escreve-se o grupo seguinte de algarismos: 28. Debaixo de 2 escreve-se o seu dobro: 4. 7.28 2 4 4 3 28 Netprof.pt 5
4. De 328, separa-se o algarismo da direita, 8, e divide-se o número à direita, 32, por 4, obtendo-se 8. Coloca-se este quociente à direita do 4 e multiplica-se o número assim obtido, 48, pelo quociente, 8. 7.28 4 32 8 2 48 8 384 5. Como o produto obtido não é menor ou igual que o número que se encontra à esquerda, não se efectua a subtracção do segundo pelo primeiro. Tentamos o 7. O produto continua a ser superior ao número da esquerda. Tentamos o 6. 6. Como o produto obtido é menor ou igual que o número que se encontra à esquerda, efectua-se a subtracção do segundo pelo primeiro. E aceita-se 6 como sendo o segundo número da raiz quadrada. Logo, 728 aproximada por defeito às unidades, é 26. Exercício: Calcula, por este método, as raízes quadradas de: 1. 225 2. 324 3. 360 4. 1225 5. 9025 Netprof.pt 6
Vamos agora utilizar este método para calcular as raízes quadradas de 3 e de 5, com valores aproximados por defeito a menos de 0,01. Comecemos por verificar que: O quadrado de um número decimal tem sempre um número par de casas decimais; O número de casas decimais da raiz quadrada é metade do número de casas decimais do radicando. Assim sendo, para que a aproximação seja a menos de uma centésima (0,01) o radicando terá de ter quatro casas decimais. Podemos, então, utilizar o método apresentado para calcular 3 e 5: Comecemos por 3. Portanto, 3 1, 73 Vejamos agora 5. 5,00.00 4 100 84 1600 1329 0, 0 2 71 2,23 42 2 84 443 3 1329 Portanto, 5 2, 23 Netprof.pt 7
Exercício: Calcule as raízes quadradas seguintes, com valores aproximados por defeito a menos de 0,1. (Nota: Não esqueça que o número de casas decimais do radicando deve ser sempre um número par) 1. 2,56 2. 3,24 3. 7 4. 122,5 5. 90,25 Netprof.pt 8