7º ANO FIGURAS GEOMÉTRICAS. MEDIDA Quadriláteros. Soma das amplitudes dos ângulos internos/externos de um polígono Nuno Marreiros Antes de começar 1
Quadrilátero Um quadrilátero é um polígono com quatro lados. Quadriláteros convexos e côncavos Existem quadriláteros convexos e quadriláteros côncavos. Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo 2
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180. m A a n r Como r // BC, temos m = b e n = c (alternos internos) B b c C Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A. Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respetivamente. Como a + m + n = 180 Conclui-se que a + b + c = 180 Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer. I II Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero. Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos. A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180 ; e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180. Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 x 180 = 360. 3
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer. I II III Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice. A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180 = 540. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º... Vamos generalizar: S 3 = 180 x 1 S 4 = 180 x 2 (3 2) (4 2) 4
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º... Vamos generalizar: S 5 = 180 x 3 S 6 = 180 x 4 (5 2) (6 2) Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º... Vamos generalizar: A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por: Si = 180 x (n 2) 5
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono qualquer Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer. A i 1 e 1 i 1 + e 1 = 180 i 2 + e 2 = 180 i 3 + e 3 = 180 S i + S e = 180 3 e 2 B i 2 i 3 e 3 C 180 + S e = 540 S e = 360 Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180. Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º). MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono e 2 A B e 1 i 1 e 3 i 2 i 3 C e 4 i 1 + e 1 = 180 i 4 D Vértice A Vértice B Vértice C Vértice D i 2 + e 2 = 180 i 3 + e 3 = 180 i 4 + e 4 = 180 Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares (180º). 6
Recorda As equações Determina as medidas dos ângulos internos dos quadriláteros apresentados. Página Exercícios 29 9. 10. 11. 12. 13. a) b) 14. a) b) No PowerPoint Extra 1. 2. 3. 4. 5. 7
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a) b) Determina a soma das amplitude dos ângulos externo de um icoságono. a) b) Determina a amplitude de um ângulo externo de um polígono com 12 lados. 10
EXTRA 1. Sabe-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono regular é 9180º. 2. 3. a) Determina quantos lados tem esse polígono. b) Determina, aproximadamente, a amplitude de um dos seus ângulos externos. Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes dos seus ângulos internos é 5500º. Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes dos seus ângulos externos é 500º. EXTRA 4. Sabendo que a amplitude de um dos ângulo interno de um polígono regular é 172º, determina quantos lados tem. 5. Sabendo que a amplitude de um dos ângulo externos de um polígono regular é 8º, determina quantos lados tem. 11