CONCEIOS EM PLANEJAMENO E OIMIZAÇÃO DE REDES PARA MONIORAMENO DE DEFORMAÇÕES Antono Smões Slva 1 Veônca Maa Costa Romão 1 Unvesdade Fedeal de Vçosa UFV -Depatamento de Engenhaa Cvl, asmoes@ufv.b Unvesdade Fedeal de Penambuco UFPE -,Depatamento de Engenhaa Catogafca, vcosta@ufpe.b RESUMO Levantamentos paa contola defomação de estutuas são mplementados com objetvo de med as vaações de copos defomáves nas suas fomas, dmensões e posção. Usualmente a defomação é avalada atavés da vaação das coodenadas de pontos. Potanto um conjunto de pontos estáves deve esta dsponível paa sev de efeênca. Neste tabalho é apesentada uma sstemátca evsão dos concetos e modelos paa consegu uma ótma ede de levantamentos atavés dos ctéos de pecsão e confabldade. Otmzação, Confabldade, Montoamento CONCEPS IN DESIGN AND OPIMIZAION OF DEFORMAION MONIORING NEWORKS ABSRAC Defomaton netwok s caed out wth the pupose of measung the changes of defomable bodes n the shape, dmenson and poston. Usually the defomaton s assessed though the changng of coodnates of the ponts. hs pape shows an extensve evson of modellng and concepts on defomaton montong. he ctea used ae pecson and elablty Optmzaton, Relablty, Montong. 1- INRODUÇÃO Na medda em que novos tpos de nstumentos se tonam dsponíves é às vezes convenente faze novas obsevações paa melhoa a qualdade das coodenadas ou da ede de levantamento exstente. Sugem então questões sobe o tpo e a manea de seem fetas estas meddas. Paa tenta esponde este tpo de questão são apesentados modelos matemátcos baseados em ctéos de otmzação. Estes ctéos de otmzação de edes planas de levantamento têm como base a pecsão,e a confabldade da ede de montoamento, de tal foma que: a) ctéo de pecsão: a vaânca a posteo de cada ponto montoado deve se mínma; b) ctéo de confabldade: o númeo de edundânca de uma ede deve se máxmo e a nfluênca dos eos gosseos não detectados nos paâmetos da ede deve se mínma; A pecsão das coodenadas pode se avalada atavés da matz de vaânca-covaânca a posteo estmada pelo método dos mínmos quadados. A confabldade da ede é sua habldade de detecta eos gosseos. Neste tabalho fez-se uma evsão dos concetos e modelos matemátcos paa apoa algotmos que mplementem a otmzação de edes paa montoamento. Uma extensa fomulação é feta pncpalmente sobe o conceto de confabldade de edes, exploando a confabldade ntena e extena.
- PLANEJAMENO DAS REDES A otmzação de uma ede de montoamento de defomações pode se mplementada levando-se em conta a mesma abodagem usada paa planeja edes geodéscas. Gafaend (1974) fez um clássco estudo sobe planejamento e otmzação de edes que anda hoje é a efeênca básca paa este assunto. Ele fez uma classfcação do planejamento po odens. Assm, sendo fel a classfcação usada ntenaconalmente, temos a) Zeo Ode Desgn (ZOD) efee-se ao poblema do datum tatando potanto da escolha de uma efeênca ótma paa os paâmetos e suas matzes vaânca-covaânca. b) Fst Ode Desgn (FOD) está afeto ao poblema de confguação da matz de obsevações e envolve a análse da escolha de posções dos pontos a obseva, de tal modo que se obtenha uma ótma confguação das obsevações; c) Second Ode Desgn (SOD) tata o poblema de detemnação dos pesos das obsevações; d) hd Ode Desgn (HOD) estuda a densfcação de uma ede vsando a um ótmo melhoamento; Estas odens do poblema de planejamento emboa sepaadas paa classfcação estão todas ntelgadas e se nteagndo no momento da mplantação ou densfcação de uma ede. Especfcamente, no caso de edes de montoamento de defomações podemos enfoca o planejamento vendo as peculadades desse tpo de levantamento. Em geal são edes planas e locas, cobndo uma áea pequena de tal odem que justfque seu tatamento no plano; O ZOD paa uma ede de montoamento não é um ponto cítco, uma vez que o que mpota é a establdade da ede de efeênca mas que a establdade de um ponto datum. De qualque modo o datum ótmo é aquele que é estável. Paa estuda o FOD em uma ede de montoamento tem-se que atenta paa os lmtes apesentados pela foma de estutua montoada. Assm nem sempe uma ótma confguação de pontos a obseva se adapta a foma da estutua e potanto o estudo deve se efomulado. De manea geal o que se pode nfe é que os pontos da ede de efeênca devem esta localzados foa da egão onde as foças defomadoas atuam e que os pontos objetos estaão localzados na egão da estutua onde se suspeta que as defomações possam ocoe. Com a tendênca de se combna obsevações GPS com obsevações convenconas ou teestes suge outo aspecto do FOD. Essa combnação, em edes de montoamento dá-se com esquemas já exstentes o que paece se um poblema de densfcação (HOD) da dze-se que estas odens estão entelaçadas. No entanto a adção de obsevações GPS tem a ve com a otmzação do númeo e da confguação dos pontos GPS elaconados com os pontos teestes peexstentes (Delkaaoglou, 1989). Po se tata da quantfcação dos pesos das obsevações, o SOD está assocado à seleção dos nstumentos que sevão na mplementação da ede. Gealmente esse pocesso é feto fxando alguns dos paâmetos envolvdos e vaando o peso paa se chega a uma ótma stuação. É um pocesso complexo e tem que se feto com bastante cudado, uma vez que a matz peso, também conhecda como matz de vaânca-covaânca a po, ou matz dos pesos das obsevações, tem gande nfluenca na matz de vaânca-covaânca dos paâmetos. Quando as obsevações são de tpos dfeentes, como é o caso de edes de montoamento, atbu pesos é um pocesso dfícl e, emboa exstam tentatvas de solucona o poblema atavés de algotmos e métodos estatístcos como é o caso deste tabalho, este é um pocesso subjetvo e que paece que nunca seá esolvdo totalmente. O HOD é estudado quando po alguma azão o esultado de uma ede de montoamento não está satsfatóo. Este esultado é então otmzado atavés da ntodução de obsevações adconas, seja do mesmo tpo das obsevações exstentes, seja de outo tpo. Em futuas épocas do montoamento novos pontos podem se adconados aos já exstentes, desde que se obsevem as odens anteoes do planejamento. 3 PRECISÃO O planejamento de uma ede eque uma pecsão especfcada de algumas ou de todas as coodenadas calculadas. A pecsão é avalada po uma matz vaânca-covaânca a posteo C x. Esta matz é o pncpal componente do ctéo de pecsão. O popósto a que uma ede de levantamento sevá é cítco paa a detemnação da pecsão exgda. Po exemplo, quando se planeja uma ede de geodésca paa montoa uma estutua de engenhaa, podem se necessáas exgêncas bastante específcas. Paa edes de fnaldades geas, não podem se estabelecdas as exgêncas paa pecsão tão faclmente. Em tas casos alguns concetos de ede deal podeam se necessáos. Estes ctéos de pecsão deal ou podem esta baseado em esultados teócos
como matz ctéo sotópca e homogênea, ou eles podem se alcançados de estudos empícos. Este tpo de matz ctéo tem uma estutua aylo-kaman (Gafaend, 198) que esulta em cículos em vez de elpses de eos nas edes planas. Uma matz ctéo é uma matz vaânca-covaânca que tem uma estutua deal que epesenta uma ótma stuação na ede planejada. Paa uma ede de montoamento de defomação nem sempe é necessáo estabelece uma matz ctéo. Como às vezes só alguns pontos têm que se montoados, elpses de eos são usadas como ctéo de pecsão. Estas elpses de eos não são nvaantes em elação ao datum. Po sto, a elpse de eo elatva é o melho ndcado da pecsão elatva. Paa edes de fnaldades específcas como as de montoamento de defomação, um ctéo útl sea uma matz de vaânca-covaânca modfcada. Esta matz vaânca-covaânca modfcada é usada como uma matz ctéo paa a otmzação, como demonstado em Koch (198). A matz ctéo é obtda modfcando-se a matz vaânca-covaânca dos pontos da ede. Supondo-se x a, y a e x b, y b as coodenadas estmadas dos pontos A e B de uma ede bdmensonal, a matz vaânca-covaânca é detemnada po x a xaya xaxb xayb y y x y y a a b a b C x = (1) smétca x b byb xy b Se fo mposto que as elpses de eos paa os pontos da ede tenham uma foma ccula, a gualdade segunte é assumda paa o pmeo ponto, que é satsfeta po Paa o ponto B ( ) + ( ) = 0 () xa xa ya ya xaya = (3)` e 0 (4) x b y b x = a y a = (5) e 0. (6) x = b y b Assm estas condções conduzem à matz vaânca-covaânca modfcada x a y a C x = (7) xb y b que pode se usada como matz ctéo paa a otmzação. Nas equações de 1 a 7 os x epesentam as vaâncas das coodenadas e xy as covaâncas. Esta déa de geal de muda a matz vaânca covaânca paa a otmzação tem que se adaptada paa cada stuação patcula. Um conhecmento pévo da tendênca do deslocamento é de muta mpotânca. Este conhecmento nos hablta paa a escolha da função de sco, desde que nem sempe a função sco é a elpse de eos tansfomada em um cículo. 4 CONFIABILIDADE Confabldade de uma ede é a habldade paa detecta eos gosseos nas obsevações e estma os efetos dos eos gosseos não detectados nos paâmetos estmados a pat das obsevações. A qualdade da ede é de fundamental mpotânca no montoamento de defomação. adconalmente, a qualdade de uma ede fo sempe descta pela medda de sua pecsão cujo componente pncpal é a matz vaânca-covaânca de coodenadas calculadas. Esta matz é dependente do datum e neglgenca o aspecto da confabldade. As obsevações e funções devadas desta, como as coodenadas, podem se julgadas atavés da pecsão e confabldade usando abodagem estatístca. O conceto de confabldade possblta uma boa avalação de possíves eos gosseos e sstemátcos. Um conjunto de obsevações que tenha alguma tendênca que não tenha sdo bem analsada pode leva a conclusões eadas. Em tas obsevações, sem nem um outo eo, meddas de pecsão vão ndca um bom esultado mesmo que este esultado esteja tendencoso e potanto não confável. 3
A confabldade de uma ede depende de sua confguação e dos pesos mas que das obsevações em s mesmas. Uma ede confável deveá te a capacdade de detecta eos gosseos tão pequenos quanto possível e também os efetos dos eos gosseos não detectados. Os pncpas ctéos de confabldade de edes são: confabldade ntena e confabldade extena. A confabldade ntena de uma ede de montoamento é habldade de detecção de eos gosseos atavés de testes de hpóteses fetos com níves de confança específcos. A confabldade extena de uma ede de montoamento é a capacdade que esta tem de contola os efetos nas coodenadas dos eos gosseos não detectados. 4.1 NÚMERO DE REDUNDÂNCIA O númeo de edundânca é a contbução da ésma obsevação à edundânca total de um conjunto de obsevações. Em outas palavas, é a contbução duma obsevação ao gau de lbedade do conjunto. Repesenta um papel mpotante em confabldade de uma ede geodésca. Os esíduos calculados atavés do método dos mínmos quadados são computados po: V 1 = A( A PA) A P I L [8] onde V e L são vetoes dos esíduos e obsevações espectvamente e A e P são matzes dos coefcentes e dos pesos Se uma obsevação contém um eo l o veto de obsevação se tona L ( l,l,l,l + l...l ) O efeto do eo da obsevação l, nos esíduos é = [9] 1 3 1 ( PA) A P I l V = A A [10] Fazendo a gualdade 1 R = I ( ) A A PA A P, [11] a equação 10 tona-se V = - R [1] l n onde R é a matz cujos elementos da dagonal são os númeos de edundânca. Os númeos de edundânca são epesentados pelos elementos dagonas de matz R e nomalmente chamados. Eles podem se vstos como a contbução das obsevações à edundânca total do sstema. Os númeos de edundânca contêm nfomação sobe a geometa da ede consdeando a nfluênca de eos das obsevações nos esíduos. Das equações 10 e 1, pode se vsto que o efeto no esíduo causado pelo eo l na obsevação de odem é detemnado pelo ésmo elemento dagonal de Se a matz de peso P é dagonal, o númeo de edundânca é computado po, = q p [13] onde, q é o elemento dagonal da matz vaânca-covaânca dos esíduos Qv Q v 1 1 ( PA) A = P A A [14] p é o peso da ésma obsevação. O valo paa vaa ente 0 e 1, 0 1. Da equação 1 pode-se estma o tamanho do eo de uma de obsevação l V l = [15] Baada (1968) afma que a melho estatístca paa descobeta de eos gosseos de obsevações não coelaconadas é V ω = [16] Um eo l l na obsevação l afeta a estatístca ω po v ω = [17] A equação 15 na equação 17 nos fonece: l v 4
l δ = ω= [18] l A equação 18 substtuu a função de pobabldade de ω po δ que é chamado de paâmeto de não - centaldade. A função pobabldade de ω sobe as hpóteses nula e altenatva são espectvamente dstbução nomal cental e não-cental Ho: n(0,1) Ha; n(δ,1) Este teste pode conduz a uma decsão eada de eo tpo I ou tpo II que são assocados às pobabldades α e β. α é a pobabldade que uma obsevação lve de eo é consdeada como tendo eo. β é a pobabldade que uma obsevação ncoeta é consdeada como coeta. Ambos os valoes do de eo gosseo l e do paâmeto de não-centaldade δ, não são conhecdos, assm a pobabldade β não pode se calculada. De acodo com Baada (1968), a elação ente o pode do teste e o paâmeto de não-centaldade é δ = δ (β,α) [19] e paa um dado β é computado o valo de δ. A tabela 1 nos fonece alguns valoes paa. δ o abela 1 δ o em função do nível de sgnfcânca α o e de (1-β o) α o 0.10% 1% 5% (1-β o ) 50% 3.9.58 1.96 70% 3.8 3.10.48 80% 4.13 3.4.80 90% 4.57 3.86 3.4 95% 4.94 4. 3.61 99% 5.6 4.90 4.9 Fonte: BAARDA (1968) Da equação 18 a elação ente o númeo de edundânca e o mao eo gosseo detemnada pela fómula, δo l = [0] l não detectado é Esta equação nos pemte calcula o mao eo gosseo detectável. Quanto mao fo o númeo de edundânca da obsevação meno seá o mao eo gosseo detectável. Das equações e 3 pode se mostado que δo =δoτ e, onde, v v = vaânca estmada do esíduo = [1] = vaânca estmada da obsevação. Esta equação 1 é a equação base paa uso em testes de confabldade no ajustamento de obsevações pelo método de mínmos quadados, devdo a sua fácl aplcação. Assm conhecdos as matzes vaânca covaânca dos esíduos (equação 14) e a matz vaânca covaânca das obsevações ( P -1 Q v ) chega-se faclmente ao cálculo do numeo de edundânca paa detemnada obsevação. E com base nesse numeo pode-se te uma boa ndcação paa avalação da pesença ou não de eos gosseos nas obsevações (Slva, 1997) É espeado que a vaânca dos esíduos e a vaânca das obsevações sejam póxmas. Neste caso o uído dos esíduos é gual ao uído das obsevações, e as obsevações ajustadas são detemnadas com pecsão alta. Então, o valo de peto de 1 é pefedo e ndca que o ganho do ajustamento é alto. Se está peto de zeo, sto pode esta sendo causado po um pequeno valo da vaânca do esíduo. Se a vaânca estmada da obsevação fo gande, nesse mesmo caso, o numeo de edundânca tendeá se anda meno. O que sgnfca que esíduos com pequenas vaâncas ou pequenos uídos nem sempe sgnfca um bom ajustamento. 5
4. CONFIABILIDADE INERNA Confabldade ntena é uma medda de avalação das obsevações. É assocada com a capacdade de a ede descob eos gosseos com uma detemnada pobabldade. Esta capacdade pode se avalada usando a fómula: δo l = [] onde, é o mao eo gosseo que pemaneceá não detectado na obsevação l ; l é o desvo padão da ésma obsevação; δ o é o lmte nfeo do paâmeto de não centaldade ; é o numeo de edundânca da ésma obsevação; A equação mosta que o valo lmte l depende da pecsão da obsevação dada po ; do nível de sgnfcânca α o e do fato (1-ßo) no lmte nfeo do paâmeto de não centaldade δ o ; depende também da ede aqu explctada atavés do numeo de edundânca. Como fo dto antes, a vaação paa é de 0 a 1. Quanto meno o númeo de edundânca da obsevação, mao deveá se um eo gosseo paa que este seja detectável. O númeo de edundânca só é gual a um quando o vedadeo valo de obsevação é conhecdo. Quando o númeo de edundânca é gual a zeo o valo do mao eo gosseo detectável tende a nfnto e o teste da obsevação não é possível. O mao eo gosseo não detectável em cada obsevação pode se também estmado pela fómula (Dodson,1990) =δ τ [3] onde τ = v l o Como na equação, δ aqu também é admensonal e é calculado a pat da densdade de pobabldade da dstbução nomal, e depende do valo escolhdo de α e (1-β). Cada obsevação fonece um detemnado τ que po s só já é uma medda de confabldade. τ tem valoes ente um e nfnto. Quanto mao fo τ meno seá a confabldade da obsevação. Uma quantdade altenatva e pátca usada como uma medda de confabldade ntena é poposta po Ashkenaz(1981), que é: ˆ ρ = [4] Que dze, a azão ente o desvo padão a posteo da ésma obsevação e o desvo padão a po da mesma obsevação. Quanto mao o númeo de obsevações que ndetamente afetam uma detemnada obsevação ou devada desta ede geodésca, meno seá o fato ρ. Isto ndca um alto gau de confabldade. Po outo lado, uma azão gual a undade coespondea a uma falta completa de confabldade, que dze, a medda envolvda podea conte um eo gosseo sem modo de se descobeto. ρ é gual zeo paa uma obsevação que tenha completa confabldade ntena, e gual a um paa uma medda completamente não confável. Das equações 13 e 14 podemos faze 1 = ˆ ˆ ˆ = = 1 [5] ( ) Então 1 = ρ [6] Assm pode se dto que paa uma medda completamente confável ρ é gual a zeo e é gual a um. Paa uma medda completamente nceta ρ é gual a um e é gual a zeo. 4.3 CONFIABILIDADE EXERNA A confabldade extena de uma ede de montoamento é a capacdade que esta tem de contola os efetos nas coodenadas, dos eos gosseos não detectados. Ela é medda da nfluênca de cada dos eos gosseos que pemanecem no sstema, nos paâmetos do ajustamento ou nas funções destes paâmetos (Leck,1990). 6
Paa levantamentos de contole de obas de engenhaa, os efetos de eos gosseos nos paâmetos e quantdades devadas destes são de valo mas pátco que a confabldade ntena, uma vez que os eos gosseos não detectados não têm nenhuma conseqüênca se eles não afetaem os paâmetos ou coodenadas (Coss,1983). Na análse de defomação, onde a vaação das coodenadas ente ajustamentos de épocas dfeentes ndca defomações exstentes, é patculamente mpotante que o mpacto de eos gosseos nos paâmetos seja mínmo. O ajustamento de obsevações pelo método paamétco nos mosta que pela equação abaxo são computados as estmatvas dos paâmetos 1 ( A PA) A PL X = [7] onde L epesenta o veto das obsevações e os demas símbolos são como nas equações anteoes Se l é um eo na ésma obsevação, temos o veto [ 0 0 0...1...0 0] l = [8] O eo de obsevação altea o veto das obsevações L atavés de paâmetos calculados x é afetado po calculado. Da equação 7, é calculado como x x = l e, po consegunte, o veto dos, que é o efeto de um eo de obsevação no paâmeto x 1 ( A PA) A P l onde é um veto de coluna nulo com exceção de um elemento de undade na lnha. x Como x é um fato datum dependente, Baada (1976) sugee paa computa a nfluênca de l nas coodenadas o segunte modelo: λ = C 1 x ( x ) x o onde C x é a matz vaânca covaânca dos paâmetos ajustados Em edes paa montoamento de defomações, é mpotante que nenhum eo gosseo que possa não te sdo detectado tenha nfluênca nas coodenadas dos pontos de ede. Po consegunte, uma confabldade extena boa eque um λ tão pequeno quanto possível. Isto é expessado pela elação λ o = max λ mn [30] A nfluênca de um eo gosseo não detectado nas coodenadas pode se também computada em temos do númeo de edundânca,. Da equação, l o = δ e da equação 9 a equação 30 tona-se δo. 1 ( ) ( ) 1 λ = ( ) A PA A P l A PA A PA A P l l Que esulta em 1 λ = δ0 [3] Esta equação mosta que uma ede com uma confabldade ntena boa, sto é peto de um, faz com que os eos gosseos não detectados tenham uma nfluênca pequena nos paâmetos estmados. O equsto de confabldade em uma ede de montoamento defomação esponde a pegunta: quão gande devea se um eo gosseo paa se detectado pelo sstema? A pecsão pevamente dscutda pode se consdeada como a qualdade do planejamento ou otmzação de uma ede de montoamento. Mas de mpotânca pncpal no montoamento de defomação é a confabldade da ede que é a confabldade com que com que as eas obsevações confomam com o planejamento. Paa alcança uma confabldade alta, as edes têm que se auto-vefcáves po meo de obsevações edundantes ndependentes. Paa estabelece um ctéo de confabldade paa ede de montoamento de defomação, é nteessante nvestga quão bem as obsevações ndvduas são checadas pelas outas. Além dsso, nvestga o efeto dos eos gosseos não detectados nas coodenadas da ede de montoamento de defomação. A pmea nvestgação esulta na confabldade ntena e a segunda, na confabldade extena. Valoes de confabldade ntena podem se ntepetados como as pequenas [30] [9] 7
dscepâncas em obsevações soladas. Elas podem e acontece de tal um modo que a dscepânca pode se detectada, e a obsevação ejetada. Paa uma ede, os valoes dos eos detectáves podem vaa de obsevação a obsevação e potanto dá magem a dfeentes eos gosseos. É útl leva em conta a elação l / Esta elação mosta qual quão gande devea se uma dscepânca em uma obsevação em compaação a sua pópa pecsão, antes que ela possa se detectada. O ctéo de confabldade ntena pode se avalado pelo o númeo de edundânca,. Paa uma ótma ede de montoamento de defomação, o númeo de edundânca devea se máxmo. Um númeo de edundânca gande sgnfca que os eos gosseos não detectáves são pequenos. O eo gosseo de uma obsevação afeta os paâmetos e este efeto é meddo pela confabldade extena. Como mostado pela equação 3, um máxmo (númeo de edundânca) conduz a um λ mínmo (efeto do eo gosseo nas coodenadas). Assm um ctéo geal, elatvo à confabldade, paa uma ótma ede de montoamento de defomação ou mesmo uma ede geodésca genéca, é max mo λ mn mo 5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ASHKENAZI, V. Least squaes adjustment: sgnal o just nose? Chateed Land and Mneals Suveyo 3(1), 4-49., 1981 BAARDA, W. A testng pocedue fo use n geodetc netwoks. Nethelands Geodesy Com. New Sees, No.5. Delft. Nethelands. 1968 BAARDA, W. Relablty and pecson of netwoks. Damstadt. VII Intenatonal Couse fo Engneeng Suveys of Hgh Pecson, pp 17-7.,1976 CROSS, P.A. Advanced Least Squaes Appled o Poston-Fxng. London. Noth East Polytechnc. Wokng pape No.6..,1983 DELIKARAOGLOU,D & LAHAHYE,F. Optmsaton of GPS theoy, technques and opeatonal systems: pogess & pospects. Ednbugh. Symposum 10 of the Intenatonal Assocaton of Geodesy., 1989 DODSON, A. Analyss and applcaton of contol netwoks n KENNIE,. J. M. & PERIE, G (eds.) Engneeng Suveyng echnology. London. Blacke and Son Ltd..,1980 GRAFAREND, E.W. Optmsaton of geodetc netwoks. he Canadan Suveyo, vol. 8, No.5., 1974 GRAFAREND, E.W. Optmzaton of geodetc netwoks. Munchen. DGK, B, 58/III - 69-81.,198 KOCH, K.R. Optmzaton of the confguaton of the geodetc netwoks. Munchen DGK, B, 58/III 8-89.,198 LEICK, A. GPS Satellte Suveyng. New Yok. John Wley & Sons.,1990 SILVA, A. S. Optmzaton of suveyng montong netwoks. PhD hess, Insttute of Engneeng Suveyng and Space Geodesy. Unvesty of Nottngham,168pp, 1997 8