RAFAEL TERPLAK BEÊ Alocação de Bancos de Capactores em Sstema de Dstrbução de Energa Elétrca Utlzando Algortmos Genétcos Dssertação apresentada como requsto parcal para a obtenção do grau de Mestre, no Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal do Paraná. Orentadora: Dr.ª Thelma Solange Pazza Fernandes. Co-orentador: Dr. Alexandre Ras Aok Curtba 2007
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AGRADECIMENTOS O resultado deste trabalho não se deve somente ao meu esforço e dedcação, mas também ao apoo de algumas pessoas, que devem ser ctadas aqu com carnho. Assm, presto os meus snceros agradecmentos: À Professora Doutora Thelma Solange Pazza Fernandes pela sua orentação e dedcação, pelos seus ensnamentos, conselhos e palavras de ncentvo durante todo o desenvolvmento deste trabalho; Ao Insttuto de Tecnologa para o Desenvolvmento (LACTEC) pelo apoo fnancero e pela nfra-estrutura concedda para a realzação deste trabalho; Ao Professor Doutor Alexandre Ras Aok que contrbuu como co-orentador através do seu conhecmento com excelentes observações para a fnalzação do trabalho e também por toda sua cooperação e apoo, juntamente com o LACTEC, para a concretzação deste projeto; Aos meus pas, Lucas José Beê e Mran Ana Terplak Beê pela dedcação, carnho, amor e compreensão durante todos os anos de mnha vda e também durante todo este período de mestrado; À mnha namorada, companhera e amga Janana Rodrgues Lenz, pelo seu companhersmo e palavras de conforto nas horas dfíces, e também por toda sua contrbução para que a realzação deste trabalho fosse possível; À Deus, que meu deu forças para segur até aqu; À Professora Doutora Elzete Mara Lourenço pelas sugestões e contrbuções fetas em relação a este trabalho durante a pré-defesa e a defesa; À Professora Doutora Patríca Texera Lete pela complementação dada a esta dssertação na ocasão da defesa; E a todos os outros que não foram menconados aqu, mas que de alguma manera contrbuíram e fzeram parte desta camnhada.
SUMÁRIO Lsta de Tabelas...VII Lsta de Fguras... IX Lsta de Sglas... XI Lsta de Símbolos...XII Resumo... XIV Abstract...XV CAPÍTULO I: Introdução...1 1.1 Introdução...1 1.2 Estrutura da Dssertação...3 CAPÍTULO II: O Estado da Arte...4 2.1 Introdução...4 2.2 Solução va Técncas de Intelgênca Artfcal...4 2.3 Otmzação Mult-Objetvo...15 2.4 Análse de Sensbldade...15 2.5 Fluxo de Potênca em Redes de Dstrbução...17 2.6 A Corrente Inrush...20 2.7 Consderações Fnas...21 CAPÍTULO III: Algortmos Genétcos...23 3.1 Introdução...23 3.2 Termnologa...25 3.3 Característcas Geras e Representação...26 3.4 Seleção...28 3.5 Operadores Genétcos...29 3.6 Consderações Fnas...33 CAPÍTULO IV: Formulação do Problema de Otmzação...34 4.1 Introdução...34 4.2 Metodologa Utlzada pelas Empresas Dstrbudoras...34 4.2.1 Regras Pratcas para a Instalação de BC s...36 v
4.2.2 Operação dos Controles dos Capactores Automátcos...37 4.2.3 Controle com Sensor de Tempo e Tensão...38 4.3 Verfcação da Elevação da Tensão Causada pela Instalação de Capactores...39 4.4 Ajuste da Tensão...40 4.5 Formulação va AGs...40 4.5.1 Formulação Matemátca...41 4.5.2 Obtenção das Indutâncas Equvalentes entre Bancos de Capactores...50 4.5.3 Metodologa...54 4.5.3.1 População Incal...54 4.5.3.2 Codfcação dos Indvíduos...55 4.5.3.3 Fluxo de Potênca...56 4.5.3.4 Ajuste dos Capactores Automátcos...57 4.5.3.5 Convergênca do Algortmo Desenvolvdo...57 4.5.3.6 Crtéros de Seleção e os Operadores Genétcos...58 4.5.3.7 Cração da Nova População...60 4.6 Análse de Sensbldade e Incalzação...60 4.7 Análse Econômca...62 4.8 Consderações Fnas...65 CAPÍTULO V: Resultados...66 5.1 Introdução...66 5.2 Sstema 11 Barras...66 5.2.1 Resultados das Smulações para o Sstema 11 Barras...68 5.2.2 Estudo de Desempenho do Algortmo Desenvolvdo...72 5.3 Sstema 70 Barras...83 5.3.1 Resultados da Smulação para o Sstema 70 Barras Utlzando Confguração com 20 Indvíduos...84 5.3.2 Resultados da Smulação para o Sstema 70 Barras Utlzando Confguração com 10 Indvíduos...89 5.4 Análse da Corrente Inrush...91 5.5 Análse de Sensbldade...94 5.6 Smulação utlzando novos preços pra os BCs...96 5.7 Resultados da Análse Econômca...97 5.8 Comentáros Fnas...98 v
CAPÍTULO VI: Conclusões...99 6.1 Conclusões...99 6.2 Recomendações para Trabalhos Futuros...100 Referêncas Bblográfcas...102 Apêndce A: Cálculo de Fluxo de Potênca va Método da Soma das Potêncas...107 Apêndce B: Cálculo de Perdas a Partr dos Fluxos pelas Lnhas de Transmssão...110 Anexo A: Dados do Sstema de 70 Barras...113 v
LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 - Termnologa Bológca x Termnologa Computaconal x Termnologa de Otmzação de Reatvos...28 Tabela 4.1 - Condções de Carga...42 Tabela 4.2 Número de horas para cada condção de carga...42 Tabela 4.3 - Números de das útes, Sábados e Domngos num período de um ano...42 Tabela 4.4 - Porcentagem da Carga Total no Almentador para cada condção de carga...42 Tabela 4.5 - Tensão de saída em função dos patamares de carga...43 Tabela 4.6 - Custo dos Capactores...44 Tabela 4.7 - Valores adequados, precáros e crítcos para tensões nomnas de 1 kv a 69 kv..47 Tabela 4.8 - Valores adequados, precáros e crítcos para tensões nomnas até 1 kv...47 Tabela 4.9 - Tabela de Indutâncas...51 Tabela 4.10 - Codfcação dos ndvíduos...55 Tabela 4.11 - Interpretação do Indvíduo pelo Algortmo Genétco...56 Tabela 4.12 - Exemplo de seleção pelo método da Roleta...59 Tabela 5.1 - Dados de lnhas para o sstema 11 barras...67 Tabela 5.2 Dados de cargas para o sstema 11 barras...67 Tabela 5.3 Parâmetros da smulação para o sstema 11 Barras...67 Tabela 5.4 Custos encontrados nas smulações para o sstema 11 Barras...68 Tabela 5.5 Tensão nas barras onde houve alocação de reatvos para a condção de carga pesada nos das útes para o sstema 11 barras...70 Tabela 5.6 Tensão nas barras onde houve alocação de reatvos para carga leve nos domngos e ferados para o sstema 11 barras...70 Tabela 5.7 Funções objetvo consderadas em cada smulação...73 Tabela 5.8 Comparação entre as smulações 2 e 10...74 Tabela 5.9 Comparação entre smulações 2 e 4...74 Tabela 5.10 Comparação entre as smulações 2, 5 e 6...75 Tabela 5.11 Comparação entre smulações 2 e 8...75 Tabela 5.12 Comparação entre as smulações 2, 8 e 12...76 Tabela 5.13 Comparação entre smulações 5 e 13...77 v
Tabela 5.14 Comparação entre smulações 5 e 7...77 Tabela 5.15 Comparação entre smulações 5 e 14...78 Tabela 5.16 Comparação entre as smulações 13, 14 e 15...79 Tabela 5.17 Comparação entre smulações 3 e 11...79 Tabela 5.18 Comparação entre smulações 3 e 15...80 Tabela 5.19 Resultados da smulação 9...81 Tabela 5.20 Comparação entre smulações 8 e16...82 Tabela 5.21 Parâmetros da smulação para o sstema 70 Barras...83 Tabela 5.22 Custos encontrados nas smulações para o sstema 70 Barras...84 Tabela 5.23 Tensão nas barras onde houve alocação de reatvos para a condção de carga pesada nos das útes para o sstema 70 barras...86 Tabela 5.24 Tensão nas barras onde houve alocação de reatvos para carga méda nos domngos e ferados para o sstema 70 barras...86 Tabela 5.25 - Custos encontrados nas smulações para o sstema 70 Barras utlzando confguração com 10 ndvíduos...89 Tabela 5.26 - Comparação da alocação encontrada para smulação com 20 e 10 ndvíduos...90 Tabela 5.27 Alocação de Reatvos para o sstema 70 barras sem mnmzação de correntes Inrush...91 Tabelas 5.28 Correntes Inrush utlzando o crtéro da mnmzação das correntes Inrush...92 Tabela 5.29 Dstâncas entre barras utlzando o crtéro da mnmzação das correntes Inrush...92 Tabelas 5.30 - Correntes Inrush sem o crtéro da mnmzação das correntes Inrush...93 Tabela 5.31 Dstâncas entre barras sem o crtéro da mnmzação das correntes Inrush...93 Tabela 5.32 Resultados utlzando sensbldade Perdas x Q...94 Tabela 5.33 - Resultados utlzando sensbldade Q x V...95 Tabela 5.34 - Novos preços para BCs...96 Tabela 5.35 - Parâmetros para as smulações com novos preços de BCs...96 Tabela 5.36 - Alocação dos BCs...96 Tabela 5.37 - Resultados da smulação utlzando novos preços para BCs...97 Tabela 5.38 - Resultados da Análse Econômca...98 Tabela A.1 - Dados das Cargas do Sstema 70 Barras...113 Tabela A.2 - Dados das Lnhas do Sstema 70 Barras...114 v
LISTA DE FIGURAS Fgura 2.1 - Topologa da Rede e a Rede Dvdda em Camadas...18 Fgura 3.1 - Exemplo de mutação...30 Fgura 3.2 - Exemplo de cruzamento de um ponto...31 Fgura 3.3 - Exemplo de cruzamento de dos pontos...31 Fgura 3.4 - Exemplo de cruzamento unforme...32 Fgura 3.5 - Exemplo de eltsmo...32 Fgura 4.1 - Perfl do reatvo do almentador...35 Fgura 4.2 - BC lgado em estrela solada...36 Fgura 4.3 - Dspostvo de Tempo...39 Fgura 4.4 - Classfcação normalzada da tensão em nível de dstrbução...48 Fgura 4.5 - Crcuto de Indutâncas para 3 Capactores...51 Fgura 4.6 - Crcuto Adaptado para Cálculo de Indutânca Equvalente a partr do Capactor da Barra 2...52 Fgura 4.7 - Crcuto Rearranjado para Cálculo de Indutânca Equvalente a partr do Capactor da Barra 2...53 Fgura 4.8 - Fluxograma do Algortmo Desenvolvdo...54 Fgura 4.9 - Exemplo de um ndvíduo para um sstema com 11 barras...56 Fgura 4.10 Exemplo de seleção pelo método da roleta...59 Fgura 5.1 Sstema 11 barras...66 Fgura 5.2 Perfl de tensão para carga pesada nos das útes para o sstema 11 barras...69 Fgura 5.3 Perfl de tensão para carga leve nos das útes para o sstema 11 barras...69 Fgura 5.4 Porcentagem da queda de tensão para carga pesada nos das útes para o sstema 11 barras...71 Fgura 5.5 Porcentagem da queda de tensão para carga méda nos das útes para o sstema 11 barras...71 Fgura 5.6 Sstema 70 barras...83 Fgura 5.7 Perfl de tensão para carga pesada nos das útes para o sstema 70 barras...85 Fgura 5.8 Perfl de tensão para carga leve nos sábados para o sstema 70 barras...85 x
Fgura 5.9 Porcentagem da queda de tensão para carga pesada nos das útes para o sstema 70 barras...87 Fgura 5.10 Porcentagem da queda de tensão para carga méda nos das útes para o sstema 70 barras...88 Fgura 5.11 Porcentagem da queda de tensão para carga leve nos domngos e ferados para o sstema 70 barras...88 Fgura A.1 - Modelo de lnha conectada a duas barras...108 Fgura B.1 - Modelo equvalente Π de uma lnha de transmssão...110 x
LISTA DE SIGLAS AG - Algortmo Genétco ANEEL - Agênca Naconal de Energa Elétrca BB - Branch and Bound BC's - Bancos de Capactores CEB - Companha Energétca de Brasíla COPEL - Companha Paranaense de Energa EDF - Eletrctè de France FC - Fluxo de Carga FP - Fluxo de Potênca FPO - Fluxo de Potênca Ótmo GA - Genetc Algorthm HS - Hperplanos Suporte SA - Smulated Annealng SDC - Soma das Correntes TIR - Taxa Interna de Retorno TMA - Taxa mínma de Atratvdade TP - Transformador de Potencal TR Tempo de Retorno VPL - Valor Presente Líqudo VR - Valor Resdual x
LISTA DE SÍMBOLOS bar barra do sstema fxo Co j custo fxo de nstalação de capactor fxo aut Co j custo fxo de nstalação de capactor automátco d Das j dstânca entre capactores corresponde ao número de das (das útes, sábados ou domngos e ferados) em cada período estudado. f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 custo das perdas custo de nstalação dos capactores fxos e automátcos custo da queda de tensão custo da volação dos lmtes de tensão somatóro das correntes nrush Horas, número de horas correspondente à condção de carga no da j j corresponde a condção de carga pesada méda, e leve Inrush, corrente nrush na barra k, para carga e da j I C I 3 j L eq k j corrente nomnal do banco de capactores corrente de curto-crcuto trfásco no ponto de nstalação do banco de capactores corresponde ao número de das útes, sábados ou domngos e ferados ndutânca total equvalente por fase entre bancos de capactores Nd número de barras onde o desvo fo maor ou gual a 4% cargapesada bar valor de carga pesada na barra bar N n_cap_aloc P j número de barras do sstema número de capactores fxos e automátcos alocados potênca total do banco de capactores p porcentagem da carga pesada ( cargapesada bar ) do almentador que corresponde a condção de patamar de carga no da j x
bar QT j dferença entre tensão de saída da subestação e tensão na barra bar referente r RTP T VD VL V ff x X Z 1s Z 1 ao patamar de carga e da da semana j resstênca do cabo em ohm/km relação de transformação do TP que almenta o controle tensão nomnal do crcuto tensão de referênca para deslgar o banco de capactores tensão de referênca para lgar o banco de capactores tensão fase-fase reatânca do cabo reatânca total entre o BC e a SE fonte mpedânca de seqüênca postva do sstema até a barra de 13,8 kv da subestação mpedânca de seqüênca postva do almentador de 13,8 kv, desde a barra da subestação até o ponto consderado wc índce de ponderação de f2 wp índce de ponderação de f 1 wv índce de ponderação de f4 w índce de ponderação de f5 Φ conjunto de barras canddatas à alocação de capactores. Essas barras compreendem apenas o tronco do almentador e que não estejam protegdos por chaves fusíves fxo χ j ndcador de capactor fxo aut χ j ndcador de capactor automátco x
RESUMO O crescente aumento da demanda tem tornado o gerencamento dos níves de potênca reatva cada vez mas mportante a fm de se contornar problemas de qualdade do fornecmento, tas como, aumento das perdas atvas, quedas de tensão e tensões fora dos lmtes regulamentados. Uma manera de se melhorar o desempenho de redes de dstrbução que apresentam esses problemas é através da nstalação de banco de capactores. Assm, esse trabalho se propõe a mplementar a técnca de Algortmos Genétcos na busca ótma dos tpos de banco de capactores (fxo ou automátco), tamanhos dos bancos (em kvar) e localzações dos mesmos em almentadores de dstrbução. A formulação adotada utlza, além dos crtéros de otmzação comumentemente utlzados, como por exemplo, a mnmzação das perdas atvas, dos custos dos capactores e a penalzação dos lmtes de tensão, crtéros como, a penalzação de quedas de tensão acma de 4% a partr da saída do almentador e a mnmzação de correntes nrush que surgem quando da energzação dos bancos de capactores. A penalzação das quedas de tensão é um crtéro complementar a fm de se garantr alternatvamente a qualdade do fornecmento. Já a mnmzação das correntes nrush tem como objetvo obter espaçamentos ótmos entre os bancos a fm de se evtar que essas correntes atnjam valores elevados e, por exemplo, danfquem elos fusíves das chaves quando das energzações ao longo dos períodos consderados. A formulação anda consdera dferentes stuações de carregamento e dferentes das da semana de modo a satsfazer smultaneamente todos os períodos consderados. Os resultados são apresentados através de sstemas radas de 11 e 70 barras. PALAVRAS-CHAVE: Alocação de Banco de Capactores, Redes de Dstrbução de Energa Elétrca, Algortmos Genétcos. xv
ABSTRACT The ncreasng of the demand has become the management of the reactve power levels, more and more mportant n order to resolve problems of qualty, such as, ncrease of the actve losses and voltages lmtatons. A way of mprovng the performance of networks dstrbutons that present these problems are through the nstallaton of capactors. Thus, ths work mplemented the technque of Genetc Algorthms to search types of capactors banks (fxed or automatc), szes of the banks (kvar) and localzaton of the same ones n a dstrbuton feeder. The adopted formulaton uses, beyond the commonly optmzaton crtera, for example, the mnmzaton of the actve losses, the capactors costs and the voltage lmts penalzaton, others as, the voltage falls penalzaton above 4% from the ext of the feeder and the mnmzaton of the nrush current that appears when the banks of capactors are energzed. The voltage falls penalzaton s a complementary crteron n order to, alternatvely, guarantee the qualty of the supply. Already, the mnmzaton of the nrush current has as objectve to get optmal dstances, between the banks n order to prevent that these currents reach hgh values that can they damage the fuses when they are energzed. The formulaton stll consders dfferent shpment stuatons and dfferent days of the week n order to satsfy all the perods smultaneously consdered. The results are presented through radal systems of 11 and 70 buses. Key-Words: Capactors Allocaton, Dstrbuton Network, Genetc Algorthms. xv
CAPÍTULO I INTRODUÇÃO 1.1 Introdução Com o aumento da demanda dos sstemas elétrcos de potênca, o gerencamento da potenca reatva tem se tornado cada vez mas mportante para as empresas fornecedoras de energa que necesstam manter as tensões dentro dos lmtes pré-estabelecdos pela ANEEL, garantndo assm bons níves de qualdade e confabldade para o consumdor. No entanto, o crescmento das cargas longe dos centros geradores, as extensas lnhas e as perdas decorrentes dos cabos resultam em varações de tensão nas barras, e assm comprometem a qualdade da energa elétrca fornecda. Além dsso, o alto nível de potênca reatva ndutva demandada nos sstemas de dstrbução também causa os problemas já conhecdos tanto no própro sstema de dstrbução, como no sstema de transmssão, ou seja, aumento das perdas e da queda de tensão, causando dfculdades no controle da tensão. Sendo assm, torna-se necessáro a nstalação de bancos de capactores (BCs) que vsam não só a redução das perdas e melhora nos perfs de tensão, mas também algumas outras vantagens enuncadas abaxo: Controle do fluxo de potênca; Melhora da establdade do sstema; Correção de fator de potênca; Compensação da energa reatva produzda por cargas ndutvas e pelas reatâncas das lnhas. Devdo à complexdade da rede e dos almentadores o ponto ótmo de operação normalmente não é alcançado e a compensação fca subutlzada. Dessa forma, torna-se necessáro desenvolver ferramentas para dar suporte à tomada de decsões do planejador para que ele possa fazer a aplcação ótma dos recursos destnados à expansão e operação do sstema de dstrbução, ou mesmo a recapactação do sstema exstente.
2 Bascamente, o problema da alocação de reatvos está em determnar, o tpo do banco de capactores (fxo ou automátco), o tamanho do banco (em kvar), a localzação do banco e os esquemas de controle deste banco. É um problema de dfícl solução, pos o número de pontos mínmos locas e o número de opções a serem analsadas aumentam com o aumento do número de barras. Os capactores dsponíves no mercado são os fxos e os automátcos. Os capactores fxos possuem um valor constante de potênca em kvar e estão permanentemente em operação. Já para os capactores automátcos é possível lgar e deslgar o banco de capactor dependendo da condção de carga e dos controles adequados como serão descrtos na seção 4.3.1 no Capítulo 4. Os crtéros de otmzação comumente utlzados na solução desse problema (SUNDHARARAJAN e PAHWA, 1994) são a mnmzação das perdas atvas, dos custos dos capactores e penalzação dos lmtes de tensão. Além desses crtéros serão utlzados nesse trabalho: () penalzação de quedas de tensão acma de 4% a partr da saída do almentador, a fm de complementar e garantr alternatvamente a qualdade de suprmento; e () mnmzação de correntes nrush que surgem quando da energzação dos bancos de capactores, a fm de obter espaçamentos ótmos entre os mesmos de modo a evtar que essas correntes atnjam valores elevados. Esses város crtéros caracterzam este problema como um problema de otmzação multobjetvo que será detalhado no Capítulo III. A formulação desse problema é de programação não lnear (BAZARAS, 1979), pos as restrções de gualdade do mesmo são as equações de um fluxo de carga, as quas são equações não-lneares e anda, é de programação ntera msta, pos envolve varáves de otmzação que assumem valores 0 ou 1, ou seja, varáves que determnam a alocação ou não de capactores em determnada barra e; envolve varáves contínuas que determnam a potênca do banco de capactores a serem nstalados. Um problema dessa natureza (não-lnear, ntero msto e multobjetvo) pode ser resolvdo por dferentes técncas heurístcas assocadas a algortmos de otmzação clássca, metaheurístcas e Algortmos Genétcos (AGs). Devdo às boas característcas dos AGs, a serem enumeradas na revsão bblográfca a ser descrta no Capítulo II, a mesma fo escolhda, nesse trabalho, como a técnca para solução do problema de alocação de banco de capactores em redes de dstrbução.
3 1.2 Estrutura da Dssertação Assm, pela mportânca e complexdade da questão de se alocar banco de capactores em rede de dstrbução, esse trabalho se propõe a estudar e mplementar uma técnca de Intelgênca Artfcal baseada em Algortmos Genétcos que permta defnr pontos crítcos onde há necessdade de se realzar compensação de reatvos e otmzar a localzação desses através de desenvolvmento de uma ferramenta computaconal. Esta ferramenta utlza nformações da rede elétrca vsando obter o ponto ótmo de operação com base na localzação deal para a nstalação dos compensadores de reatvos e na análse da sazonaldade da carga. No Capítulo II é apresentada uma revsão bblográfca sobre a questão de se alocar bando de capactores utlzando dversas técncas de Intelgênca Artfcal. No Capítulo III é apresentada uma breve descrção da técnca de Algortmos Genétcos. No Capítulo IV, além da formulação matemátca do problema de otmzação utlzado, são apresentadas técncas de sensbldades utlzadas a fm de acelerar o processo de convergênca. O Capítulo V apresenta resultados obtdos para sstemas de 11 e 70 barras e, fnalmente, no capítulo VI são apresentadas as conclusões referentes ao trabalho desenvolvdo.
CAPÍTULO II O ESTADO DA ARTE 2.1 Introdução Neste capítulo serão apresentados alguns trabalhos que servram de motvação para escolha de Algortmos Genétcos como técnca de solução adotada nesse trabalho e para a formulação do problema de otmzação multobjetvo utlzada para a alocação ótma de banco de capactores. 2.2 Solução va Técncas de Intelgênca Artfcal Poneramente, SUNDHARARAJAN e PAHWA (1994) apresentaram uma nova metodologa para determnar o tamanho, localzação, tpo e número de capactores para serem nstalados em uma rede de dstrbução radal. O objetvo fo o de mnmzar as perdas de potênca de pco e as perdas de energa no sstema de dstrbução consderando o custo do capactor. Um método baseado em análse de sensbldade fo utlzado para seleconar as localzações canddatas para alocação de capactores. Em seguda, foram utlzados Algortmos Genétcos para determnar a seleção ótma de capactores. O problema formulado nesse artgo propõe mnmzar o custo da energa perdda (P ) no sstema em n períodos de ntervalos (T ), o custo da perda máxma (P o ) ao longo dos n períodos e do custo total dos capactores de acordo com a fórmula (2.1) a segur. onde K e : custo da energa perdda; K p : custo da perda máxma; K c : custo dos capactores; mn M: número de barras canddatas à alocação; n M K ( T P ) + K P + K C (2.1) e p o c j = 1 j = 1
5 Cj : tamanho do banco de capactor. A fm de se dmnur o unverso de busca, o problema é ncalzado, determnandose as barras canddatas à localzação de capactores a partr do vetor de sensbldade ( Perdas ) obtda a partr do Jacobano (J): Q Perdas P = J Perdas Q t Perdas θ Perdas V (2.2) Assm, as barras com maores sensbldades são as canddatas para alocação de capactores dentro dos AGs. GHOSE, GOSWAMI e BASU (1998) apresentam um modelo que combna recozmento smulado (Smulated annealng - SA) e Algortmos Genétcos (Genetc Algorthms - GAs) para solução do problema de alocação de capactores em uma rede de dstrbução vsando à redução de perdas de energa. Os resultados apresentados ndcaram uma grande melhora no processo de convergênca do algortmo atngndo valores de perdas menores ou guas aos obtdos através de Algortmos Genétcos smples. No artgo de MIRANDA, OO e FIDALGO (2001) fo apresentado um modelo que usa nformação sobre o gradente da função objetvo (mnmzação das perdas) para reparar os ndvíduos e melhorar as soluções dos Algortmos Genétcos, dando uma força na dreção da convergênca do procedmento. No caso de estudo utlzado, apenas as barras PQ foram utlzadas como canddata à solução. As smulações realzadas mostraram que a convergênca é bastante acelerada com a adoção do modelo híbrdo matemátco/algortmos Genétcos. Nesse artgo, anda foram comparados três métodos: Algortmos Genétcos smples; um modelo híbrdo de algortmo genétco/programação evoluconára; e o modelo híbrdo matemátco/algortmos Genétcos. Utlzando Algortmos Genétcos smples, os níves de tensão aumentaram, as perdas reduzram, mas um grande número de capactores fo necessáro para se consegur um bom resultado. Com o método híbrdo de Algortmos Genétcos/programação evoluconára fo conseguda uma melhora sgnfcatva nos resultados, foram alocadas apenas undades
6 fxas com valores nomnas menores reduzndo sgnfcatvamente o custo de nstalação dos capactores, as perdas foram reduzdas, mas apresentaram um valor cerca de 1% maor quando comparada com a prmera stuação. O modelo híbrdo matemátco/algortmos Genétcos fo o que apresentou os melhores resultados. As perdas e o custo dos capactores foram reduzdos mas anda, pos os melhores ajustes para os capactores automátcos foram encontrados. Em GALLEGO, MONTICELLI e ROMERO (2001), o problema da alocação de reatvos determna o tpo do banco de capactores (fxo ou automátco), o tamanho do banco (kvar), a localzação do banco e os esquemas de controle deste banco. Os capactores nstalados na rede de dstrbução corrgem o fator de potênca, provocam a redução das perdas e a melhora dos níves de tensão. A função objetvo é expressa através do custo das perdas e do custo do nvestmento durante um período. 0 mn v = k T p ( x ) + f ( uk ) s. a 0 u 0 u e = 0 G ( x, u H ( x k k nt 0 k 0 k k = 1 ) = 0; = 0,1,..., nt ) 0; = 0,1,..., nt u = u nc k C 1 k C 2 ou (2.3) onde nc : número de barras canddatas (barras onde a alocação do capactor é permtda); nt : número de níves de carga lustrado de um gráfco da curva de carga do sstema; G (x,y ) : representa as equações do fluxo de potênca para o -ésmo nível de carga; H (x ) 0 : representa as restrções de operação para o -ésmo nível de carga; u 0 k : representa o tamanho do banco de capactores que pode ser alocado na barra k; u k : representa o nível de operação do capactor alocado na barra k para um nível de carga ; C 1 e C 2 : conjuntos de barras canddatas para a nstalação de capactores fxos e automátcos, respectvamente. Dos tpos de capactores são consderados os fxos e os automátcos. Para os fxos tem-se que: u 0 =u 1 =...u nt (2.4)
7 Para os capactores automátcos, os taps podem ser mudados de acordo com o nível de carga. Nesse caso para cada capactor k exstem nt+1 dferentes níves de operação, então: 0 u 0 k u k (2.5) A alocação ótma dos capactores fo resolvda usando um método híbrdo extraído a partr da técnca da busca tabu, e aproxmada utlzando técncas combnatóras, como algortmos genétcos, recozmento smulado (Smulated Annealng), e aproxmações heurístcas prátcas. A combnação destas técncas fo desenvolvda buscando-se acelerar a convergênca. Os resultados apresentados para os sstemas de 9, 69 e 135 barras apontaram uma redução das perdas em todos os casos e, fo possível perceber que quando o algortmo utlzou capactores fxos e automátcos para fazer a alocação, o tempo computaconal fo consderavelmente maor do que quando se utlzou somente bancos automátcos, devdo ao número de vezes que o fluxo de potênca fo executado. ALCÂNTARA e SILVA (2005) estudaram a determnação da nfluênca de cargas dependentes da tensão na solução do problema de localzação e controle otmzados de capactores em sstemas de dstrbução de energa. Neste artgo, efetos de cargas dependentes da tensão, chamadas cargas de mpedânca constante (Z), corrente constante (I), potênca constante (P), e uma carga msta ZIP, foram estudados e dscutdos nos seus aspectos técncos e econômcos pelo uso de um algortmo codfcado em nteros baseado em AGs. Os resultados apresentados mostraram que tamanhos e localzações dos capactores dependem fundamentalmente do modelo de carga usado para o sstema. O trabalho escrto por COELHO et al. (2005) apresenta um aplcatvo computaconal desenvolvdo para alocações de bancos de capactores em almentadores de 13,8 kv. O aplcatvo basea-se na resolução de um modelo não lnear de alocação de capactores para a otmzação de perdas em sstema de dstrbução de energa elétrca, cuja função objetvo consdera um fator de penalzação nos lmtes de tensão das barras. Um algortmo fo mplementado em lnguagem computaconal compatível ao sstema utlzado pela Companha Energétca de Brasíla CEB, e utlza um método híbrdo baseado no consumo de reatvos das cargas e uma busca combnatóra. Em AGUIAR e FRANCO (2005), a alocação de bancos de capactores em redes de dstrbução de sstemas de potênca consttu um problema de otmzação clássco para
8 redução de custos de nvestmento e perdas de energa em sstemas de dstrbução radas. Neste artgo, o problema é abordado por meo de uma estratéga de aproxmação lnear e por uma mudança na representação das varáves. A aproxmação lnear do problema é feto em dos aspectos. Um utlza hperplanos suporte (HS) para aproxmar a função de perdas em cada trecho do sstema de dstrbução. O outro é relaconado com o tratamento dado ao produto de varáves nteras e contínuas. O problema clássco é transformado num problema de otmzação ntero msta, permtndo o uso de ferramentas de otmzação comercas na solução como os algortmos convenconas de programação lnear e otmzação combnatóra. Os lmtes superores e nferores de tensão são lmtados de forma rígda, não sendo utlzadas funções de penaldades para evtar a volação de lmtes, o que permte a avalação dreta da sensbldade dos custos totas em relação à varação dos lmtes de tensão. Exemplos de aplcações do modelo em váras redes de dstrbução, com dferentes horzontes de planejamento mostram a efcênca, robustez e outros índces de desempenho, caracterzando este novo método como uma alternatva atraente a aplcações dedcadas ao planejamento de redes de dstrbução rada. Os resultados das smulações em város sstemas de dstrbução sugerem que a nstalação de bancos de capactores fxos e chaveados em conjunto é atratva, pos controla melhor o perfl de tensão e reduz mas as perdas totas. O trabalho feto por DELFANTI et. al (2000) propõe uma metodologa para se estabelecer os pontos de nstalação de capactores com o objetvo de mnmzar o custo de nstalação dos mesmos. O problema formulado nesse artgo é o segunte: s.a. mn { barras ( χ Co + C1 qc ) (2.6) canddatas à compensaçã o reatva } Qg Qg ( qc, qg, v, r) Qg para { barras de geração tpo PV } V V ( qc, qg, v, r) V para { barras de carga tpo PQ} qg v qg v v qg para { barras de carga tpo PQ com geração de reatvo} para { barras de geração tpo PV } r r r para { barras com transformadores}
9 0 onde qc χ qc para χ =1 (se o capactor for nstalado) e qc : tamanho do banco de capactores; Co : custo fxo de nstalação; C1 : custo proporconal ao tamanho de qc ; { barras canddatas à compensação reatva} χ =0, caso contráro; qg : potênca reatva gerada por bancos pré-exstentes; v : magntude de tensão das barras de carga; r : relação de magntude de taps de transformadores; As varáves de otmzação desse problema são: χ, qc, qg, v e r. O problema é não-lnear com varáves ntera-msta. O algortmo de solução adotado para esse problema é o segunte: Passo 1: Cálculo de um Fluxo de Carga, o valor da função objetvo Fbest é arbtrado. Passo 2: Lnearza-se o problema de otmzação e resolve-se o problema lnear. Passo 3: Atualza-se χ, qc, qg, v e r. Passo 4: Calcula-se novo Fluxo de Carga para varáves atualzadas. Passo 5: Checa-se as duas prmeras restrções funconas. Se há volação, vá para passo 2, senão vá para Passo 6. Passo 6: Armazene o corrente ponto de operação e função objetvo F. Passo 7: Se F < Fbest, faça Fbest=F e vá para Passo 2, senão Pare. O problema lnearzado do Passo 2 fo resolvdo por três procedmentos: a. Utlzando-se do algortmo Branch and Bound (BB). b. Utlzando-se algortmos mcrogenétcos (AGs) (utlzando-se de população de cnco ndvíduos) c. Procedmento híbrdo, onde os Algortmos Genétcos substtu o BB quando ocorre um problema numérco.
10 De modo geral, o algortmo BB fo mas rápdo do que os algortmos genétcos, no entanto, ele fornece valores sub-ótmos. O procedmento híbrdo se mostrou mas efcente, pos utlzou resultados sub-ótmos no algortmo genétco, reduzndo sua convergênca. Em ALVES, SOUZA e FERREIRA (2002), o dmensonamento, localzação e controle de bancos de capactores são levados a efeto com base na curva de carga reatva. Na prátca, as curvas de cargas ndvduas são consderadas dêntcas à curva de carga do almentador para efeto do programa de operação dos bancos de capactores chaveados e que pode ser substtuída pela curva de duração de carga aproxmada em três degraus (pesada, méda e leve). O problema de otmzação fo formulado da segunte forma: max f ( s) = k p Pm ( s) + P ( s) ke t = 1 C ( n ( s) k + n ( s) k ) sujeto a restrções de tensão. onde = 1,..., 3 : cada nível de carga; s : conjunto de parâmetros que defnem os pontos de nstalação e os controles dos bancos; k p : custo da perda de potênca de pco em $/kw; ke : custo da perda de energa em cada nível em $/kw; 3 f f c c (2.7) k f : custo de banco de capactores fxos ( $/kvar); k c : custo do banco de capactores chaveados; n f : número de capactores fxos; n c : número de capactores chaveados; C : potênca de módulo de banco de capactor (kvar); P m : redução de perdas de potênca de pco em kw; P : redução de perdas de potênca em cada nível; t : duração anual de cada nível de carga em horas. O problema procura maxmzar a economa pela nstalação dos capactores e mnmzar o custo de nstalação dos mesmos e fo resolvdo por três procedmentos: a) Utlzando-se do algortmo mcrogenétco (utlzando-se de população de 5 a 20 ndvíduos)
11 b) Lógca Fuzzy c) Um método híbrdo, onde se nser o conhecmento especalsta da lógca fuzzy a fm de reduzr o espaço de busca e dmnur o tempo de processamento. O Método Híbrdo, ou seja, o dos algortmos mcro genétcos com a nserção da Lógca Fuzzy para a ncalzação do processo fo o mas efcente. No trabalho proposto por MENDES et al. (2001) a nstalação de capactores é avalada conjuntamente sob a ótca de redução de perdas e do conseqüente aumento do lucro na dstrbução de energa, além de aspectos operaconas. Esse artgo apresenta uma nova abordagem va algortmos genétcos (AGs) como o emprego de um enfoque memétco, onde uma fase de busca local é assocado ao algortmo genétco. A abordagem va algortmos memétcos se dferenca dos AGs báscos, no emprego de uma fase de otmzação a que são submetdos os novos ndvíduos gerados. Bascamente, a caracterzação memétca se dá após a mutação dos descendentes, numa otmzação desses descendentes medante uma busca local. Fo adotada uma estrutura herárquca populaconal, formado por subgrupos de 4 ndvíduos (1 líder e 3 segudores). As recombnações ocorrem sempre entre pares de um mesmo subgrupo, mtando um comportamento mult-populaconal, onde as recombnações só ocorrem entre subpopulações. A otmzação dos descendentes fo feta através de três buscas locas: () Busca Add/Drop: cada bt do cromossomo é alterado, de forma seqüencal. Assm, um local canddato escolhdo para receber capactores é desatvado ou um local vazo é suprdo com capactores. Se houve melhora, a mudança é mantda e passa-se ao bt segunte, senão o bt retorna ao valor orgnal. () Busca Local de Capacdade: essa busca local testa os tamanhos medatamente nferor e superor do capactor atualmente nstalado. Se há alguma melhora, o valor é modfcado. () Busca Swap: retra-se um capactor de uma posção e coloca-o em outra. A função de avalação adotada é: ftness = Ganho CustoCap Pen Pen (2.8) perdas anual A B onde
12 Ganho perdas = customwh 8,75 redução _ perdas : custo das perdas na rede (roda-se um Fluxo de Carga e calculam-se as perdas de energa antes e depos da nserção dos capactores. O valor é anualzado de MW para MWh pelo fator 8,75); CustoCap anual = 1 CustoCap 1 n ( 1+ ) anos e uma taxa de juros ; : custo dos capactores anualzados para um horzonte de n Pen A CustoCap GastoMax 2 = (max[ 0, anual ]) : restrção de orçamento, onde GastoMax é o máxmo gasto permtdo na compra dos capactores por ano; 2 Pen = (max[ 0, numcap numcapmax]) : restrção de número de capactores, onde B numcapmax é o máxmo número de capactores alocados. capactores permtdos e numcap é número de O resultado obtdo utlzando uma abordagem va algortmos memétcos se mostrou nteressante e trouxe resultados váldos. O trabalho de SOUSA (2003), ncalmente, smula um fluxo de potênca ótmo cuja função objetvo é a mnmzação das perdas de transmssão. O problema é resolvdo pelo Método dos Pontos Interores versão Prmal-Dual. Os multplcadores de Lagrange obtdos da solução do FPO são utlzados para se determnar as barras que são canddatas a terem alocação de reatvos. A partr da determnação destas barras, um problema de programação lnear é resolvdo a fm de quantfcar a potênca reatva a ser alocada. A nterpretação dos multplcadores de Lagrange ( λq ) relaconadas às equações de balanço de potênca reatva, é que eles fornecem uma relação de sensbldade entre a função objetvo (f(x)) e a varação de carga reatva λq Pd : f ( x) = Pd =1,...,nb (2.9) Ou seja, as barras com os maores multplcadores de Lagrange ndcam aquelas barras cuja varação de carga reatva mas nfluenca as perdas totas, sendo essas canddatas naturas a terem alocação de reatvo. Em seguda, a partr da matrz Jacobana do sstema elétrco representado, obtevese uma matrz de sensbldade S:
13 V S = (2.10) Q que relacona varações de tensões para varações de carga reatva. Assm, consderando que uma mudança na njeção de reatvo Q j na barra j, cause uma varação V na tensão da barras de carga, tem-se: V1 S11 S12 Λ S1 m Q 2 S 21 S 22 S 2m Q = Μ Μ Μ Ο Μ Μ V k S k1 S k 2 Λ S km Q V 2 1 m (2.11) onde k é o número de barras de carga e m o número de barras onde serão alocados reatvos. Com este sstema de equações lneares, formula-se um problema de mnmzação onde se pretende mnmzar as varações de njeção de reatvo ( Q) nas barras préseleconadas pelos multplcadores de Lagrange, de modo que as varações nas tensões provocadas pelas varações de njeção de reatvos fquem dentre dos lmtes operaconas de tensão das barras consderadas. A partr da determnação destas barras, aplca-se o método Smplex com a fnaldade de determnar a quantdade de reatvos a serem alocados. A formulação do problema é: mn m Q j=1 j (2.12) s. a. V V + V V Q 0 onde V = S Q Os resultados obtdos mostraram-se coerentes com a teora e produzram excelentes respostas. A solução do problema de programação lnear alocou reatvos elevando os níves de tensão para valores bem próxmos do lmte mínmo desejado, o qual não fo atngdo em alguns casos devdo ao fato de o fluxo de carga ser um problema não lnear e
14 de a abordagem apresentada utlzar uma aproxmação lnear para quantfcar a potênca reatva a ser alocada. Recentemente, PEREIRA, COSSI e MANTOVANI (2006) abordaram a alocação de banco de capactores como um problema multobjetvo e resolvdo por um algortmo evolutvo que utlza um esquema de codfcação e operadores genétcos projetados e dreconados para consderar as característcas específcas do problema de alocação de capactores. No entanto, o que chama a atenção nesse trabalho, é a consderação além das de praxe como mnmzação das perdas atvas e custos dos capactores, é a ntrodução das restrções de tensão como uma segunda função objetvo. Como descrto, mutos trabalhos encontrados na lteratura utlzam a técnca de Algortmos Genétcos para solução do problema de alocação de capactores, pos a mesma pode tratar de problemas de otmzação com város crtéros de otmzação (mnmzação do custo das perdas, custo dos capactores, ncorporação dos lmtes de tensão e outros) e que possuem um grande número de mínmos locas, onde a solução ótma global é dfícl de ser encontrada. Como os AGs operam sobre uma população de canddatos em paralelo, podem fazer a busca em dferentes áreas do espaço de soluções, alocando um número de soluções apropradas para busca em váras regões, ao contráro dos métodos de otmzação tradconas, onde a ncalzação do algortmo é feta com um únco canddato, que teratvamente é manpulado utlzando, geralmente, métodos determnístcos para resolução de um problema (SUNDHARARAJAN e PAHWA, 1994). De um modo geral, as técncas de solução do problema de alocação de capactores em redes de dstrbução se mostraram efcentes segundo os autores dos trabalhos apresentados nesta seção, porém o desempenho dos Algortmos Genétcos foram maores quando utlzado em conjunto com outras técncas, como smulated annealng (SA), programação lnear, lógca fuzzy, programação evoluconára ou mesmo utlzando um modelo híbrdo matemátco/algortmo genétco. Como observado na revsão bblográfca apresentada acma, os crtéros de otmzação comumente utlzados para o problema de alocação de BCs são a mnmzação das perdas atvas, dos custos dos capactores e penalzação dos lmtes de tensão. Ou seja, trata-se de um problema de otmzação multobjetvo, o qual será consderado na seqüênca.
15 2.3 Otmzação Mult-Objetvo Um problema de otmzação multobjetvo consste em determnar um vetor de varáves de decsão que otmza uma função vetoral, cujos elementos representam os índces de desempenho a serem otmzados. A solução que mnmza um índce provavelmente não mnmza os outros índces, sendo assm, necessáro ntroduzr o conceto de Otmaldade de Pareto. Segundo esse conceto, uma solução vável para um problema de programação multobjetvo é uma solução de Pareto, se não exstr outra solução que rá produzr uma melhora em um objetvo sem causar uma degradação em pelo menos um dos outros objetvos (LIN, 1976). Como o problema de alocação de bancos de capactores é um problema de otmzação multobjetvo cabe colocar que não exste somente uma solução ótma para o problema abordado e sm um conjunto de possíves soluções denomnadas efcentes ou Pareto-ótmo. E, como não se conhece a mportânca de cada um dos objetvos todas as soluções Pareto-ótmo são gualmente mportantes (PEREIRA JUNIOR, COSSI e MANTOVANI, 2006). Exstem dversos métodos para obtenção do conjunto de soluções Pareto (LIN, 1976): método dos pesos, das restrções, método que otmza com herarqua, o método do crtéro global, programação de metas e outros. Mas, como o problema neste trabalho será resolvdo por Algortmos Genétcos, o mesmo pode ser alado ao Crtéro da Otmaldade de Pareto afrmando-se que a lsta-pareto é preenchda com os ndvíduos domnantes para cada objetvo ndvdualmente. Ou seja, segundo o conceto de domnânca, uma solução domna a outra quando esta solução não é por que as outras em todos os objetvos ou quando a mesma é estrtamente melhor que as outras em pelo menos um objetvo (PEREIRA JUNIOR, COSSI e MANTOVANI, 2006). 2.4 Análse de Sensbldade Como a alocação de banco de capactores é um problema combnatóro de dfícl solução e com tempo de processamento elevado, há alguns trabalhos que procuram reduzr o unverso de solução do problema orgnal, através da utlzação da análse de
16 sensbldade da Matrz Jacobana. A partr dela, pode-se seleconar prevamente os melhores locas de nstalação reduzndo o número de varáves do problema. Entre os trabalhos que utlzam essa técnca, pode-se ctar o já menconado artgo de SUNDHARARAJAN e PAHWA (1994), que alocam ncalmente capactores em barras seleconadas a partr do vetor de sensbldade ( Jacobano (J). Perdas ) obtda a partr do Q Semelhantemente, BALA, KUNTZ e PEBLES (1997) e GALLEGO, MONTICELLI e ROMERO (2001) calculam a sensbldade de perdas em relação à potênca reatva utlzando a expressão: sendo que Perdas Q = 2. α. Q + β. P (2.13) δ δ α = rj.cos (2.14) V Vj onde r j : resstênca na lnha -j β V : magntude de tensão na barra δ : defasagem angular da barra. δ = rj.sen δ V Vj (2.15) A obtenção da relação Perdas não é tarefa trval, assm, pela Q smplcd ade da expressão (2.13) e levando em conta que esta análse pode ndcar as melhores barras para alocar os capactores, reduzndo assm o tempo de processamento do algortmo, a mesma será utlzada neste trabalho. Ou seja, as barras com as maores relação ncalmente seleconadas para receberem os BCs pela técnca de solução adotada. Perdas são as Q Além de se procurar as barras onde a relação entre as perdas atvas e a potênca reatva são grandes, também exste nteresse em se buscar por barras onde a relação entre
17 potênca reatva e as magntudes de tensão são sgnfcatvas (SOUSA, 2003), ndcando que nessas barras há uma boa resposta do perfl de tensão ao se varar a njeção de potênca reatva. Assm sendo, essa relação é também utlzada nesse trabalho (seção 3.6 no Capítulo 3) a fm de se escolher as prmeras barras a serem alocadas por BCs. Essa seleção ncal por barras potencas não é mutas vezes adotada por alguns pesqusadores por se entender que o problema é de planejamento e assm não requer rapdez na obtenção da solução do mesmo (estudo off-lne), mas de qualquer forma, se for possível reduzr o tempo de processamento do algortmo, a mplementação e a possível comprovação da efcáca desta técnca de sensbldade será uma grande contrbução para este trabalho. 2.5 Fluxo de Potênca em Redes de Dstrbução Os AGs utlzados para alocar os bancos de capactores requerem uma avalação de cada solução gerada. Para que se faça essa avalação é necessára a obtenção do novo estado da rede elétrca com a nstalação dos bancos seleconados a fm de se verfcar as perdas e a melhora no perfl de tensão, ou seja, é necessáro a resolução de um fluxo de carga. Os métodos usuas de Fluxo de Carga utlzados em sstema de transmssão, tas como os métodos de Newton-Raphson e Desacoplado Rápdo, não apresentam desempenho adequado no caso de redes de dstrbução radas devdo a problemas de domnânca e mau-condconamento da matrz de admtânca nodal. Esse fato resulta de característcas partculares das redes de dstrbução, tas como, a baxa relação X/R (reatânca/resstênca) dos parâmetros dos almentadores, trechos com mpedâncas relatvamente baxas (representação de chaves, reguladores de tensão e trechos pequenos de lnha entre cargas muto próxmas) assocados a outros com valor de mpedânca relatvamente alto. Város métodos efcentes para solução do problema de fluxo de potênca em redes de dstrbução radas estão dsponíves na lteratura especalzada. Esses métodos estão dvddos em duas grandes categoras: o Método da Soma das Correntes (SDC) ou das Potêncas (SDP), conhecdos como Varredura Frente e Trás ; e os métodos baseados na Impedânca Nodal Implícta.
18 SHIRMOHAMMADI et al. (1998) apresentam a metodologa do cálculo do FP va SDC para redes radas de dstrbução de energa, a qual é lustrada através da rede apresentada na Fgura 2.1, onde L1 é o nó denomnado superor e L2 denomnado, nferor. Fgura 2.1 Topologa da Rede e a Rede Dvdda em Camadas. O método proposto segue seguntes passos báscos: 1. Cálculo da Corrente Nodal: na teração k, a njeção de corrente I (k) no nó é calculada da segunte forma: I k = ( S V ) ( k 1) * YV ( k 1) = 1, 2,..., n (2.16) (k-1) onde V é a tensão no nó calculada na teração (k-1), S é a njeção de potênca no nó e Y é a soma de todos os elementos shunt no nó. 2. Varredura Trás: começando da extremdade da rede, e camnhando até o nó raz, a corrente no ramo J L no ramo L é calculada da segunte forma: J ( k ) Correntes nos ramos = I L2 + L b, b-1,...,1 (2.17) lgados ao nó L2 ( k ) L = onde I L2 é a njeção de corrente no nó L2 (ndcado na fgura 2.1), essa fórmula é aplcação dreta da Le de Krchoff das Correntes. 3. Varredura Frente: A partr do nó raz, e camnhando para o fnal da rede, as tensões são então atualzadas. Para cada ramo L, a tensão no nó L2 é calculada
19 utlzando a tensão atualzada no nó L1 e a corrente no ramo nesse passo é calculada da segunte manera: V (k) (k) = V Z J L 1,,...,b (2.18) (k) L2 L1 L L = 2 onde Z L é a mpedânca sére do ramo L. Essa formula é aplcação dreta da Le de Krchoff das Tensões. Esses três passos são então repetdos até que um crtéro de convergênca seja atngdo, como por exemplo, não haja mas varação no módulo de tensão das barras de uma teração para outra. Segundo o artgo, a técnca se mostrou robusta e efcente, resolvendo sstemas com um grande número de nós e ramos mas rapdamente que os métodos de solução de FP convenconas, sendo a mesma frequentemente ctada e utlzada por dversos trabalhos. SRINIVAS (2000) fez um apanhado geral sobre as técncas utlzadas na solução dos problemas de FP em redes radas de dstrbução de energa. Dentre elas o já ctado Método Frente e Trás e Impedânca Nodal Implícta. O Método Frente e Trás, que consste bascamente em duas etapas: varredura dreta e nversa até que seja atngda uma condção de convergênca possu duas varantes: Soma das Correntes proposta ncalmente por SHIRMOHAMMADI et al. (1988), onde a formulação é baseada em termos de corrente. Soma das Potêncas proposta ncalmente por BROADWATER et al. (1988), onde a formulação é baseada em termos de potênca. A metodologa utlzada neste trabalho para o cálculo do FP fo a va SDP que está apresentada no Apêndce A. Adotou-se a mesma pela smplcdade de se trabalhar dretamente com potêncas, que são os valores comumente utlzados. Os métodos baseados na matrz mpedânca nodal mplícta foram propostos por CHEN (1991) e utlzam uma formulação mas adequada para sstemas malhados. Baseam-se na formação e fatoração da matrz de admtânca nodal (Ybarra) e njeções de corrente equvalentes para resolver a rede. Nesse método, o efeto da fonte e das cargas é
20 representado separadamente por superposção. A segur é mostrado os passos detalhados do algortmo: 1. Incalza o algortmo estmando as tensões nas barras e calculando a Ybarra. 2. Otmza a ordenação e fatora a Ybarra. 3. Computa as njeções de corrente nas barras para os carregamentos dos transformadores, cogeradores, elementos shunt e carregamento das lnhas. 4. Calcula os desvos de tensão devdo às njeções de corrente usando a Ybarra fatorada. 5. Aplca o prncípo da superposção e atualza todas as tensões nas barras. 6. Verfca a convergênca, se não convergu, retorna ao passo 3. 7. Computa o fluxo nas lnhas e calcula as perdas no sstema. 2.6 A Corrente Inrush A energzação de um banco automátco de capactores mplca sempre no aparecmento de uma corrente transtóra denomnada corrente nrush. O valor máxmo, bem como a freqüênca dessa corrente, depende da tensão aplcada, da reatânca do crcuto (capactânca e ndutânca), da carga armazenada no capactor a ser energzado e do amortecmento provocado pela exstênca de resstores de pré-nserção e/ou outras resstêncas do crcuto. Quando já exstem capactores lgados na rede a corrente Inrush apresenta valores mas elevados (IEEE, 1973). As fórmulas para o cálculo dessas correntes nrush para as dversas confgurações dos bancos foram obtdas de IEEE Std 342-1973 / ANSI C. 37.0731-1973 (1973) e serão apresentadas a segur. a) Energzação de um Banco Isolado onde I nrush : Corrente Inrush em amperes; I ; k = 1, 15 I c I =. (2.19) nrush 1,41 I3 I k