Análise quantitativa da volatilidade entre os índices Dow Jones, IBovespa e S&P 500

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Faculdade de Ciências Econômicas Programa de Pós-Graduação em Economia Análise quaniaiva da volailidade enre os índices Dow Jones, IBovespa e S&P 500 Daniel Cosa Lopes Poro Alegre 006

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Faculdade de Ciências Econômicas Programa de Pós-Graduação em Economia Análise quaniaiva da volailidade enre os índices Dow Jones, IBovespa e S&P 500 Daniel Cosa Lopes Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação em Economia da Faculdade de Ciências Econômicas da UFRGS apresenada como requisio parcial para obenção do íulo de Mesre em Economia. Orienador: Marcelo Savino Porugal Poro Alegre 006

3 DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP) Responsável: Biblioeca Gládis W. do Amaral, Faculdade de Ciências Econômicas da UFRGS L864a Lopes, Daniel Cosa Análise quaniaiva da volailidade enre os índices Dow Jones, Ibovespa e S&P 500 / Daniel Cosa Lopes. Poro Alegre, 006. 3 f. : il. Orienador: Marcelo Savino Porugal. Disseração (Mesrado em Economia) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Faculdade de Ciências Econômicas, Programa de Pós- Graduação em Economia, Poro Alegre, 006.. Mercado financeiro : Volailidade.. Previsão. 3. Preço de ações. 3. Modelo economérico. I. Porugal, Marcelo Savino. II. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Faculdade de Ciências Econômicas. Programa de Pós-Graduação em Economia. III. Tíulo. CDU 336.76

4 RESUMO A volailidade é uma medida de incereza quano às variações dos preços de aivos. Ese rabalho em como objeivo analisar a volailidade, aravés dos diversos modelos da família GARCH, de rês índices de mercados financeiros: Dow Jones, IBovespa e S&P 500. Com ese inuio, foram aqui uilizadas écnicas univariadas e mulivariadas, bem como análises de Causalidade de Granger. Aravés das duas primeiras ferramenas, escolhemos o melhor modelo para cada um deses casos. Usando a erceira ferramena, concluímos que o IBovespa é significaivamene influenciado pela aberura do Dow Jones e do S&P500. Por ouro lado, mosramos que a aberura do IBovespa não impaca, nem à 0% de significância, os índices Dow Jones e S&P 500. Também concluímos que a incorporação de um dos índices americanos ao modelo do IBovespa orna-o mais significaivo, uma vez que o mercado acionário brasileiro é impacado pelos dois índices ciados aneriormene. Desa forma, ese rabalho mosra que os modelos GARCH mulivariados aparenam ser mais eficazes na esimação da volailidade de aivos financeiros do que os modelos GARCH univariados. Palavras-chave: GARCH Univariado. GARCH Mulivariado. Causalidade de Granger. IBovespa. S&P 500. Dow Jones.

5 ABSTRACT The volailiy is a measure of he uncerainy of variaions of asse prices. The main goal of his work is o analyze he volailiy, by he use of several models of he GARCH family, of hree financial marke indexes: Dow Jones, IBovespa and S&P 500. Wih his purpose, we use univariae and mulivariae echniques, as well as Granger Causaliy. Using hese firs wo ools, we choose he bes model for each one of hese cases. Using he hird ool, we conclude ha he IBovespa is significaively influenced by he opening of he Dow Jones and he S&P 500 indexes. On he oher hand, we show ha he opening of he IBovespa does no impac, no even a 0% of significance, he Dow Jones and S&P 500 indexes. We also conclude ha incorporaion of one of hese American indexes o he model involving IBovespa makes i more significan, once he Brazilian Sock Marke is impaced by he wo American indexes we menion before. This work shows ha mulivariae GARCH models seem o be more efficien in he volailiy esimaion of financial asses han univariae GARCH models. Keywords: Univariaed GARCH. Mulivariaed GARCH. Granger Casualiy. IBovespa. S&P 500. Dow Jones.

6 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 8 MODELOS GARCH UNIVARIADO E MULTIVARIADO...8. ARIMA E GARCH... 8. OUTROS MODELOS DA FAMÍLIA GARCH...5.. Modelo IGARCH (Inegraed GARCH)... 6.. Modelo GARCH-M (GARCH in mean)...7..3 Modelo EGARCH (Exponencial GARCH)...7..4 MODELO TGARCH (THRESHOLD GARCH)... 8..5 Modelo PGARCH (Power GARCH)... 9.3 MODELOS GARCH MULTIVARIADO...9.3. Uso das Correlações...30.3. Decomposição de Cholesky...3.3.3 Modelos GARCH Mulivariados...37.3.3. Esimação da Covariância Exponencialmene Ponderada (Exponenially Weighed Moving Averages - EWMA)...37.3.3. Modelo Vecor Error Correcion Diagonal (VEC Diagonal)...39.3.3.3 Modelo Baba, Engle, Kraf e Kroner (BEKK)...4.3.4 Modelos GARCH para Reornos Bivariados... 4.3.4. Modelo de Correlação Consane...4.4 VECTOR AUTOREGRESSION (VAR)...44.4. Causalidade de Granger...46 3 MODELOS EMPÍRICOS DE VOLATILIDADE... 48 3. GARCH UNIVARIADO...48 3.. MORAIS e PORTUGAL (998)... 48 3.. SILVEIRA, BARCINSKI, ALMEIDA e GARCIA (997)...49 3..3 ZIEGELMANN e PEREIRA (997)... 50 3..4 KARANASOS e KIM (000)...5 3..5 UNE e PORTUGAL (005)... 5 3. GARCH MULTIVARIADO...53 3.. MANERA (003)...53 3.. GALVÃO, PORTUGAL e RIBEIRO (000)... 54 3..3 TSE e TSUI (000)...55 3..4 KLAASSEN (999)...56 3..5 HO e TSUI (004)...57 4 ANÁLISE QUANTITATIVA DA VOLATILIDADE ENTRE OS ÍNDICES DOW JONES, IBOVESPA E S&P 500...60 4. ANÁLISE DOS DADOS...60 4. GARCH UNIVARIADO...64 4.. Dow Jones...65

7 4.. IBovespa...67 4..3 S&P 500...69 4.3 GARCH BIVARIADO...7 4.3. GARCH Bivariado IBovespa x Dow Jones...76 4.3. GARCH Bivariado IBovespa x S&P 500...8 4.3.3 GARCH Bivariado Dow Jones x S&P 500... 86 4.3.4 Dummies no Modelo GARCH Bivariado IBovespa x Dow Jones...93 4.3.5 Dummies no Modelo GARCH Bivariado IBovespa x S&P 500...94 4.3.6 Dummies no Modelo GARCH Bivariado Dow Jones x S&P 500...95 4.4 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS UNIVARIADOS...96 4.5 CAUSALIDADE DE GRANGER...98 4.6 COMPARAÇÃO DOS MODELOS BIVARIADOS COM OS MODELOS UNIVARIADOS...00 5 CONCLUSÃO...05 REFERÊNCIAS...09 APÊNDICE A GRÁFICOS DA FAC E DA FACP... 4 APÊNDICE A Dow Jones... 4 APÊNDICE A IBovespa...5 APÊNDICE A3 S&P 500...6 APÊNDICE B ESTIMAÇÃO DOS MODELOS E ANÁLISES DE RESÍDUOS...8 APÊNDICE B Dow Jones... 8 APÊNDICE B - IBovespa...0 APÊNDICE B3 S&P 500... APÊNDICE C ANÁLISE GARCH BIVARIADO...4 Apêndice C IBovespa x Dow Jones...4 APÊNDICE C IBovespa x S&P 500...6 APÊNDICE C3 Dow Jones x S&P 500... 8 APÊNDICE D ANÁLISE GARCH BIVARIADO COM DUMMIES...30 APÊNDICE D IBovespa x Dow Jones...30 APÊNDICE D IBovespa x S&P 500...3 APÊNDICE D3 Dow Jones x S&P 500... 34

8 SUMÁRIO DE FIGURAS Figura - Série dos reornos do índice Dow Jones...4 Figura - Série dos reornos do índice IBovespa...5 Figura 3 - Série dos reornos do índice S&P 500...6 Figura 4.. - (a) Hisograma e esaísicas da série Dow Jones (b) Hisograma e esaísicas da série IBovespa (c) Hisograma e esaísicas da série S&P 500...6 Figura 5 - (a) Série dos Reornos do índice Ibovespa (b) Série dos Reornos do índice Dow Jones...7 Figura 6 - (a) Série dos Reornos do índice Ibovespa (b) Série dos Reornos do índice S&P 500...73 Figura 7 - (a) Série dos Reornos do índice Dow Jones (b) Série dos Reornos do índice S&P 500...74 Figura 8 - (a) Função de Auocorrelação da série IBovespa ao quadrado (b) Função de Correlação Cruzada das séries IBovespa x Dow Jones ao quadrado (c) Função de Correlação Cruzada das séries Dow Jones x IBovespa ao quadrado (d) Função de Auocorrelação da série Dow Jones ao quadrado...75 Figura 9 - (a) Função de Auocorrelação da série IBovespa ao quadrado (b) Função de Correlação Cruzada das séries IBovespa x S&P 500 ao quadrado (c) Função de Correlação Cruzada das séries Dow Jones x S&P 500 ao quadrado (d) Função de Auocorrelação da série S&P 500 ao quadrado...75 Figura 0 - (a) Função de Auocorrelação da série Dow Jones ao quadrado (b) Função de Correlação Cruzada das séries Dow Jones x S&P 500 ao quadrado (c) Função de Correlação Cruzada das séries S&P 500 x Dow Jones ao quadrado (d) Função de Auocorrelação da série Dow Jones ao quadrado...76 Figura - Resíduos do modelo DVEC(,)...78 Figura - Resíduos padronizados do modelo DVEC(,)...78 Figura 3 - Gráfico QQ dos resíduos padronizados do modelo DVEC(,)...79 Figura 4 - Volailidade condicional mulivariada do modelo DVEC(,)...80 Figura 5 - Correlação Cruzada enre os índices IBovespa e Dow Jones...80 Figura 6 - Resíduos do modelo DVEC(,)...83

9 Figura 7 - Resíduos padronizados do modelo DVEC(,)...83 Figura 8 - Gráfico QQ dos resíduos padronizados do modelo DVEC(,)...84 Figura 9 - Volailidade condicional mulivariada do modelo DVEC(,)...85 Figura 0 - Correlação Cruzada enre IBovespa e S&P 500...85 Figura - Resíduos do modelo BEKK(,)...89 Figura - Resíduos padronizados do modelo BEKK(,)...89 Figura 3 - Gráfico QQ dos resíduos padronizados do modelo BEKK(,)...90 Figura 4 - Volailidade condicional mulivariada do modelo BEKK(,)...9 Figura 5 - Correlação Cruzada enre os índices Dow Jones e S&P 500...9 Figura 6 - (a) Simulação do Dow Jones (b) Simulação do IBovespa. (c) Simulação do S&P 500...97 Figura 7 - (a) Simulação para o IBovespa. (b) Simulação para o Dow Jones...00 Figura 8 - (a) Simulação para o IBovespa. (b) Simulação para o S&P 500...0 Figura 9 - (a) Simulação para o Dow Jones. (b) Simulação para o S&P 500...03

0 SUMÁRIO DE TABELAS Tabela - Tabela do Coeficiene de Correlação enre as séries...7 Tabela - Análise de modelos GARCH univariado para a série dos reornos do índice Dow Jones...65 Tabela 3 - Dados realizados e seus respecivos predios no modelo TGARCH(,) para o índice Dow Jones...67 Tabela 4 - Análise de modelos GARCH univariados para a série dos reornos do índice IBovespa...67 Tabela 5 - Dados realizados e seus respecivos predios no modelo TGARCH(,) para o índice...69 Tabela 6 - Análise de modelos GARCH univariado para a série dos reornos do índice S&P 500...70 Tabela 7 - Dados realizados e seus respecivos predios no modelo TGARCH(,) para o índice S&P500...7 Tabela 8 - Seleção de modelos para as séries do IBovespa e Dow Jones...77 Tabela 9 - Tese Pormaneau Mulivariado (Tipo Ljung-Box) para a série dos índices IBovespa x Dow Jones...77 Tabela 9 - Mariz de Correlação Condicional Consane do modelo DVEC(,)...8 Tabela 0 - Seleção de modelos para as séries dos índices IBovespa e S&P 500...8 Tabela - Tese Pormaneau Mulivariado (Tipo Ljung-Box) para a série dos índices IBovespa x S&P 500...8 Tabela - Mariz de Correlação Condicional Consane do modelo DVEC(,)...86 Tabela 3 - Seleção de modelos para as séries dos índices Dow Jones e S&P 500...87 Tabela 4 - Tese Pormaneau Mulivariado (Tipo Ljung-Box) para a série dos índices Dow Jones x S&P 500...88 Tabela 5 - Mariz de Correlação Condicional Consane do modelo BEKK(,)...9 Tabela 6 - Comparação da Correlação Simples com a Correlação Condicional Consane...9 Tabela 7 - Seleção de modelos para as séries dos índices Dow Jones e S&P 500 com dummies...93

Tabela 8 - Seleção de modelos para as séries dos índices IBovespa e S&P 500 com dummies...93 Tabela 9 - Seleção de modelos para as séries do Dow Jones e S&P 500 com dummies...94

INTRODUÇÃO A volailidade de um aivo é uma medida de incereza quano às variações de seu preço. Ela é uma ferramena exremamene imporane para quem aua no mercado de ações: ao omar uma decisão, o acionisa esá ineressado em saber em que direção e com que velocidade um aivo irá se movimenar. Mercados que se movem lenamene são dios de baixa volailidade. Por ouro lado, mercados que se movem mais rapidamene podem ser visos como mercados de ala volailidade. Os períodos de ala volailidade no mercado acionário possibiliam maiores lucros, uma vez que uma ala variação dos aivos gera grandes oporunidades ao invesidor. Todavia, esas oporunidades razem ambém consigo um nível maior de incereza. Aualmene, a análise de risco em sido uma ferramena básica para qualquer analisa do mercado de ações. Desa forma, a gesão de risco orna-se um elemeno essencial quando se fala em ações. Sendo assim, conseguir prever de maneira significaiva a variância de um aivo é exremamene úil para o acionisa. Esa disseração se propõe a esimar a volailidade de aivos. Para ser mais específico, analisaremos a variância de alguns índices de mercados financeiros: Dow Jones, IBovespa (Índice da Bolsa de Valores de São Paulo) e S&P 500 (Sandard and Poor 500). Esimar com acurácia a volailidade de um índice financeiro é indicaivo de que podemos significaivamene prever a variância de um papel específico. No momeno que podemos mensurar se a variância de um aivo será maior ou menor em um deerminado dia, poderemos dizer em que direção e com que velocidade um aivo irá variar. Como conseqüência, o acionisa erá a possibilidade de auferir grandes lucros. Os rês índices que iremos analisar são correlacionados? Qual a correlação enre eles? Será que uma queda na bolsa americana repercue na bolsa brasileira? Como podemos modelar essas séries? Esas quesões moivaram o surgimeno dese rabalho e, porano, serão aqui respondidas.

3 Para responder a esas pergunas serão uilizadas formas meodológicas similares às que serão apresenadas na revisão bibliográfica. A idéia é esudar como prever significaivamene índices financeiros. Desa forma, primeiramene analisaremos a volailidade de algumas séries emporais uilizando um modelo GARCH univariado. Após escolher o modelo mais eficaz, passaremos para o segundo passo: realizaremos uma análise com GARCH bivariado enre as séries do IBovespa x Dow Jones, IBovespa x S&P 500 e Dow Jones x S&P 500. A idéia é que a análise bivariada irá aumenar a significância do modelo, uma vez que ela considera mais variáveis por ser uma ferramena de previsão mais complexa. Com o inuio de averiguar se a bolsa americana impaca no IBovespa, será ambém realizada uma análise de Causalidade de Granger. Feio o acima ciado, será possível responder as seguines quesões: Uma queda brusca na bolsa americana impaca a bolsa brasileira? É possível prever significaivamene o mercado financeiro? A incorporação de um dos índices do mercado americano na esimaiva do IBovespa orna o modelo mais significaivo? Acrediamos ser relevane esa análise viso que não há um consenso sobre qual é o melhor modelo economérico para as séries financeiras. Há quem acredie que, dado que o mercado acionário é eficiene, não podemos fazer nada melhor do que prever a informação do dia uilizando-se somene da informação no dia -. No enano, poderemos prever significaivamene uma série financeira se ela for ajusada a um modelo fidedigno. Veremos agora as rês séries com as quais iremos rabalhar : a) Dow Jones: O Dow Jones é um dos indicadores de maior confiabilidade mundial e ornou-se, desde sua criação, uma referência imporane para invesidores e adminisradores de recursos esrangeiros, que se baseiam em sua performance para omar decisões de invesimenos. Ele é uma média ponderada de 30 papéis Blue-Chips que geralmene são os líderes de suas respecivas indúsrias. O indicador em sido amplamene acompanhado desde o de Ouubro de 98. O índice Dow Jones foi inroduzido em 884 pelos nore-americanos Todas as séries foram reiradas do hisórico de índices dosofware Broadcas.

4 Charles Henry Dow, precursor da análise de ações, junamene com seus sócios Edward Jones e Charles Bergsresser primeiros ediores do The Wall Sree Journal. A idéia era formar uma empresa que divulgasse coações de ações e noícias econômicas do mercado de New York. Nascia a Dow Jones & Company. Todavia, foi a parir de o de Ouubro de 98 que o indicador passou a ser amplamene difundido. A Figura abaixo informa os valores dos reornos do índice Dow Jones ( y ), dados por: y ( ln x ln x ) = 00 A série, que é formada por 3.888 observações, compreende o período de 0/0/990 a 0/06/005. Vejamos o gráfico da série: Dow Jones 3 0 - - -3-4 //990 //99 //99 //993 //994 //995 //996 //997 //998 //999 //000 //00 //00 //003 //004 //005 Figura - Série dos reornos do índice Dow Jones. Fone: Broadcas b) IBovespa: O IBovespa é o principal índice da Bolsa de Valores de São Paulo. Ese mede as variações dos preços das ações das empresas mais negociadas no mercado acionário brasileiro. O índice de uma bolsa de valores serve para dar parâmeros de variação de valores ao mercado, ou seja, serve para que o invesidor possa saber se, naquela bolsa, os papéis esão valorizando ou

5 desvalorizando. Implanado em de janeiro de 968, ele é hoje o ermômero do desempenho das 54 ações mais negociadas, o que represena cerca de 80% do volume oal. A Figura abaixo mosra a série dos reornos do índice Bovespa. A série coném 3.805 observações e abrange o período de 0/0/990 a 0/06/005. Pode-se perceber fores indícios de heeroscedasicidade nesa série. É exremamene imporane conseguir modelar correamene esa variância, viso que, ponos de ala (ou baixa) volailidade são ineressanes para o invesidor, uma vez que eles implicam em alos (ou baixos) reornos. Abaixo apresenamos a série dos reornos diários do índice IBovespa. IBovespa 6-4 -9-4 //90 //9 //9 //93 //94 //95 //96 //97 //98 //99 //00 //0 //0 //03 //04 //05 Figura - Série dos reornos do índice IBovespa. Fone: Broadcas c) S&P500: O S&P500 é um índice de avaliação das mudanças das condições do mercado acionário endo como base o desempenho médio das 500 maiores empresas dos EUA. A Figura 3 abaixo informa os valores do índice S&P 500 de 3.889 observações. Os dados abrangem o período de 0/0/990 a 0/06/005.

6 Podemos perceber, a priori, uma clara presença de heeroscedasicidade na série emporal. Isso ocorre devido a perurbações presenes no mercado que, dese modo, implicam em maior volailidade no valor do índice. O gráfico abaixo mosra maior volailidade nas observações enre o período de 0/0/997 e 0/0/004. S&P 500 3 0 - - -3-4 //90 //9 //9 //93 //94 //95 //96 //97 //98 //99 //00 //0 //0 //03 //04 //05 Figura 3 - Série dos reornos do índice S&P 500. Fone: Broadcas Como o leior deve er percebido, as rês séries possuem número de dados diferenes. O IBovespa é o índice com menos dados, o que se deve ao fao de que o mercado americano er menos feriados que o brasileiro. Cabe ambém ressalar que o índice S&P 500 possui uma observação a mais do que o Dow Jones porque no dia 7/05/996 o Dow Jones não abriu. Podemos perceber que enre as rês séries, aparenemene, o IBovespa é o índice mais voláil. Enquano o reorno dos índices americanos variam, na maioria das vezes, enre -3 e 3, o brasileiro varia enre, digamos, - e. Anes de prosseguirmos ao próximo capíulo, mosraremos a Tabela, onde podemos ver uma análise de como se comporam os coeficienes de correlação simples enre as rês séries.

7 Tabela - Tabela do Coeficiene de Correlação enre as séries. Índice Dow Jones IBovespa S&P 500 Dow Jones 00% 9% 94% IBovespa 9% 00% 8% S&P 500 94% 8% 00% O coeficiene de correlação indica que um aumeno de % nos reornos da série IBovespa leva a um aumeno de 0,94% no Dow Jones. Já um aumeno de % nos reornos da série IBovespa acarrea um aumeno de 0,855% no S&P 500. Por úlimo, um aumeno de % nos reornos da série Dow Jones acarrea um aumeno de 0,94% nos reornos da série S&P 500. O Capíulo, a seguir, apresena a meodologia que será uilizada ao longo do rabalho. Em seguida, o Capíulo 3 apresena uma revisão bibliográfica de alguns rabalhos que ambém modelaram séries financeiras com as mesmas meodologias que serão abordadas nese rabalho. O Capíulo 4 apresena uma análise economérica das séries financeiras Dow Jones, IBovespa e S&P 500. Para eses dados serão consideradas as análises Univariada, Bivariada, Bivariada com Dummies e Análise de Causalidade de Granger. No Capíulo 5, apresenamos as conclusões do rabalho.

8 MODELOS GARCH UNIVARIADO E MULTIVARIADO O modelo mais simples que incorpora a volailidade de séries emporais é o Auoregressive Condiional Heeroskedasic (ARCH). Neses modelos, emos que: a) a média do reorno de um aivo é serialmene não correlacionada, porém dependene; b) a dependência do reorno do aivo pode ser descria por uma função quadráica da defasagem dos seus valores, dependendo da defasagem de seus valores presene e passados. Nos modelos ARCH, grandes choques endem a serem seguidos por ouro grande choque. Além disso, como a volailidade depende do quadrado do choque que ocorreu, o modelo ARCH assume que choques posiivos e negaivos possuem os mesmos efeios. Todavia, na práica, sabemos que isso não ocorre. A idéia é que os modelos ARCH endem a superesimar a volailidade, uma vez que eles respondem lenamene a choques isolados no reorno da série. Para conornar algumas dessas dificuldades vamos inroduzir ambém os modelos GARCH.. ARIMA e GARCH Um processo { y }, Z, auoregressivo de ordem p, denoado por AR(p), para uma dada variável y em a forma: y + = c + φ y + φ y +... + φ p y p u, (..) onde u é um ruído branco

9 E( u E( u u ) = 0 τ σ u, ) = 0, c. c. para = τ (..) onde c e φ i, para i p, são consanes reais. O processo será esacionário caso as raízes do polinômio φ z φ z p... φ 0, (..3) z p = esejam fora do círculo uniário. A esimação óima linear do nível de y para um processo AR(p) é dada por Eˆ ( y y, y,...) = c + φ y + φ y +... φ p y p +, (..4) onde ˆ( y y, y,...) E denoa a projeção linear de pelas observações passadas (, y,... ) y, denoado por F y sobre o sub-espaço gerado. Enquano a média condicional de y varia no empo, de acordo com (..4), a média não condicional é consane (se o processo é esacionário): E ( y ) = c ( φ φ... φ ) / p. (..5) de Todavia, freqüenemene esamos ineressados em esimar não só o nível y mas ambém sua variância. Mudanças na variância são de fundamenal imporância em mercados financeiros, uma vez que invesidores buscam, em geral, aivos com maior variância para ober maiores reornos. Uma variância que muda ao longo do empo ambém em implicações imporanes para a validade e eficiência da inferência dos parâmeros ( c φ, φ,..., φ, σ ) dinâmica do nível de y., p u que descrevem a

0 Embora (..) implique que a variância não condicional de u seja consane e igual a σ u, a variância condicional de u pode variar ao longo do empo. Uma maneira de modelar esa variância é descrever o quadrado de u como seguindo ambém um processo AR(m): u ζ + w, (..6) = + αu + α u +... + α mu m onde w é um novo ruído branco dado por E( w ) = 0 σ, para = τ (..7) w E( w wτ ) = 0, c. c.. Como u é o erro na previsão de y, a expressão (..6) implica que a projeção linear do erro ao quadrado de uma previsão de y nos m primeiros erros ao quadrado de previsão, é dada por Eˆ( u u, u,...) + αu + α u +... + = ζ α u. (..8) m m Um processo { y }, onde Z, cujo ruído branco u saisfaça (..6), é dio ser um Auoregressive Condiional Heeroskedasic Process de ordem m (ARCH(m)). Esa classe de processos foi inroduzida por Engle (98). Para u ser esacionário, devemos requerer que as raízes de m α z α z... α 0 (..9) m z = esejam fora do círculo uniário. Exigir que odos mesmo que requerer que α j sejam não negaivos é o α α +... + α. (..0) + m <

Quando as condições (..9) e (..0) são saisfeias, a variância não condicional de u é dada por ( ) = ζ α α... α ) σ u = E u /( m. (..) Denoe u ˆ + a previsão linear para s períodos à frene. Enão, s ( u, u,...) ˆ ˆ u E u. (..) + s = + s A previsão u ˆ + s converge em probabilidade para σ u, quando s, assumindo que w em uma variância finia e que (..0) esá saisfeio. É conveniene usar uma represenação alernaiva de um processo ARCH(m), onde hipóeses mais fores são imposas sobre a dependência serial de u. Suponha que u = h v, (..3) onde v é iid com média zero e variância igual a unidade. Caso h seja dado por h = ζ + α u + α u +... + α mu m, (..4) enão a expressão (..3) implica que E ( u u, u,...) = + α u + α u +... α u + m m ζ. (..5) Assim, caso u seja gerado por (..3) e (..4), enão u segue um processo ARCH(m) no qual a projeção linear (..8) ambém é a variância condicional de μ.

Observamos que quando (..3) e (..4) são subsiuídos em (..6) emos que h v = h + w. (..6) Sob a especificação em (..3), a inovação w na represenação AR(m) para u em (..6) pode ser expressa como = h ( v ) w. (..7) Noe que, embora em (..7) a esperança não condicional de consane, iso é, w é assumida ser E ( w ) σ w =, (..8) a variância condicional de A variância não condicional de w varia ao longo do empo. w reflee o quaro momeno de u, e ese quaro momeno não exise para odo modelo ARCH esacionário. Isso pode ser viso elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade (..7) e calculando-se a esperança não condicional de ambos os lados E ( w ) = E( h ) E( v ). (..9) Vejamos agora como um modelo Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic Process (GARCH) pode ser usado nese conexo. Generalizando o modelo que vimos acima, podemos supor que a variância condicional do processo dependa de um número infinio de defasagens de u, j

3 ( ) u h = ζ + Π L (..0) onde ( ) = = Π L Π, (..) j L j j j sendo L o operador de defasagem definido por L ( y ) y j A idéia é paramerizar Π ( L) dado na expressão (..) como a razão de dois polinômios de ordem finia Π ( L) α = ( L) δ ( L) =., (..) m i onde assumiremos que α ( L) = α i L, ( ) = i= r δ L δ e que as raízes do polinômio δ ( z) = 0 esão fora do círculo uniário. Se muliplicarmos (..0) por δ ( L) resulado obido é j= L j j [ δ ( L) ] h = [ δ ( ) ] ζ + α( L) u o (..3) ou, igualmene, h +... + δ rh r + αu + + mu m = κ + δ h... α, (..4) onde κ [ δ... δ ]ζ. O processo { } r u, onde Z, saisfazendo as expressões (..3) e (..4) é dio ser um GARCH(r,m). Somando os lados da expressão (..4), emos que: u em ambos

4 r m ( u j h j ) + δ ju j + α iu i u r + u = δ j j= j= i= h κ + (..5) ou seja, u = κ +... δ w ( δ + α) u +... + ( δ p + α p ) u p + w δw r r, (..6) onde w u h, p = max{ m, r}, δ 0, para j > r e α 0, para j > m. Noe j j que h denoa a previsão de u baseada nos valores defasados dese úlimo. Porano, w u h é o erro associado à esa previsão. Sendo assim, w é um ruído branco que é fundamenal para u. A expressão (..6) será enão reconhecida como um processo ARMA( p, r ) para u, cujo j-ésimo coeficiene auoregressivo (AR) é a soma de δ j com α j enquano o j-ésimo coeficiene da média móvel (MA) é o negaivo de δ j. Caso u seja descrio com um GARCH(r,m), enão u segue um processo ARMA(p,r), onde p = max{ m, r}. da equação O processo u será esacionário caso w enha variância finia e as raízes p ( δ + α ) z... ( δ + α ) z 0 (..7) p p = esejam fora do círculo uniário. No caso esacionário, a média não condicional de u é dada por [ ( δ + α )... ( δ α )] E( u ) = σ u = κ / p + p. (..8)

5 O cálculo da seqüência da variância condicional { h } T = de (..4) requer a pré-amosragem de valores para h,..., h p+ o e u p +,..., uo. Se ivermos observações em y e x para =,,..., T, Bollerslev (986) sugere definir h j u j ˆ u = = σ para j = p +,...,0 onde T ˆ σ u = T. = ( ) y x β A seqüência { h } T = expressão pode ser usada para calcular a log verossimilhança a parir da = = = ( y x ' β ) T T T T L( θ ) = ln f ( y x, F ; θ ) = ln( ) ln( h ), (..9) h onde F indica as informações passadas. A expressão acima pode ser maximizada numericamene com respeio à β e aos parâmeros κ,...,, δ,..., δ r, α α m do processo GARCH.. Ouros modelos da família GARCH A variância é um faor exremamene imporane no gerenciameno do risco financeiro. Apesar da volailidade não ser direamene observável, ela possui algumas caracerísicas que são comumene visas no reorno de aivos. Primeiramene, exisem clusers de volailidade, iso é, a volailidade pode ser ala em alguns períodos e baixa em ouros. Segundo, a volailidade evolui de forma consane com o passar do empo, ou seja, pulos na volailidade são raros.

6 Terceiro, a volailidade não diverge ao infinio. Esaisicamene falando, esamos dizendo que a volailidade é esacionária. Quaro, a volailidade parece reagir de maneira diferene ano a um aumeno de preço como a um decréscimo de preço. Esas propriedades são fundamenais para o enendimeno da volailidade. Alguns modelos foram proposos especificamene para corrigir as fraquezas de ouros modelos e, com isso, capurar algumas das caracerísicas mencionadas no parágrafo anerior. Desejamos agora analisar alguns modelos economéricos da família GARCH, disponíveis na lieraura, para modelarmos a volailidade do reorno de um aivo com caracerísicas específicas... Modelo IGARCH (Inegraed GARCH) Caso o polinômio da represenação GARCH enha uma raiz uniária, é conveniene uilizarmos um modelo IGARCH. Um IGARCH(,), pode ser descrio da seguine maneira a = σ ε, (..) σ ( β ) a = α 0 + βσ + + onde 0 < β < e { } ε é um ruído branco. No modelo GARCH(,) canônico, emos que ( α β ) () σ () = α + + ; (..) h 0 σ h porém, quando α + β, eremos que: = σ l ( ) 0 h ( ) σ h () + α. (..3) = l

7 O efeio de σ () na volailidade em um passo l fuuro é persisene e a h esimaiva da volailidade forma uma linha com inclinação α 0. Nesse caso, é aconselhável o uso do modelo IGARCH... Modelo GARCH-M (GARCH in mean) Um GARCH(,) M, pode ser descrio como r = μ + cσ + a, a = σ ε, (..4) σ. = α 0 + αa + βσ O parâmero c é chamado prêmio pelo risco. Um prêmio posiivo indica que o reorno é posiivamene relacionado à volailidade passada. A formulação do modelo GARCH-M implica que exise correlação serial no reorno da série. Essa correlação serial é inroduzida por eses reornos no processo de volailidade { σ }. Enreano, a exisência de um prêmio pelo risco é oura razão pela qual alguns reornos de aivos em correlação serial...3 Modelo EGARCH (Exponencial GARCH) O modelo EGARCH foi desenvolvido para capurar a assimeria na volailidade induzida por grandes reornos posiivos e negaivos. Um EGARCH (m,s) pode ser escrio como a = σ ε, (..5) S + βl +... + β S L ( ) α + g( ε ) ln σ, = 0 m αl... α ml

8 onde 0 α é uma consane, L é o operador de defasagem, al que Lg( ε ) g( ε ) =, e S + β L +... + β S L e m α L... α m L são polinômios com zeros fora do círculo uniário e não possuem raízes em comum...4 Modelo TGARCH (Threshold GARCH) Oura variação dos modelos GARCH é o TGARCH. Ese úlimo é capaz de modelar os efeios leverage de séries financeiras. O efeio leverage corresponde a correlação negaiva enre os rendimenos presenes de um papel e sua volailidade fuura. O TGARCH(p,q) é dado por p i= i p σ = a + a ε + γ S ε + b σ (..6) 0 i i= i i i q j= j j onde { } Z ε é o processo de ruído branco e S = {, se ε < 0 ; 0, se ε 0 }. i i i Sendo assim, dependendo se o valor de ε i esá acima ou abaixo do valor de hreshold zero, ε i erá diferenes efeios na variância condicional ε i for posiivo, os efeios oais são dados por i ) i i efeio oal é dado por ( a + γ ε a iε i ; quando i σ : quando ε for negaivo, o. Porano, esperamos que γ i seja posiivo para noícias ruins e, além disso, que ele seja mais impacado pelas noícias ruins. O efeio leverage vai exisir nese modelo caso enhamos γ > 0. i

9..5 Modelo PGARCH (Power GARCH) O modelo PGARCH é ouro modelo que permie incluir o efeio leverage. Ese modelo é dado por p d q d 0 + ai ( ε i + γ iε i ) + b jσ j i= j= d σ = a, (..7) onde d é um expoene posiivo, e γ i denoa o coeficiene de efeio leverage. Podese perceber que, quando d = e γ = 0, o modelo se reduz a um GARCH(p,q). i A diferença básica enre esse modelo e o anerior é que choques de volailidade geram impacos maiores no modelo TGARCH em relação ao modelo GARCH comum com efeios leverage, independene do amanho desse choque. Já o modelo PGARCH é mais robuso a choques exremos, de modo que impacos de pequenos choques são melhores capados pelo PGARCH em relação a modelos GARCH e TGARCH. Por ouro lado, impacos de grandes choques são menos capados pelo PGARCH em relação aos ouros dois modelos..3 Modelos GARCH Mulivariado Os modelos GARCH mulivariado êm uma aplicação financeira muio imporane. Eles exercem um grande papel na seleção de porifólios e alocação de recursos. O GARCH mulivariado ambém é úil para compuar o Value a Risk de uma posição financeira e para verificar relações de causalidade enre dois aivos. Considere o reorno mulivariado r de k séries emporais. Podemos, assim como no caso univariado, reescrever a série da seguine maneira: r = μ + a, (.3.) i i i

para odo {,..., k}, i onde E( r F ) as informações passadas μ i = i é a esperança condicional de i F, e ( a a ) ' 30 r dadas a,..., = k é o choque, ou inovação, das k séries no empo. Assume-se que o processo μ seja a esperança condicional de uma série emporal mulivariada. Para a maioria das séries de reornos, é suficiene empregar uma simples esruura de veores ARMA para μ, ou seja, p i= q μ = + Φ r Θ a, (.3.) φ 0 i i i= i i onde p e q são ineiros não-negaivos. Variáveis explicaivas podem ser inseridas na equação caso seja necessário. Nos referimos a expressão (.3.) como a equação da média de r. A mariz de variância condicional de a dado F é uma mariz k x k posiiva definida que chamaremos de Σ, onde Σ = Cov ( a F ) volailidades mulivariadas, esamos preocupados com a evolução de do empo. Nos referimos a série r.. Ao modelarmos Σ ao longo Σ como um modelo de volailidade para o reorno da Exisem diversas maneiras de generalizar a volailidade univariada, porém, quando o número de dimensões orna-se muio grande, fica exremamene difícil fazer esa modelagem. Exisem alguns modelos que permiem analisar o coeficiene de correlação ao longo do empo enre o reorno de aivos. Veremos agora dois méodos de reparamerização da Σ..3. Uso das Correlações Um imporane passo na modelagem da volailidade mulivariada é a reparamerização de Σ fazendo uso de sua propriedade de simeria. A primeira

3 reparamerização aqui apresenada é feia aravés do uso dos coeficienes de correlação condicional e das variâncias de a. Podemos escrever Σ como ' [ σ ] = D ρ D Σ, (.3.3) ij, onde ρ é a mariz de correlação condicional de a dado o sub-espaço F e D é uma mariz diagonal k x k que consise dos desvios padronizados condicionais dos elemenos de a. Como ρ é simérico com elemenos diagonais uniários, a evolução de ao longo do empo é governada pelo comporameno da variância condicional Σ σ ij, e pelo elemeno ρ ij, de ρ, onde j < i e i k. Para modelar a volailidade de a, é suficiene considerar a variância condicional e os coeficienes de correlação de a i. Definimos o veor dimensional k(k+)/ ( σ σ ψ ) ' Ξ =,,..., kk,,, (.3.4) onde ψ é um veor obido aravés das colunas da mariz de correlação de ρ, mas somene uilizando os elemenos abaixo da diagonal principal. Para um reorno de uma série k dimensional, emos que ( ρ ρ / ρ,..., ρ /... ) ' ψ =,..., ρ. (.3.5), k, 3, k, / kk, Vejamos como exemplo, o caso k =. ρ Exemplo: Nese caso, emos que, ψ = e Ξ = ( σ σ ρ ) ',,,,,. Seja a uma variável aleaória normal bivariada, enão a função de densidade condicional de a dado F é

3 f ( a, a ) Q a exp (, a Ξ ) Ξ = σ, σ, ( ρ, ) ( ρ ),, (.3.6) onde Q( a, a ) a a ρ a a Ξ = +. σ, σ, σ,, σ, A função ln de densidade de a, relevane ao esimador de máxima verossimilhança, é dada por l ( a, a Ξ ) = ln[ σ σ ( ρ )],,, (.3.7) + ρ, a σ, a + σ, ρ σ, a, σ a, Essa reparamerização é úil viso que ela modela as covariâncias e correlações direamene. Todavia, ese modelo apresena desvanagens: primeiro, a função de verossimilhança fica muio complicada quando k > ; segundo, o modelo requer uma maximização condicionada na esimação para assegurar que Σ seja posiiva definida..3. Decomposição de Cholesky A segunda reparamerização de Σ é aravés da decomposição de Cholesky. Esa meodologia possui algumas vanagens em relação à anerior, uma vez que não requer um parâmero resriivo para que Σ seja posiiva definida. Além disso, essa reparamerização é uma ransformação orogonal, de modo que a função de verossimilhança resulane é exremamene simples. Como Σ é posiiva definida, exise uma mariz inferior riangular L com diagonal uniária e uma mariz G com diagonal posiiva al que

33 Σ = L G L. (.3.8) ' eremos que Esa é a decomposição de Cholesky para Σ. Para o caso bivariado, Σ σ = σ,, σ σ,, 0 g, 0, L =, G = q,, (.3.9) 0 g, onde g 0, para i=,. Usando a equação (.3.8), emos que ii, > Σ σ = σ,, σ σ,, g, = q, g, g q, g,, + q, g,. (.3.0) Sendo assim, emos que σ, = g,,, σ = q, g,,, σ = g, + q, g,. (.3.) Resolvendo a equação (.3.), emos que σ, = g,, q, σ, =, σ, g, σ, = σ,. (.3.) σ, Todavia, consideremos a regressão linear simples condicional a a + b = β, (.3.3) onde b é o erro. Pelo méodo dos mínimos quadrados, sabemos que

( a, a ) σ, ( a ) σ, 34 Cov β = =. (.3.4) Var Porano, da expressão (.3.3), obemos Var ( b ) Var( a ) β Var( a ) σ, = = σ,. (.3.5) σ, Como o erro b é não correlacionado com o regressor a, obemos que σ, = g,, q, = β, g, Var( b ) =, b a, (.3.6) onde implica ausência de correlação. Sendo assim, a decomposição de Cholesky de uma mariz quadrada orogonal de a para ( b b ) ' b = al que, Σ de ordem gera uma ransformação b = a e b = a q, a, (.3.7) onde = β é obido aravés da regressão linear (.3.3) e Cov ( b ) é uma mariz q, diagonal com elemenos g ii,. Podemos inerprear q, e ii g, da seguine maneira: a) o primeiro elemeno da diagonal de G é a variância de b) o segundo elemeno da diagonal de G é a variância residual da regressão linear simples da equação (.3.3); c) o elemeno q, da mariz riangular inferior L é o coeficiene β de (.3.3). a ; O raciocínio ambém é válido para casos de dimensões maiores do que. Sendo assim, a uilização da decomposição de Cholesky aravés de uma

35 ransformação orogonal de a para b, onde b a =, e b i, para definido recursivamene pela regressão de mínimos quadrados < i k é a + i = qi, b + qi, b +... + qi( i ), b( i ) bi, (.3.8) onde q ij, é o (i,j)-ésimo elemeno da mariz riangular inferior L, para Podemos reescrever essa ransformação da seguine maneira j < i. b = L a. (.3.9) A mariz de covariância de b é a mariz diagonal Cholesky pois G da decomposição de ' ( b ) = L Σ ( L ) G Cov =. (.3.0) Desa forma, o veor de parâmeros relevane para a modelagem da volailidade sob al ransformação é dado por ( g g, q, q, q,..., q q ) ' Ξ =,..., (.3.),,..., kk,, 3, 3, k, k ( k ), com dimensão k(k+)/. Essa ransformação simplifica a função de verossimilhança. Como L =, emos que ' C k Σ = L G L = G = g. (.3.) i= ii, Caso a disribuição condicional de a, dada a informação passada, seja normal mulivariada (, ) N 0 Σ, enão a disribuição condicional da série ransformada b

é normal mulivariada N ( 0,G ), e a função log verossimilhança passa a ser exremamene simples 36 k b ( ) ( ) ( ) = i l a, Σ = l b, Ξ = ln gii, +, (.3.3) i g ii, onde g ii, é a variância de b i. Usar a decomposição de Cholesky para reparamerizar vanagens. De fao: Σ em diversas a) pela equação (.3.), emos que Σ é posiiva definida caso g ii, > 0, para odo i. Podemos alcançar a resrição de que modelando ( ) ln g ii, ao invés de ii g, ; Σ é posiiva definida b) elemenos do veor de parâmeros Ξ da equação (.3.) são ano coeficienes quano variâncias residuais da regressão linear múlipla que orogonalizam o choque dos reornos; c) o coeficiene de correlação enre a e a é dado por σ σ,, ρ, = = q,, (.3.4) σ σ σ,,, que varia ao longo do empo caso q, γ σ σ,,, onde γ é uma consane. Aravés da uilização da equação (.3.) e da orogonalidade enre os choques ransformados b i, obemos ( ai F ) = i σ, = Var q, g,, i =,...,k (.3.5) ii v= iv vv

37 i ( ai, a j F ) = σ, = Cov q, q, g, j < i, i =,...,k, (.3.6) ii v= iv jv vv onde q para v =,...,k. Essas equações mosram a paramerização de Σ vv, = sob a decomposição de Cholesky..3.3 Modelos GARCH Mulivariados Agora que já vimos alguns modelos de reparamerização de nesa seção alguns modelos GARCH mulivariados. Σ, veremos.3.3. Esimação da Covariância Exponencialmene Ponderada (Exponenially Weighed Moving Averages - EWMA) Seja y um veor k x de uma série emporal mulivariada y = c+, para =,,...,T, onde c é o veor de média k x, e é um veor ruído branco k x com média zero. A mariz de covariância da amosra é dada por Σ = T T = ( y y)( y y) ', (.3.7) onde y é o veor k x da média amosral. Para permiir que a mariz de variância varie ao longo do empo, usamos a seguine ponderação exponencial decrescene Σ ' ' i ' + λ +... = λ i i i= = λ, (.3.8)

38 onde 0 < λ < para que ponderações menores sejam aplicadas em informações mais anigas. Assim, como emos que λ λ + λ +... =, (.3.9) λ os pesos são usualmene normalizados para que a soma de odos eles seja a unidade e enão Σ = λ i i i= i ' ( ) λ. (.3.30) Podemos reescrever a equação (.3.30) para ober a seguine forma recursiva para a mariz de covariância exponencialmene ponderada Σ = ' ( ) + λσ λ. (.3.3) Referimo-nos a equação (.3.3) como o modelo EWMA de covariância variane ao longo do empo. Dada a equação (.3.3), com um dado λ e com uma esimaiva inicial de Σ, a mariz de EWMA pode ser calculada facilmene. Se assumimos que em uma disribuição normal mulivariada com média zero, e Σ = ( F ) Cov seja raada como a covariância de condicionada aos dados passados, enão a função de log-verossimilhança da série emporal será dada por T T kt ' ln L = ln( Π) Σ ( y c) Σ ( y c). (.3.3) = =

39 Como a mariz Σ pode ser calculada recursivamene, a função de logverossimilhança pode ser enconrada facilmene. Porano, o veor de médias c e λ podem ser raados como parâmeros desconhecidos e esimados usando uma esimação de quase-máxima verossimilhança, dado o valor inicial Σ..3.3. Modelo Vecor Error Correcion Diagonal (VEC Diagonal) A parir da equação (.3.3), no conexo univariado, o modelo EWMA é dado por Σ = ( ) + λσ λ, (.3.33) que é basicamene um GARCH(,) com a = λ, b = λ e a + b. Como = a + b corresponde ao coeficiene AR() na represenação ARMA de modelos GARCH, a condição a + b implica que o modelo GARCH é não esacionário = no senido fraco. No conexo univariado, Engle e Bollerslev (986) denominaram ese modelo de IGARCH. Dada a não esacionaridade dos modelos IGARCH e do EWMA, eses por vezes são desfavorecidos na modelagem da volailidade. Para preservar a inuição por rás do modelo EWMA que permie um modelo flexível e esacionário para a covariância variável ao longo do empo, podemos generalizar o modelo EWMA da seguine forma = A o + p i= A i q ' ( i i ) + j= B j Σ j, (.3.34) onde o símbolo é o produo de Hadamard, e odas as marizes de coeficienes em dimensão k x k. Esse modelo foi proposo por Bollerslev, Engle e Wooldridge (988) e é chamado de modelo DVEC(p,q). Para o melhor enendimeno do modelo, apresenamos o DVEC(,)

40 A A () () () () () 0 = + + () () () () () () () () () () A0 A0 A A B B (.3.35) B onde () = e somene a pare riangular inferior do sisema é () ( ) considerado. A noação (ij) X indica o elemeno (i,j)-ésimo da mariz X, e é o ( i) elemeno i-ésimo do veor. Podemos reescrever a mariz acima da seguine forma Σ Σ Σ Σ () () () () = A = A = A = A () 0 () 0 () 0 () 0 + A + A + A + A () () () () () () () () () () () () + A + A + A + A () () () () () () () () () () () () + B + B + B () + B () Σ () Σ () () Σ () Σ () (). (.3.36) Desa forma, o elemeno (i,j) da mariz de covariância variane ao longo do empo depende somene de seus elemenos defasados e dos correspondenes produos cruzados de seus erros. Como resulado, a volailidade de cada série segue um processo GARCH, e o processo da covariância ambém pode ser viso como um modelo GARCH em ermos dos momenos cruzados dos erros. Como a mariz de covariância deve ser simérica, na práica basa que raemos a mariz Σ como simérica e consideremos somene o riângulo inferior do sisema. A mariz de covariância ambém deve ser posiiva semi-definida. Enreano, no modelo DVEC, a mariz que é considerado uma desvanagem dese modelo. Σ não pode ser posiiva semi-definida, o

4.3.3.3 Modelo Baba, Engle, Kraf e Kroner (BEKK ) Engle e Kroner (995) propuseram uma represenação alernaiva para o VEC. O modelo BEKK fornece uma formulação alernaiva da equação da variância condicional. Define-se o BEKK do GARCH(,) M da seguine forma r = l ' [ δ + λ w Ω w ] Ω w 0 0 α 0 + + ' w Ω w ε ( F ) ~ N( 0 Ω ) ε (.3.37), Ω = C + ε ε + Ω, *' * *' ' * *' * 0 C0 C C C C onde * C o, * C e * C são marizes nxn dos parâmeros e * C o é riangular. No modelo VEC as marizes de variância e covariância condicionais são somene dependenes de seus elemenos defasados e dos produos cruzados enre eles. Como exemplo, suponha que ocorra um choque em uma série Y no período. A volailidade condicional de Y e a correlação condicional enre Y e oura série, digamos, X do período + serão os únicos elemenos que sofrerão impaco. Sendo assim, o choque em Y não afeará direamene X. O BEKK é um modelo mais dinâmico do que o VEC, uma vez que fornece uma flexibilidade maior na mariz de covariância condicional. Enreano, uma maior flexibilidade no modelo é penalizada pelo fao de que o BEKK necessia de dois parâmeros exras (parâmeros esses que não são necessários no VEC). O modelo BEKK elimina as poucas represenações definidas posiivas permiidas pelo modelo VEC, ou seja, odas as represenações VEC diagonais definidas posiivas podem ser escrias pelo modelo BEKK. Ese úlimo, represena O ermo BEKK surgiu do paper que anecede Engle e Kroner (995) e que sineiza o rabalho no Mulivariae Simulaneous Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy de Yoshi Baba, Rober Engle, Dennis Kraf e Ken Kroner.

[ ] < * ij * ij o GARCH(,) mulivariado e K =, e é esacionário quando ( c ) + ( c ) represenação BEKK do GARCH-M é flexível e mais eficiene que a represenação do operador VEC, já que garane que a mariz de variâncias e covariâncias condicionais seja posiiva definida. 4. A.3.4 Modelos GARCH para Reornos Bivariados Para uma série de reornos de um aivo de dimensão k, um modelo GARCH mulivariado considera equações exaas para descrever a evolução do veor de dimensão k(k+)/, ao longo do empo. Equações exaas ou deerminísicas são equações que não possuem nenhum choque esocásico. Todavia, esas equações podem se ornar complicadas já para o caso k =, onde Ξ, Ξ é ridimensional. Para simplificar o modelo, aplicaremos algumas resrições à esas equações..3.4. Modelo de Correlação Consane Para maner o número de equações de volailidade reduzidas, consideremos o caso específico onde o coeficiene de correlação ρ, = ρ é invariane ao longo do empo, com ρ <. Sob ais resrições, ρ é um parâmero consane e o modelo de volailidade consise em duas equações para * Ξ, o qual é definido por = ( σ σ ) ' * dado por Ξ,,,. Um modelo GARCH(,) para * Ξ é * Ξ = α + α a + β, (.3.38) 0 * Ξ

43 a, α 0 é um veor posiivo de duas dimensões, e α e β são onde ( a a ) ' =,,, marizes definidas não-negaivas. Podemos expressar o modelo da seguine maneira σ σ,, α 0 α = + α 0 α α a α a,, β + β β σ β σ,,, (.3.39) * onde α i0 > 0, para i =,. Definindo η = a Ξ, podemos reescrever o modelo inicial dado pela expressão (.3.39) da seguine forma a ( α + β ) + η βη = 0 + a α (.3.40) que é um modelo ARMA(,) bivariado para o processo a. O resulado é uma generalização direa do modelo univariado GARCH(,). Desa forma, emos os seguines resulados: a) Caso odos os auovalores de α + β, com exceção de um, sejam posiivos, enão o modelo ARMA(,) bivariado para a é fracamene esacionário, e, porano, ( ) E exise. Iso implica que o processo dos a reornos a em uma mariz de covariâncias não condicional definida. A variância não condicional dos elemenos de a é ' ( σ, σ ) ( α β ) φ0 é dada por ρ σ σ. = I, e a covariância não condicional enre a e b) Caso α = β 0, enão a volailidade de a não depende da volailidade = a passada de a. Da mesma forma, caso α = β 0, enão a volailidade = de a não depende da volailidade passada de a.

44 c) Caso ano α quano β sejam diagonais, o modelo será reduzido para dois GARCH(,) univariados. Nese caso, o processo das duas volailidades a e a não será dinamicamene relacionado. d) Esimações da volailidade aravés do modelo podem ser obidas por méodos de esimação similares àqueles do veor do modelo ARMA(,). Para esimarmos l passos a frene, emos que: Ξ * h * () l = + ( α + β ) Ξ ( l ), α l >. (.3.4) 0 h Esas esimaivas são para a volailidade marginal de a i, para i =,. A esimaiva da covariância enre ˆ [ σ () l σ () l ] 0, 5 a e ρ, h, h, onde * da mariz Ξ () l. h a para ˆρ é a esimaiva de l passos a frene é dada por σ é o i-ésimo elemeno ρ e ( l) ii,h.4 Vecor Auoregression (VAR) Seja ( y y y ) ',,..., n Y = um veor (n x ) de uma série emporal. O modelo VAR básico p-defasado é dado por: Y = c + Y + Y +... + n Y n + ε (.4.) onde =,... T, i é uma mariz (n x n) de coeficienes e ε é um veor ruído branco (n x ) com média zero não observável (não correlacionado ou independene) com mariz de covariância invariane ao longo do empo. Um modelo bivariado VAR() em o seguine formao:

45 y y c = c π + π π y π y π + π π y π y e + e (.4.) cov e e = σ para = s; 0 caso conrário. Podemos perceber que cada onde ( s ), equação possui os mesmos regressores (valores defasados de y e y. Porano, o modelo VAR(p) é uma seemingly unrelaed regression (SUR) com variáveis defasadas e ermos deerminísicos como regressores comuns. Na noação de operadores defasados, o VAR(p) é escrio como: ( L ) Y = c + e (.4.3) p onde ( L) = I L... L n p. O VAR(p) é esável se as raízes de p ( I z... z ) 0 de = n p (.4.4) fiquem de fora do círculo uniário. Caso condicional é dada por: Y de (.4.) enha covariância esacionária, enão o média não ( I ) c μ = n... p. (.4.5) Sendo assim, a forma da média ajusada do VAR(p) é dada por: ( Y μ) + ( Y μ) + + n ( Y n μ) e Y μ =... + (.4.6) O modelo VAR(p) básico pode ser muio resriivo para represenar suficienemene as caracerísicas básicas dos dados. Convêm ressalar que ouros ermos deerminísicos como a endência linear ao longo do empo ou dummies sazonais podem ser requeridas para represenar apropriadamene aos

46 dados. Além disso, variáveis esocásicas exógenas podem ser necessárias ambém..4. Causalidade de Granger Uma das aplicações mais comuns do modelo VAR(p) é a previsão. A esruura do modelo VAR nos fornece informações sobre o uso de uma variável (ou grupo de variáveis) para a previsão de oura variável ou grupo de variáveis. Se uma variável y é enconrada ser úil para prever oura variável y, enão dizemos que y causa-granger y. Formalmene, y falha para causar-granger y se, para odo s > 0, o erro quadráico médio de uma previsão de (, y..., ) y é idênico ao da previsão de y + s,, ( y, y..., ),, y, + s baseada em, baseada em (,, y,..., ) y e. Claramene o conceio de causalidade de Granger não implica em causalidade verdadeira; ela apenas implica em habilidade de previsão. A seguir damos o exemplo do modelo VAR bivariado. Em um modelo bivariado VAR(p) para ( y y ) ' coeficiene de marizes p VAR modelo VAR(p) em a forma Y, =, y falha em causar-granger se para odo o,..., p são riangulares inferiores. Desa forma, o y y c = c π + π y y p π + p π 0 0 p π π y y p p e + e (.4.7) de modo que odos os coeficienes dos valores defasados de y são zero na equação para y. De modo semelhane, y falha ao causar-granger y se odos os coeficienes defasados de y são zero nas equações de y. As p resrições lineares dos coeficienes implicados pela não causalidade de Granger podem ser esados aravés da uilização da esaísica de Wald. Definimos a esaísica de Wald como