ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Exame - Época Normal 006/00 Data: 14de Julhode 00 Tópicos de Resolução Duração: 3 horas 1. SejaΩumespaçoamostraleA,BeCacotecimetoscomasseguitescaracterísticasA BeA C=. Idique, justificado, o valor lógico das seguites afirmações: 0.5 a) PA)>PB). Resolução: SeA B PA) PB). Comotal,aafirmaçãoéfalsa. 0.5 b) A C=B PB)=PA)+PC). Resolução: SeA C=B,etão, PB)=PA C)=PA)+PC) PA C)=PA)+PC) P )=PA)+PC) Como tal, a afirmação é verdadeira. 1.5. Numa cidade existem apeas duas empresas de táxis - Azul e Verde - cujas frotas são compostas por táxis azuis e verdes, respectivamete. A empresa Azul é detetora de 85% dos táxis dessa cidade. Em testes recetes de avaliação da capacidade de testemuhas distiguirem a cor dos táxis durate a oite, cocluiu-se que 80% dos táxis verdes são idetificados como azuis, assim como 80% dos taxis azuis são idetificados como tal. Calcule a probabilidade de um táxi dessa cidade ser correctamete idetificado quado circula durate a oite. Resolução: A-táxiAzul e A-táxiVerde I - testemuha idetifica táxi como Azul durate a oite I - testemuha idetifica táxi como Verde durate a oite PA) = 0.85 P A ) =0.15 P I/A ) = 0.8 PI/A)=0.8 Logo, PI A)+P I A ) = PI/A)PA)+P I/A ) P A ) =0.8 0.85+ 1 P I/A ) 0.15= = 0.8 0.85+0. 0.15=0.1 3. OSr. Matiaspossuiumcaféasvizihaçasdeumestádiodefutebol. DasuaexperiêciaoSr. Matias sabeque,emdiasdefutebol,costumaveder50,,150ou00sades,comprobabilidades0.,0.4,0.3 e0.1, respectivamete.osr. Matiascostumafazersadesequadoestasseesgotamrecorreaum forecedor da terra que lhe garate o evio atempado de mais sades. 1.0 a) Determie a fução de distribuição do úmero de sades vedidas pelo Sr. Matias em dias de futebol. Resolução: X - o desadesqueosr. Matiasvedeumdiadefutebol Cosiderado que x < 50:Fx)=0 x 50 150 00 fx) 0. 0.4 0.3 0.1 50 x<:fx)=f50)=0. x<150:fx)=f50)+f150)=0.+0.4=0.6 150 x<00:fx)=f)+f150)=0.6+0.3=0.9 x 00:Fx)=F150)+f00)=0.9+0.1=1
Etão 0, x<50 0., 50 x< Fx)= 0.6, x<150 0.9, 150 x<00 1, x 00 1.0 b) Calcule a probabilidade de veder 00 sades, um dia em que as sades por ele feitas ão satisfazem aprocura. Resolução: PX=00/X>) = PX=00 X>) PX>) = PX=00) PX>) = = f00) f150)+f00) = 0.1 0.3+0.1 =0.5 1.5 c) Todas as sades são vedidas a euros. Cada sades feita pelo Sr. Matias tem um custo de 50 cêtimos e as que são ecomedadas ao forecedor têm um custo de 1 euro e 30 cêtimos, cada. DetermieolucrolíquidomédiodoSr. Matiasemdiasdefutebol. Resolução: Y -lucrolíquidoemeuros)davedadesadesumdiadefutebol,coseguidopelo Sr. Matias EY= x = 50 y=50 0.5=50euros x = y= 0.5)=150euros x = 150 y= 0.5)+50 1.3)=185euros x = 00 y= 0.5)+ 1.3)=0euros x 50 150 00 y 50 150 185 0 fy) 0. 0.4 0.3 0.1 4 y i fy i )=50 0.+150 0.4+185 0.3+0 0.1=14.5euros. 4. Umdoselevadoresdeumgradeedifíciopúblicotrasportaomáximo0pessoasdecadavez. Acarga máxima trasportada pelo elevador é de 1300 kg. Os utilizadores deste elevador costituem uma população cujopesotemdistribuiçãonormaldemédia61kgedesviopadrão10kg. 1.5 a) Acha que, em face da população que utiliza o elevador, a carga máxima é adequada? Justifique. Resolução: X -peso,emkg,deumapessoaqueutilizaoelevador X N61,10) Aplicado a aditividade da Normal, Y -peso,emkg,devitepessoasqueutilizamoelevador Y = 0 N 0 61, ) 0 10 Y N Z = Y 10 000 N0,1) 10, ) 000 Como PY >1300)=1 P Z 1300 10 000 )=1 φ1.9)=1 0.9633=0.036 a probabilidade do peso das 0 pessoas exceder a carga máxima do elevador é bastate reduzida, coclui-se que a carga máxima é adequada.
1.5 b) O elevador um dado istate trasporta 8 pessoas. Qual a probabilidade de existirem pelo meos 3pessoascompesosuperiora66kg? Resolução: X -peso,emkg,deumapessoaqueutilizaoelevador X N61,10) Z= X 61 N0,1) 10 PX>66)=1 P Z 66 61 ) =1 φ0.5)=1 0.6915=0.3085 0.3 10 Cosiderado,W - o depessoasqueutilizamoelevador,deetreoito,compesosuperiora66kg W B8,0.3) PW 3)=1 PW <3)=1 PW )=1 0.5518=0.448 5. O tempo, em horas, ecessário para reparar um computador é uma variável aleatória expoecial com média 90 miutos. 1.0 a) Qual a probabilidade do tempo de reparação ser iferior a 3 horas, sabedo que o computador já estáaserreparadohápelomeoshoras? Resolução: X - tempo, em horas, ecessário para reparar um computador { X Exp1.5), com Fx)= 0, x<0 1 e x 1.5, x 0 PX<3/X ) }{{} = PX<1)=1 e 1 1.5 =0.48658 Falta de memória 1.5 b) Qual a probabilidade de se repararem pelo meos 3 computadores em 6 horas? Resolução: Y - o decomputadoresreparadosem6horas comoλ= 6 =4,etão Y P4) 1.5 PY 3)=1 PY <3)=1 PY )=1 0.381=0.619.0 6. Cosidere uma amostra aleatória de dimesão, proveiete de uma população ormal de média µ descohecida)evariâciaσ. Sejam T 1 = e T =. dois estimadores de µ. Qual dos dois estimadores é mais eficiete? Justifique. Resolução: Vamos verificar se os estimadores são cetrados: X ET 1 =E i = 1 E = 1 E = µ Coclui-sequeoestimadorT 1 écetrado. Etão, E T 1 µ) =V T 1 V T 1 =V = 1 ) V = 1 ) 3 =µ V = ) σ = σ
ET =E = 1 E = 1 E = µ =µ Coclui-sequeoestimadorT écetrado. Etão, E T µ) =V T V T =V = 1 V = 1 V = σ = σ etão, para verificarmos a eficiêcia relativa, E T 1 µ) E T µ) = V T σ 1 V T = = 1 <1,logococlui-sequeT 1émaiseficiete. σ. A última sodagem ecomedada por um dos cadidatos à Presidêcia da Câmara de Lisboa iquiriu 400 eleitores escolhidos ao acaso, dos quais 5% declararam dar-lhe o seu voto. 1.5 a) Deduza e calcule um itervalo de cofiaça, a 95%, para a verdadeira percetagem de eleitores que votam este cadidato. Resolução: Pretedemos um itervalo de cofiaça para p. Como > 30 utiliza-se Logo, P P Z= p p p q p z 1 p q N0,1) P z 1 <Z<z 1 ) z 1 < p p p q <p<p +z 1 <z 1 ) p q = 1 = 1 = 1 Como z 1 =z 0.95 =1.96 e p =0.5,oICparapa95%édadopor 0.5 0.48 0.5 0.48 0.5 1.96,0.5+1.96 = 400 400 =0.4104, 0.56896 =4.104%, 56.896% 1.0 b) Qual o úmero míimo de eleitores que deveriam ter sido iquiridos esta sodagem, para que o cadidato, com 95% de cofiaça, estivesse seguro de gahar as eleições à Câmara de Lisboa com maioria absolutacosidere maioria absoluta mais de 50% dos votos)? Resolução: Para o cadidato gahar as eleições com maioria absoluta, era ecessário que o extremo iferior do itervalo fosse superior ou igual a 50%. Logo, 0.5 1.96 0.5 0.48 0.5 1.96 0.5 0.48 0.0 1.96 0.5 0.48 0.0 48.961 39. O o míimodeeleitoresaseremiquiridosestasodagemdeveriaser398. 4
.0 8. Umaempresapossuiumamáquiaautomáticaqueéusadaparaechereselarlatasde1litrodeumproduto líquido. A empresa tem o etato registado queixas relativamete às latas se ecotrarem demasiado cheias. Para verificar a veracidade destas queixas, foi medido o coteúdo de latas, seleccioadas ao acaso do fabrico diário, tedo-se obtido: x i =108.983 e x i =10.38. Teste,para=0.01,seaquatidademédiadelíquidoporlataésuperiora1litro. Resolução: Teste uilateral direito sobre a média µ: { H0 :µ 1 H 1 :µ>1 com=0.01 Comoσdescohecidoe>30,vamosutilizar Z= X µ S N0,1) Calculodes : 1 P Logo RC=1.089,+ Prej. H 0 /H 0 V)= P X k/µ=1 ) =0.01 ) Z< k µ /µ=1 S k 1 0.014986 s = 10.38 99 =0.01 P Z< 99 k 1 =.36 k=1.089 0.014986 ) 108.983 =0.014986 =0.99 Decisão: como x= 108.983 =1.0898 RC, rejeita-se H 0, isto é, de acordo comos dados utilizados, a quatidademédiadelíquidoporlataésuperiora1litro. 9. Osvaloresdolixourbaoemdezeasdetoeladas)dapopulaçãodeumacidadeemmilharesdepessoas) operíodode1998a004costamatabelaseguite: Aos 1998 1999 000 001 00 003 004 LixoUrbao 15.9 16.5 18.0 18. 19. 19.8 1. População 4.6 4.8 5.1 5. 5.3 5.5 5. 0.5 a) Idique, justificado, qual a variável depedete e idepedete. Resolução: A variável idepedete, X, é a população, em milhares de pessoas; a variável depedete,y,éolixourbao,emdezeasdetoeladas 1.5 b) Qual a quatidade de lixo prevista para 00 se a população for de 5.8 mil habitates? Comete, justificado, a qualidade da previsão efectuada. Resolução: b = x i y i x i y i x ) = i x i 60.8 36. 18.8 188.08 36.) =4.8039 ) ) 18.8 36. a = ȳ b x= 4.8039 = 6.443 5
obtém-se etão a recta de regressão liear: Logoaprevisãodaquatidadedelixopara00: ŷ= 6.443+4.8039x ŷ= 6.443+4.8039 5.8=1.40 dezeasdetoeladas x i y i xȳ r X,Y) = x) ) = 60.8 36. x i yi ȳ 188.08 ) 36. ) ) 18.8 ) 390.4 18.8 ) ) =0.99 Como o coeficiete de correlação liear empírico idica uma elevada correlação liearpositiva) etre as variáveis X e Y, e o valor utilizado a previsão está de acordo com a evolução dos dados da amostra, coclui-se que a qualidade da pevisão é boa. Fim. 6