Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 4 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Na figura, temos os gráficos das funções f e g, de em. O valor de gof(4) + fog() é: y g f 4-4 a) 4 b) 3 c) d) e) 4 Observando os gráficos das funções f e g, temos: I) f(4) = II) (gof)(4) = g(f(4)) = g() = 4 III) g() = a, com a < IV) (fog)() = f(g()) = f(a) =, pois a < e a função f é constante e igual a para todo valor negativo. Assim, (gof)(4) + (fog)() = 4 + = Resposta: D QUESTÃO 7 Sabe-se que o número de bactérias num meio, sob certas condições, duplica a cada mi - nutos. No instante inicial, o número de bactérias era 5. Qual a e pressão que descreve corretamente como varia o número de bactérias, N, em função do tempo, t, em minutos? t a) N = 5. b) N = 5. t t c) N = 5 + - d) N = 5 + - t e) N = 5. - t MATEMÁTICA DESAFIO ạ SÉRIE
Se o número de bactérias dobra a cada minutos, tem-se: I) Número inicial de bactérias: 5 II) Após. minutos: 5. III) Após. minutos: 5. Assim, após t minutos, o número de bactérias é dado por N = 5. Resposta: B QUESTÃO 8 Para um certo produto, a função de re ceita é R = +,5 e a função de custo é C = +,5 + ( representa a quantidade do produto). A função de lucro é definida como a diferença entre a receita e o custo. O lucro máimo possível é (em unidades monetárias): a) b),5 c) 8,5 d),5 e) 4 lucro = receita custo fi lucro = ( +,5) ( +,5 + ) fi lucro = + Como a <, a parábola tem concavidade para baio e o lucro máimo é ( 4. ( ). ( )) y v = = =,5 4a 4. ( ) Resposta: B QUESTÃO 9 No quadrado ABCD, com 6 cm de lado, o valor de z para que a área sombreada seja máima, será, em centímetros: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 t MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE
I) Se AB = BC = 6, temos: BM = BN = 6 z II) Sejam: A, a área sombreada; A, a área do quadrado ABCD; A, a área do triângulo CPN e A 3, a área do triângulo BMN, todas em centímetros quadrados, temos: A = A A A 3 A = 6 z. z (6 z).(6 z) z (36 z + z 7 z A = 36 ) A = 36 + z z z A = + z + 36 A = z + 6z + 8 III) A área será máima para z = v = b 6 = a = 3 Resposta: C QUESTÃO Na reta real, o número 4 está situado entre as raízes de f() = + m 8. Nessas condições, os possíveis valores de m são tais que: a) m < 3 b) 3 < m < 3 c) m > 3 d) m > 3 e) m < 3 A função f() = + m 8 tem o gráfico do tipo Podemos afirmar que f(4) < fi 4 + m. 4 8 < 6 + 4m 8 < 4m < m < 3 Resposta: E 3 MATEMÁTICA DESAFIO ạ SÉRIE
QUESTÃO Para medir a altura de uma árvore, da qual não podia aproimar-se, um ambientalista colocou, a certa distância dessa árvore, um cavalete de m de altura e observou seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 3. Aproimando-se mais m, observou o mesmo ponto segundo um ângulo de 45, con forme a figura a seguir. Com esse procedimento, o ambientalista obteve como resultado que a altura da árvore era de: a) 5 3 + 5 b) 5 3 + 5 c) 5 3 + 6 d) 5 3 + 6 e) 3 5 + 6 3 tg 3 = fi = fi 3. ( + ) = 3 fi (3 3 ) = 3 fi + 3 + 3 3. (3 + 3) 3 3 + 3 fi = fi = fi = fi 3 3 9 3 6 fi = 5 3 + 5, logo a altura da árvore é 5 3 + 6. Resposta: C 4 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE
QUESTÃO Se (,y) é a solução do sistema log (3) 3 = 3 y ( ) log y = log 3 o valor de + y é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 (3) = 3 y 3 log ( ) log y = log 3 3 = 3 y. 3 log ( ) log y =. log 3 3 = 3 y + y log = log (3) = y + = y + = y + 3y + = y + = 3 = 3y + y = y + = 4 + y = 5 y = y = Resposta: A 5 MATEMÁTICA DESAFIO ạ SÉRIE
QUESTÃO 3 Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = log a, com a > (figura abaio). Suponha que B = (,), C = ( +,) e A = (, ). Então, o valor de, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é a) + 5 5 b) + c) + 5 d) + 5 e) + 5 6 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE
log a + log a ( + ). log a A BCDE = 3 A ABE fi. = 3. log a ( + ) = log a 3 + = 3 ( ) = = ou = 5 ou = + 5 fi + 5 fi =, pois > = + 5 5 Observação: Se = +, então 5 = <. Assim, o ponto A encontra-se à esquerda do ponto de abscissa. Resposta: A QUESTÃO 4 Todas as permutações com as letras da palavra SORTE foram ordenadas alfabeticamente, como em um dicionário. A últi ma letra da 86 ạ palavra dessa lista é a) S. b) O. c) R. d) T. e) E. Ordenadas alfabeticamente, as permutações da pa lavra sorte apresentam: P 4 = 4! = 4 que começam por E, P 4 = 4! = 4 que começam por O, P 4 = 4! = 4 que começam por R, P 3 = 3! = 6 que começam por SE, P 3 = 3! = 6 que começam por SO. Como 4 + 4 + 4 + 6 + 6 = 84, os próimos anagramas são SREOT e SRETO. Portanto, a última letra da 86 ạ palavra é a letra O. Resposta: B QUESTÃO 5 O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) b) (8!)(5!) c)! (8!) (5!) d)! 8! e)! (7!)(5!) 7 MATEMÁTICA DESAFIO ạ SÉRIE
VESTIBULANDO tem letras distintas e portanto P =! anagramas. As vogais aparecem juntas em P 8. P 5 = (8!). (5!) anagramas E I U A O V S T B L N D Logo, eistem! (8!) (5!) anagramas nos quais as vogais não estão todas juntas. Resposta: C QUESTÃO 6 Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos,, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos. A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a configuração da figura II, com a eigência adicional de que cada coluna (vertical) e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (,, 3 e 4) é: a) b).4! 4! 4! c) 6.4! 4! 4! 8.4! 4! 4! d) e).4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! Para cada uma das linhas da figura I eistem P 4 possi bi lidades. Para as quatro linhas eistem P 4. P 4. P 4. P 4 possibilidades. Observe que nesse total não se respeitou qualquer condição de coluna ou subquadrados. Respeitando as condições das colunas e dos subqua drados contemplarem os quatro algarismos, o qua drado da figura II pode ser preenchido de P formas diferentes, pois com os números dados todos os algarismos apresentados na figura abaio estão fiados.: 4 3 3 4 3 3 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE
Desta forma, a probabilidade é P =! = P 4.P 4.P 4.P 4 4!.4!.4!.4!.4!.4!.4! Resposta: A QUESTÃO 7 O preço de um objeto, em reais, é escolhido, aleatoria mente, entre os elementos do conjunto {3,; 3,; 3,; 3,3;...; 43,99}. A probabilidade de que o preço de tal objeto seja reais e centavos é: a),6% b) % c),6% d) 3,% e) 3% I) No conjunto de preços {3,; 3,; 3,; ; 43,99}, eistem 4399 99 = 3 elementos. II) Os preços do tipo reais e centavos formam o conjunto {3,3; 4,4; 5,5; ; 43,43}, num total de 43 = 3 elementos. 3 III) A probabilidade pedida é = = % 3 Resposta: B QUESTÃO 8 Considere a matriz A = e seja f : definida por f() = det A. Então f( ) é: a) 3 b) 3 c) 9 d) 7 e) 7 8 I) f() = det A = =. ( ) +. 8 = 8 =... ( ) +. 8 =.... ( 3 + 8) =. ( 3 + 8) 9 MATEMÁTICA DESAFIO ạ SÉRIE
II) f() =. ( 3 + 8) fi f( ) = ( ). [( ) 3 + 8] =. ( + 8) = 7 Resposta: D QUESTÃO 9 O sistema + y = 6 (a + ) + ay = 4a + a) admite solução única para a =. b) admite infinitas soluções para a. c) não admite solução para a =. d) admite solução única, qualquer que seja a. e) admite solução, qualquer que seja a. + y = 6 (a + ) + ay = 4a + + y = 6 (a + ). y = a 4 + y = 6 (a + ). y =. (a + ) Para a, o sistema é possível e determinado; e para a =, o sistema é possível e indeterminado. Logo, o sistema admite solução, qualquer que seja a. Resposta: E QUESTÃO 3 Sejam as matrizes A = 4 e B =. A equação det(a B) =, com, admite a) uma raiz de multiplicidade. b) uma raiz negativa. c) duas raízes negativas. d) uma raiz positiva e outra negativa. e) uma raiz nula. Se A = 4 e B =, então: 4 I) A. B = 4 = II) det(a B) = fi (4 ).( ) 4 = 4 4 + 4 = 5 = ( 5) = = ou = 5 Resposta: E MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE