Transferência de Calor Condução Unidimensional, em Regime Permanente com Geração Interna de Calor Filipe Fernandes de Paula filipe.paula@engenharia.ufjf.br Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/19
Introdução 2/19
Introdução Até o momento, foram considerados problemas em que a distribuição de temperatura pode ser determinada apenas pelas condições de contorno do meio; Agora será considerado efeitos internos ao meio, na forma de geração de calor interna, devido principalmente à conversão de energia; A geração interna é um fenômeno volumétrico, portanto dependendo das dimenssões do meio. 2/19
Geração Interna por Efeito Joule Um processo comum de geração de energia interna é a conversão de energia elétrica em energia térmica; A taxa de geração de energia devido à uma corrente I passando por um meio de resistência elétrica R e é, E g = I 2 R e (1) Assumindo que a geração de energia ocorra uniformente por todo volume do meio, a geração interna de calor volumétrica é dada por, E g = I 2 R e V (2) 3/19
Parede Plana 4/19
Parede Plana Para uma condição unidimensional, regime permanente e com geração interna de calor, a equção da difusão fica na forma, d 2 T dx 2 + q k = 0 (3) 4/19
Parede Plana A solução geral é dada por, Para as condições de contorno prescritas, T (x) = q 2k x2 + C 1 x + C 2 (4) As constantes são dadas por, T ( L) = T s,1 T (L) = T s,2 C 1 = T s,2 T s,1 2L C 2 = q 2k L2 + T s,1 + T s,2 2 5/19
Parede Plana Substituindo as duas constantes na equação 4, a distribuição de temperatura é dada por, T (x) = ql2 2k (1 x2 L 2 ) + T s,2 T s,1 x 2 L + T s,1 + T s,2 2 Analisando a equação 5, pode-se concluir que: A temperatura varia quadraticamente com x; É possível calculando o fluxo de calor com a Lei de Fourier; O fluxo de calor não é constante com geração interna de calor; (5) 6/19
Parede Plana 7/19
Parede Plana Utilizando a equação de distribuição de temperatura T (x), é possível descobrir o ponto de másxima temperatura e a máxima temperatura; Para encontrar o máximo de uma função é preciso diferencia-la e igua-la a zero; dt dx = 0 Resolvendo a equação, tem-se, x = k q T s,2 T s,1 2L (6) 8/19
Parede Plana Simétrica 9/19
Parede Plana Simétrica Quando tem-se T s,1 = T s,2 = T s, a equação 5 pode ser simplificada para, T (x) = ql2 2k (1 x2 L 2 ) + T s (7) 9/19
Parede Plana Simétrica Quando T s,1 = T s,2 = T s, a temperatura máxima é em x = 0, e é dada por, T (0) = ql2 2k + T s Nesse caso, a equação 7 pode ser reescrita na seguinte forma, T (x) T 0 T s T 0 = ( ) x 2 (8) L 10/19
Parede Plana Simétrica Ainda em relação à condição de T s,1 = T s,2 = T s, pode-se observar que, No plano de simetria (x = 0), o gradiente de temperatura é zero, (dt /dx) x=0 = 0, resultando na não existência de transefrência de calor em x = 0. Assim, pode-se representa a parede com uma superfície adiabática em x = 0; 11/19
Parede Plana Simétrica O resultado apresentado implica que a equação 7 também é aplicável a condições em que, A parede é perfeitamente isolada em um lado (x = 0); O outro lado (x = L) da parede plana é mantida a uma temperatura T s. 12/19
Parede Plana Simétrica É comum situações em que a temperatura T s não é conhecida. A informação dada é apenas em relação ao fluido (T e h); Nesses casos é preciso calcular T s para conhecer a distribuição de temperatura T (x); Aplicando balanço de energia, é encontrado a senguinte relação para T s, T s = T + ql (9) h 13/19
Aplicação do Conceito de Resistência Elétrica Quando existe geração interna de calor, é incorreto aplicar o conceito de resistência térmica, pois existe variação de fluxo de calor. 14/19
Exemplo Exemplo 1 - Uma parede composta é formada por dois materiais A e B. A camada de material A possue uma geração de calor q = 1, 5x10 6 W /m 3, k A = 75W /m K e espessura L A = 50mm. A camada B não possui geração de calor, e apresenta k B = 150W /m K e espessura L B = 20mm. A superfície de A é bem isolado, enquanto a superfície de B é resfriada por água com temperatura T = 30 C e h = 1000W /m 2 K. Determine a temperatura T 0 e o fluxo de calor. 15/19
Exemplo Exemplo 2 - Ar dentro de uma câmara a T,i = 50 C é aquecido por convecção com h i = 20W /m 2 K por uma parede de 200mm de condutividade térmica k = 4W /m K e q = 1000W /m 3. Para previnir perda de calor para o ar exterior a T,o = 25 C com h o = 5W /m 2 K, um fino aquecedor elétrico é colocado na superfície externa para fornecer um fluxo q o para parede. Determine, (a) Quais são as temperatura T (0) e T (L) quando não há perda de calor da parede para o meio externo; (b) Qual o valor de q o para que todo calor gerado na parede seje transferido para dentro da câmara; (c) Se a geraração interna na parede for interrompida e o aquecedor elétrico for mantido constante, qual seria a temperatura de equiĺıbrio em T (0). 16/19
Exemplo Exemplo 3 - Um longo elemento de aquecimento elétrico feito de ferro (k f = 64W /mk) possui área de seção transversal 10cm X 1cm. É imerso em óleo a 80 C. Calor é gerado uniformemente a uma taxa de 1.000.000W /m 3 por uma corrente elétrica. Determine o coeficiente de convecção necessário para manter o aquecedor abaixo de 200 C. Considere o sistema unidimensional. 17/19
Sistemas Radiais Para sistemas radiais, a equação da difusão de calor é dada por: ( 1 d r dt ) + q r dr dr k = 0 (10) 18/19
Sistemas Radiais Resolvendo a equação, a distribuição de temperatura é dada por: T (r) = qr o 2 (1 r 2 ) + T s (11) 4k onde T s pode ser calculado por: r 2 o T s = T + qr o 2h (12) 19/19