Ficha para praticar 16 1.1. Por exemplo: Amostra:.º 7 (Vera Lima).º 6 (Vasco Braga).º 5 (Berardo Silva).º (Liliaa Pires).º 1 (Joaa Cardoso).º 1 (Pedro Vieira).º (Aa Sousa).º 10 (Fracisco Medes) 1.. a) Média amostral: 163+ 169+ 17+ 175+ 169+ 17+ 6+ 16 x 16 cm Valor médio (populacioal): μ 170, cm Erro amostral: 170, 16, cm 1.. Neste caso obtiveram-se amostras distitas. Isto acotece, ão só devido à aleatoriedade, mas também devido a ter havido a restrição dos estratos. Repare que a amostra da alíea 1.1. há quatro raparigas, equato que, a alíea 1.3., com a restrição do estrato sexo, apeas existem três raparigas.. Dimesão da população: 350 000 + 1 0 000 + 50 000 1 0 000 350 000 35 Proporção (estrato A): 1 0 000 1 1 0 000 31 Proporção (estrato B): 1 0 000 6 50 000 5 Proporção (estrato C): 1 0 000 1 Resposta: Assim, uma amostra de dimesão 00 devem ter: Estrato A: 35 00 76 1 pessoas Estrato B: 31 00 70 6 pessoas b) Proporção amostral: p ˆ 50% 1 Proporção populacioal: p 6% Erro amostral: 6 50 1 potos percetuais 1.3. Na população tem-se 1,9% de raparigas e aproxima- damete, 57,1% de rapazes. Pretede-se que a amostra de aluos, cerca de,9% dos aluos sejam raparigas, ou seja, 0,9 3 aluos. Assim, a amostra terá de ser costituída por 3 raparigas e 5 rapazes. Selecioam-se aleatoriamete (usado o processo de amostragem simples) 3 raparigas do cojuto de 1 raparigas e 5 rapazes do cojuto de 16 rapazes. Por exemplo: Ou seja, selecioa-se a 1.ª rapariga da lista (que correspode à Vera Lima,.º 7), a 3.ª e a 10.ª. Da mesma forma, selecioa-se o 16.º rapaz da lista, o.º, o 6.º, o 1.º e o.º. A amostra será etão costituída pelos aluos:.º 7 (Vera Lima).º 7 (Cátia Silva).º 3 (Salomé Cabral).º (avier Gomes).º 6 (Bruo Castro).º 10 (Fracisco Medes).º 3 (Atóio Ribeiro).º 6 (Vasco Braga) Estrato C: 5 00 5 1 pessoas 3.1. Todos os jogadores de hóquei em patis que competem a 1.ª divisão. 3.. O parâmetro peso médio (ou valor médio do peso). 3.3. Utiliza-se a média dos pesos dos 50 jogadores da amostra, ou seja, x 77 kg. 10+ + 0+ 30.1. µ 1,75 miutos σ ( 10 1,75) + ( 1,75) + ( 0 1,75) + ( 30 1,75) 7,0 Resposta: Valor médio: 1,75 mi Desvio-padrão: 7,0 mi.. 16.3. 16 amostras Médias 10 0 30 10 10 1,5 0 1,5 17,5,5 0 17,5 0 5 30 0,5 5 30 xi 10 1,5 17,5 0 1 1 3 1 3 P( xi) 16 16 16 xi,5 5 30 1 1 1 P( xi) 16.. Recorredo à calculadora obtém-se: µ 1,75 σ 5,3.5. Sim, pois µ µ, ou seja o valor médio (populacioal) é.6. igual ao valor médio da distribuição de amostragem da média. 7,0 5,3, ou seja, σ σ.
Ficha para praticar 17 1. Como estimativa potual usamos a média amostral: 5+ 105+ 110 + 65 + 50 165+ x 90 39 90 135,5 90 Estima-se que os aluos da região teham obtido uma classificação média de, aproximadamete, 135,5 potos.. Uma vez que 30, o teorema do limite cetral garate que a distribuição, aproximadamete, ormal com valor médio 3,7 0,5 e desvio-padrão 0,0 1. 3.1. Cosideremos que represeta a classificação dos exames. Etão, ~ N(11,; 1,5). Pretedemos determiar o valor a tal que P( a) 0,30. Recorredo à calculadora gráfica obtém-se a 10,. No máximo obtiveram 10, valores o exame. 3.. a) Como 30 o teorema do limite cetral garate que a distribuição, aproximadamete, ormal com valor médio 11, e desvio-padrão 1,5 0,5 36. b) Recorredo à calculadora gráfica e sabedo que: ~ N(11,; 0,5) P(11 < < 1) 7,7% Resposta: Aproximadamete, 7,7%. 1,5 3.3. Para Z ~ N(0, 1), Z +11,. Assim: ( ) P 10,5< < 11,9 0,99 1,5 P 10,5< Z+ 11, < 11,9 0,99 1,5 P 0,7< Z < 0, 7 0,99 0,7 0,7 P < Z < 0,99 1,5 1,5 0,7 P Z < 0,995 1,5 Recorredo à calculadora gráfica sabe-se que: P(Z <,5) 0,995 Assim, 0,7 3,7 3,7,5. 1,5 0,7 0,7 Logo 31. Resposta: A amostra deverá ter 31 aluos..1. Seja a potuação obtida pelos cadidatos. Como segue uma distribuição ormal N(, 5) etão também pode ser aproximada por uma distribuição ormal, sedo que 5 N,, ou seja N,. P( > 5) 0,5 P( < < 5) 0,5 0,99 0,0101 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 1%. P < P Z + <.. ( µ ) P Z < P < Z < 6 6 P < Z < 0,79 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0,79. 5.1. P( < 60) 0,5 + P( < < 60) 0,5 + 0,313 0,13 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete,,1%. 5.. Pelo teorema do limite cetral, µ e 1 σ. 0 Assim, ~ N(, ). 5.3. P( 0) 0,5 P(0 ) 0,5 0,19 0,31 A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0,31. 6.1. Seja a duração, em horas, das pilhas. Pelo teorema do limite cetral: µ 7500 e 00 σ 37 30 6.. a) ~ N(7500, 37) P(7500 < < 000) 0,5 Resposta: A probabilidade pedida é 0,5. b) Para Z ~ N(0, 1), 37Z + 7500. P( μ ) < 0, P( 37Z < 0,) 0, 0, P < Z < 0,009 37 37 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0,009. Ficha para praticar 1 1.1. z,576 6,5 6,5,576 ; +,576 50 50, ou seja, ]5,6; 30,[. 1.. Sigifica que, com uma cofiaça de 99%, estima-se que o. peso médio dos bolos cofecioados a pastelaria está compreedido etre, aproximadamete, 5,6 kg e 30, kg. 13, 13, 6,3 1,96 ; 6,3+ 1,96 100 100 ou seja, ]59,7; 6,9[. Resposta: Com uma cofiaça de 95%, estima-se que o valor médio das classificações está compreedido etre, aproximadamete, 59,7% e 6,9%.,5,5 3.1. a) 0 1,65 ; 0+ 1,65 70 70 ou seja, ]19,1; 0,5[.,5,5 b) 0 1,96 ; 0+ 1,96 70 70 ou seja, ]1,96; 1,05[. 3.. Itervalo de cofiaça de 90% Amplitude: 0,5 19,1 1,77 Itervalo de cofiaça de 95% Amplitude: 1,05 1,96,10 Quato maior for o ível de cofiaça, maior é a amplitude.
.1. Para estimar μ utilizamos x. Recorredo à calculadora gráfica obtém-se x 9,. Resposta: A estimativa potual para μ é 9, g... Recorredo à calculadora gráfica obtém-se s 1,70 ( c. d.). 1,70 1,70.3. 9, 1,96 ;9, + 1,96 10 10 5.1. 5.. ou seja, ],; 50,3[. 7,5+ 5 3,5+ 1 37,5+ 10,5+ 5 7,5 x 36 105 39,03 36 Resposta: Estima-se que o valor médio das faturas seja de, aproximadamete, 39,03.,, 39,03,576 ;39, 03+,576 36 36, ou seja, ]3,; 5,6[. 6.1. Recorredo à calculadora gráfica obtém-se: x, e s,., 3,6 5,+ z, z, logo z 1,96. 5, Resposta: O ível de cofiaça é 95%. 6.. Não, pois as provas efetuadas em apeas um ao ão são represetativas da população, ou seja, de todas as provas da carreira. Para uma melhor seleção da amostra dever-se-ia começar por selecioar provas de vários aos da carreira. Ficha para praticar 19 1 9 1.1. p ˆ 0,5 0 0 1.. Utilizamos a proporção amostral como estimativa potual para a proporção populacioal. Assim, estima-se que a proporção populacioal seja igual a 0,5. 1 1+ 0 1 9 1.3. a) x 0,5 0 0 0.1. a) ( ) ( ) 1 1 0,5 + 0 0,5 b) s 0,50 39 c) Pelas alíeas 1.1. e 1.3. a) e c) podemos cocluir que p x 0,5 e 0,5( 1 0,5) 0,50, ou seja, ( ˆ) pˆ 1 p s. 10 p ˆ 0, 300 Itervalo de cofiaça 90%: 0,( 1 0,) 0,( 1 0,) 0, 1,65 ;0, + 1, 65 300 300 ou seja, ]0,35; 0,5[. Itervalo de cofiaça 95%: 0, 1 0, 0, 1 0, 0, 1,96 ;0, + 1,96 300 300 ou seja, ]0,3; 0,6[. ( ) ( ) b) 10 p ˆ 0,6 300 Itervalo de cofiaça 90%: 0,6( 1 0,6) 0,6( 1 0,6) 0,6 1,65 ;0,6+ 1, 65 300 300 ou seja, ]0,55; 0,65[. Itervalo de cofiaça 95%: 0,6( 1 0,6) 0,6( 1 0,6) 0,6 1,96 ;0, 6+ 1,96 300 300 ou seja, ]0,5; 0,66[... Pode-se observar que quato maior o ível de cofiaça, maior é a amplitude do itervalo e cosequetemete meor a precisão. 3.1. Proporção populacioal 3.. a) População: todos os aluos do 9.º ao de escolaridade Amostra: os 0 aluos do 9.º ao de escolaridade 60 b) p ˆ 0, 0% 0 Resposta: Estima-se que 0% dos aluos do 9.º ao de es- colaridade pretedem iscrever-se os Cursos Profissioais. c) Como 30 a distribuição de amostragem da proporção p pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio 0, e desvio-padrão 0, 1 0, 0, ou seja, 0,0. d) p ~ N(0,; 0,0) P(p 0,5) 0,5 + P(0, < p < 0,5) 0,5 + 0,39 0,9 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 9%..1. 0,05 0 Resposta: Prevê-se que autorrádios teham defeito... Como 30 a distribuição de amostragem da proporção p pode ser aproximada por uma distribuição ormal com valor médio 0,05 e desvio-padrão 0,05 1 0,05 aproximadamete, 0,03. Resposta: Valor médio: 0,05; desvio-padrão: 0,03.3. Da alíea aterior sabe-se que p ~ N(0,05; 0,03). 0, ou seja, P(p > 0,0) 0,5 P(0,05 < p < 0,0) 0,5 0,313 0,7 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete,,9%... 0,05( 1 0,05) 0,05( 1 0,05) 0,05 1,65 ;0,05+ 1,65 0 0 ou seja, ]0; 0,11[. Ficha para praticar 0 5 5 1.1. a) 0 1,65 ;0+ 1, 65 6 6 ou seja, ]7,9; 1,0[. 5 5 b) 0 1,96 ;0+ 1,96 6 6 ou seja, ]7,; 1,[.
5 5 c) 0,576 ;0+,576 6 6 ou seja, ]7,; 1,6[. 1.. Itervalo de cofiaça 90%: Margem de erro: 1 7,9 1,05 1.3.. Itervalo de cofiaça 95%: Margem de erro: 1, 7, 1, Itervalo de cofiaça 99%: Margem de erro: 1,6 7, 1,6 À medida que o grau de cofiaça aumeta, a margem de erro também aumeta. 1,65 5, 0, Resposta: A amostra terá de ter dimesão 3.,576 60 59,7 0 Resposta: Devem ser iquiridas, pelo meos, 60 pessoas. 3. Como a amplitude deve ser o máximo 0,0 etão E 0,10..1... 5.1. 1,96 0, ( 1 0,),9 0,10 Resposta: Devem ser iquiridos 9 aluos. 1,96 55 11 60, 1 Resposta: A dimesão da amostra terá de ser, o míimo, igual a 11 61. σ E z 55 9,05 10 9,05 z z 100 55 Etão z 1,65. Resposta: O grau de cofiaça deverá ser de 90%. 175 7 p ˆ 7,5% 00 Resposta: Estima-se que 7,5% das pessoas vão comprar o perfume. 5.. 0,75( 1 0,75) 0,75( 1 0,75) 0,75 1,96 ;0,75+ 1,96 00 00 5.3. 5.. 5.5. ou seja, ]0,3; 0,9[. Isto sigifica que, com uma cofiaça de 95%, estima-se que a percetagem de pessoas que vão comprar o perfume está compreedida etre 3% e 9%, aproximadamete. 0,5 0,5 7,5,576 ;7,5+,576 00 00 ou seja, ]7,1; 7,59[. 0,75 1 0,75 E 1, 65 0,0 00 0,5 E 1,96 0,07 00,576 0,75 1 0,75 7,6 0,10 5.6. ( ) Resposta: Teriam de testar o perfume 73 clietes. Ficha de teste 10 1.1. p 0,75 0 75% dos habitates da aldeia cultiva os seus terreos. 1.. Parâmetro.1. Recorredo à calculadora gráfica obtém-se x 130, que é uma estimativa potual para a média das velocidades de todos os automóveis. Estima-se que a média das velocidades dos automóveis seja de, aproximadamete, 130, km/h... Recorredo à calculadora gráfica obtém-se s 6,. O desvio-padrão amostral é, aproximadamete, 6, km/h..3. a) Como 30 o teorema do limite cetral garate que a distribuição, aproximadamete, ormal com valor médio 10 km/h e desvio-padrão b) P( μ < 5)? Seja Z ~ N(0, 1), etão: 10 30 Z Z + 10 30 3 3 10 30, ou seja, 30 3 30 P( µ < 5) P Z + 10 10 < 5 km/h. 30 P 5< Z < 5 < < 0,99 P Z 30 30 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 99%. 16.. a) p ˆ 30 dos automóveis ão cumpriram a lei. 1 1 b) 1, 65 ; + 1, 65 30 30 ou seja, ]3,%; 6,3%[. 3.1. Como 30 o teorema do limite cetral garate que a distribuição, aproximadamete, ormal com valor médio 7,5 kg e desvio- -padrão,5, ou seja, 1, kg. 9 3.. Sabedo que ~ N(7,5; 1,), temos que: P(6,3 < <,7) 6% Repare que 6,3 7,5 1, e,7 7,5 + 1,. Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 6%. 6,,7.1. E 0,75 Resposta: A margem de erro é 0,75.
.. x 0,75,7 x,7 + 0,75 x 5,5 Resposta: Temperatura média: 5,5 ºC..3.,7 0,75 50 z 0,75 z 50,7 Etão z 1,96. Resposta: Nível de cofiaça: 95%.. Sigifica que, com uma cofiaça de 95%, estima-se que a temperatura média a Riviera Maya está compreedida etre,7 ºC e 6, ºC..5. Deve-se aumetar a dimesão da amostra (ou etão dimiuir o ível de cofiaça). 0,5( 1 0,5) 0,5( 1 0,5) 5.1. 0,5 1,96 ;0,5+ 1,96 1100 1100 5.. ou seja, ]0,551; 0,609[. Resposta: Itervalo de cofiaça pedido: ]55,1%; 60,9%[ 0,5 1 0,5 E 1,96 0,09 1100 Resposta: A margem de erro é de, aproximadamete, 0,09. 1,96 0,5 1 0,5 935,1 0,01 5.3. ( ) Resposta: A amostra terá de ter dimesão 9359. 6.1. População: todos os futebolistas do campeoato acioal do Turquemeistão. Amostra: os 100 futebolistas do campeoato acioal do Turquemeistão. 6.. Pretede-se estimar o parâmetro valor médio. Vai utilizar-se a estatística média amostral. 6.3.,3 golos 0, 6 0,6 6..,3 1,96 ;,3+ 1,96 100 100, ou seja, ],;,[. 6.5. p ˆ 0, 100 0, 1 0, 0, 1 0, 0,,576 ;0,+,576 100 100 ou seja, ]0,06; 0,[. Isto sigifica que, com uma cofiaça de 99%, estima-se que a percetagem de avaçados as equipas do Turquemeistão está compreedida etre 6% e %. 6.6. a) Como 30 o teorema do limite cetral garate que a distribuição aproximadamete ormal com valor médio 0,,5 golos e desvio-padrão 0,1 6 golo. 7.1. 7.. b) Sabedo que ~ N(,5; 0,1) e recorredo à calculadora gráfica, temos que P(, < <,6) 0,. Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, %. c) P( μ < 0,)?,5 Seja Z ~ N(0, 1), etão Z 0,1Z +,5. 0,1 P( μ < 0,) P( 0,1Z +,5,5 < 0,) 0, 0, P( 0, < 0,1Z < 0,) P < Z < 0,95 0,1 0,1 Resposta: A probabilidade pedida é, aproximadamete, 0,95. 0,5 0,5, 1,96 ;, + 1,96 0 0, ou seja, ],31;,53[.,576 0, 5 1,7 0,1 Resposta: A amostra terá de ter dimesão..1. Recorredo à calculadora gráfica obtém-se x 5,0%. Resposta: Estima-se que o teor alcoólico médio seja de, aproximadamete, 5,0%... Recorredo à calculadora gráfica obtém-se s 0,05. 0,05 0,05 5,0 1,65 ;5, 0+ 1,65 ou seja, ]5,00%; 5,0%[. Sigifica que, com uma cofiaça de 90%, estima-se que a percetagem média de álcool as garrafas de cerveja da marca está compreedida etre 5% e 5,0%. 0,05.3. E 1,65 0,0.. Resposta: O erro associado é de, aproximadamete, 0,0%.,576 0,05 165,9 0,01 Resposta: Seria ecessário aalisar pelo meos 166 garrafas. 7.5. a) p ˆ Resposta: A proporção pedida é 7. 7 7 7 7 1 1 7 7 b) 1,96 ; + 1,96 ou seja, ]0,1; 0,7[.