Colégio Estadual Conselheiro Macedo Soares Dependência de Matemática 2º ano do Ensino Médio Progressão Aritmética, Progressão Geométrica, Matemática Financeira Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares Fábio Vinícius Professor de Matemática www.fabiovinicius.mat.br professor@fabiovinicius.mat.br Niterói 24 de junho de 2019
1. Progressão Aritmética Questão 1.1. Interpolar cincos meios aritméticos entre 4 e 250 e determinar o termo geral da sequência. Questão 1.2. Determinar o valor de x para que a sequência (2x 7, x 2 1, x 2 + 8x + 16) seja uma PA e escrever todos os termos. Questão 1.3. Quantos múltiplos de 6 existem entre 4.000 e 5.000? Questão 1.4. Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, quantos metros ele terá andado? Questão 1.5. Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00. A partir daí, o valor da mensalidade decresce R$ 8,00 a cada mês. a) Quanto o aluno pagará no oitavo mês do plano? b) Que valor total anual o aluno pagará? c) Em um ano, em média, quanto o aluno pagará por mês? 2. Progressão Geométrica Questão 2.1. Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem 1 m de altura, cada caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura da nossa pilha de caixas será: (a) 121 m (b) 81 m (c) 32 m (d) 21 m (e) 15 m Questão 2.2. Eduardo comprou um automóvel e vai pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de R$ 200,00 e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o valor da última prestação e o preço do automóvel? Questão 2.3. Numa progressão geométrica, sabe-se que a 3 = 40 e a 6 = 320. A soma dos dez primeiros termos dessa sequência é: (a) 1650 (b) 1650 (c) 2860 (d) 3410 (e) 3640 www.fabiovinicius.mat.br 2 24 de junho de 2019
Questão 2.4. Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. No primeiro dia de exposição, 2 pessoas visitaram a exposição. A partir do segundo dia, a cada dia o número de pessoas que visitam a exposição é igual ao dobro do número de pessoas que a visitaram no dia anterior. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso de 3,00 reais, qual é o menor número de dias que a exposição deve permanecer aberta a fim de que o total arrecadado atinja pelo menos o valor de 6138,00 reais? Questão 2.5. Larga-se uma bola de uma altura de 5 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 4 da altura anterior. Calcule a distância total percorrida pela bola. 9 3. Matemática Financeira Questão 3.1. Uma aplicação de R$ 2.000,00 é feita a juro simples de 24% a.a. a) Qual será o montante após 3 anos de aplicação? b) Escreva uma expressão que forneça o montante da aplicação em função do número n de anos decorridos após a aplicação. Questão 3.2. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Qual o preço desse artigo daqui a: a) 4 meses? b) 10 meses? c) 1 ano e 5 meses? Questão 3.3. Uma obra de arte foi comprada por um investidor por R$ 8.000,00. O investidor espera uma valorização de 10% ao ano. a) Escreva a fórmula que representa a valorização dessa obra de arte, em função do tempo t em anos; b) Qual o valor da obra 6 anos após a data da compra? Questão 3.4. O senhor Haroldo deposita hoje R$ 10.000,00 e depositará R$ 12.000,00 daqui a 3 anos em um fundo que rende juros compostos à taxa de 10% ao ano. Seu montante, daqui a 4 anos, pertencerá ao intervalo: Questão 3.5. Silvana aplicou R$ 10.000,00 durante doze meses consecutivos em um investimento que lhe rendeu 2% ano mês de juros simples. Após esses doze meses resgatou todo o dinheiro e aplicou por mais doze messes em um investimento que lhe rendeu 2% ao mês de juros compostos. Ao fazer o resgate nessa segunda aplicação, verificou que o montante era de: www.fabiovinicius.mat.br 3 24 de junho de 2019
4. Matrizes Questão 4.1. Seja A = ( 1 2 7 ) e B = (3 ), determine: 4 5 6 8 a) A + 2B b) B A c) A t + 3B Questão 4.2. Complete a multiplicação abaixo determinando a relação entre as matrizes A e B e classificando a matriz P. 2 1 3 1 5 2 1 0 0 ( 1 1 1) ( 0 1 1 ) = ( 0 1 0) 1 2 1 1 3 1 Matriz A Matriz B Matriz P Questão 4.3. Complete a multiplicação abaixo determinando a relação entre as matrizes M e N e classificando a matriz R. 1 2 3 1 4 7 ( 4 5 6) ( 2 5 8) 7 8 9 3 6 9 Matriz M Matriz N 14 50 = ( 32 77 122 122 194 Matriz R ) Questão 4.4. Uma agência de propaganda utiliza nas campanhas publicitárias que elabora para seus clientes três tipos de material para divulgação em papel: impresso tipo PB, em preto e branco no papel simples; impresso tipo CK, colorido no papel simples; impresso tipo CKX, colorido no papel mais grosso. Para fazer esse tipo de trabalho, a agência contrata normalmente três gráficas, que cobram preços unitários diferentes para cada tipo de impressão conforme a tabela abaixo. Tipo PB CK CKX Gráfica A R$ 2,00 R$ 3,00 R$ 4,00 Gráfica B R$ 3,00 R$ 3,00 R$ 4,00 Gráfica C R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 6,00 Determine a gráfica que, para fazer 300 impressões do tipo PB, 150 impressões do tipo CK e 200 impressões do tipo CKX, apresentaria o menor custo. www.fabiovinicius.mat.br 4 24 de junho de 2019
Questão 4.5. Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois P países da América Central, 1 e P. 2 As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q. Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz P. A B C 200 100 150 Q = 100 150 200 P1 P2 500 300 1ª empresa P = 400 200 2ª empresa a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê? 5. Determinantes Questão 5.1. Considere a matriz A = (a ij ) 2x2, definida por a ij = 1 + 2i + j, para 1 i, j 2. O determinante de A é: (a) 22 (b) 0 (c) 4 (d) 2 (e) 4 Questão 5.2. Observe a matriz: 3 + t 4 3 t 4 Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 1 1 1 Questão 5.3. Para que o determinante da matriz 1 0 b seja 3 o valor de b deve ser igual a 1 2 1 (a) 2 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3 1 0 1 Questão 5.4. O determinante da inversa da matriz a seguir é: [ 1 2 0] 1 4 3 (a) 52 5 (b) 48 5 (c) 5 48 5 (d) 5 52 (e) 5 48 www.fabiovinicius.mat.br 5 24 de junho de 2019
Questão 5.5. Dadas as matrizes det(a B) = 3x, pode ser igual a: x 21 x A = e B 1 1 = 1 2 a diferença entre os valores de x, tais que (a) 3 (b) 2 (c) 5 (d) 4 (e) 1 6. Sistemas de Equações Lineares Questão 6.1. Resolva e classifique os sistemas abaixo utilizando o escalonamento. 3x y + z = 5 3x + 2y + 2z = 1 4x 6y + 8z = 16 a) S 1 : { x + y 2z = 3 2x + 3y z = 7 b) S 2 : { 2x y z = 3 x + y + z = 0 c) S 3 : { 4x 7y + 6z = 15 x 2y + z = 3 Questão 6.2. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura látex e corante conforme o pedido do consumidor. Calcule a quantidade de litros de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de 20 litros, obtenha latas de: a) R$ 100,00, sendo o preço do látex R$ 4,00 e do corante R$ 8,00; b) R$ 80,00, sendo o preço do látex R$ 4,00 e o do corante R$ 4,00; c) R$ 60,00, sendo o preço do látex R$ 4,00 e o do corante R$ 4,00. Utilizando sistemas de equações lineares de duas equações e duas incógnitas classifique esses sistemas e quando possível determine as suas soluções. Utilize o enunciado abaixo para responder as questões 6.3, 6.4 e 6.5. Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela. Amigo Quantidades compradas de: Cadernos Canetas Lápis Total pago Júlia 5 5 3 R$ 96,00 Bruno 6 3 3 R$ 105,00 Felipe 4 5 2 R$ 79,00 Questão 6.3. Escreva um sistema de equações lineares de três incógnitas para representar a situação acima onde x, y e z representam respectivamente o valor de cada caderno, caneta e lápis. Questão 6.4. Escreva uma equação matricial da forma Q V = T onde a matriz Q representa a quantidade de caderno, caneta e lápis adquirida por cada um dos três amigos e T a matriz que representa o total pago por cada amigo. www.fabiovinicius.mat.br 6 24 de junho de 2019
Questão 6.5. Determine respectivamente, utilizando a Regra de Cramer, o valor de cada caderno, caneta e lápis. www.fabiovinicius.mat.br 7 24 de junho de 2019