Matemática para Ciência dos Computadores 30 de Dezembro, 2003 Docente: Luís Antunes & Sandra Alves Mais exercícios de MCC 1. Sejam p, q, r e p 1, p 2, p 3 as seguintes afirmações primitivas e premissas respectivamente: p O aluno estuda q O aluno joga PS2 p 1 p 2 p 3 r O aluno passa a MCC Se o aluno estuda, então passa a MCC. Se o aluno não joga PS2, então estuda. O aluno reprovou a MCC. Determine se p 1 p 2 p 3 q. Mostre que: (p ( p q)) p q 2. Indique as regras de inferência usadas na seguinte prova: Passos 1) s u 2) u 3) u t 4) t 5) s 6) s t 7) r (s t) 8) ( s t) r 9) r 10) ( p q) r 11) r (p q) 12) p q 13) p Regras ( p q) r r (s t) s u u t p 3. Construa uma prova, usando regras de inferência, para mostrar que as hipóteses Não está sol esta tarde e está mais frio que ontem, Nós vamos nada apenas se estiver sol, Se não formos nadar então vamos dar um passeio de canoa e Se formos dar um passeio de canoa então estaremos em casa ao fim da tarde implicam que Estaremos em casa ao fim da tarde. 4. Construa uma prova, usando regras de inferência, para mostrar que as hipóteses Se me mandares um email então acabarei o programa, Se não me mandares um email, então vou dormir mais cedo e Se for para a cama mais cedo então vou acordar descansado, implicam que Se não acabar de escrever o programa, então vou acordar descansado. 1
5. (a) Utilizando equivalências lógicas simplifique a seguinte expressão [ [(p q) r] q] (b) Mostre que se p q, q (r s), r ( t u) e p t então u. (c) Construa uma prova, usando regras de inferência, para mostrar que as hipótese: Se a banda não souber tocar rock ou as bebidas não chegarem a tempo, então a festa de ano novo vai ser cancelada e a Maria vai ficar chateada., Se a festa for cancelada, então terão que devolver o dinheiro dos bilhetes. e O dinheiro dos bilhetes não foi devolvido. implicam que A banda sabe tocar rock. (d) Determine a negação da seguinte fórmula x y[(p(x, y) q(x, y)) r(x, y)] (e) Construa uma prova, usando regras de inferência, para mostrar que as hipótese: Se eu não especificar as condições iniciais, então o meu programa não executa., Se o programa não executa ou não termina, então o programa falha. implicam que Se o programa não falha, então especifiquei as condições iniciais e não programei um ciclo infinito. (f) Mostre, por contradição, que: se p (q r), (q s) t e p s, então t. 6. Sabendo que q é verdadeiro, determine as atribuições aos literais p, r e s que validam (q (( p r) s)) ( s ( r q)). 7. Simplifique a expressão (A B) C B. 8. (a) Determine os conjuntos A, B, onde A B = {1, 3, 7, 11}, B A = {2, 6, 8} e A B = {4, 9}. (b) Determine os conjuntos C, D, onde C D = {1, 2, 4}, D C = {7, 8} e C D = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. 9. Mostre, ou indique um contra-exemplo, dados dois conjuntos A, B U: (a) P (A B) = P (A) P (B). (b) P (A B) = P (A) P (B). 10. Quantas permutações dos dígitos 0, 1, 2,, 8, 9 começam por 7 ou terminam por 3 ou ambos? 11. Seja a um inteiro, mostre que um dos inteiros a, a + 2 e a + 4 é divisível por 3. 12. Mostre, ou indique um contra-exemplo, que: (a) quaisquer dois inteiros consecutivos, são primos relativos. (b) para todo o m inteiro, 2m e 4m + 3 são primos relativos. (c) para todo o m inteiro, 2m + 1 e 3m + 2 são primos relativos. 13. Suponhamos que o algoritmo de Euclides é usado para determinar mdc(a, b), e que num determinado passo o resto da divisão, r i, é um número primo. (a) Mostre que mdc(a, b) = 1 ou mdc(a, b) = r i. (b) Como podemos determinar qual dos casos da alínea anterior se verifica? (c) Com base nas alíneas anteriores, determine mdc(40, 371) e mdc(52, 325). 2
14. Seja p um número primo com p > 3, mostre que p se pode escrever como 4n + 1 ou 4n + 3 com n N. 15. Seja p um número primo com p > 3, mostre que p se pode escrever como 6n + 1 ou 6n + 5 com n N. 16. Quantos inteiros entre 1 e 6n inclusive, com n N, são primos relativos com 6? 17. Mostre que para todo o número natural n 2, n 2 > n + 1. 18. Seja P 1 (n) a afirmação n 2 + n + 11 é um número primo e P 2 (n) a afirmação 3 (3n + 2). (a) Sabendo que P 1 (1), P 1 (2),, P 1 (9) são válidos, será que P 1 (n) é válido para todo o n N? (b) Sabendo que a implicação P 2 (k) P 2 (k + 1) é verdadeira para todo o k N, será que P 2 (n) é válido para todo o n N? 19. Mostre que para todo o n 4, n (n 1) (n 2) 2 1 > 2 n. 20. Seja A um conjunto com n N elementos, mostre que P (A) = 2 n (P (A) denota o conjunto de todos os subconjuntos de A). 21. Mostre que para todo o n N, 6 (n 3 + 5n). 22. Use indução matemática para mostrar que para todo o n N: (a) n j=0 2j = 2 n+1 1. (b) n j=0 (2j 1) = n2. (c) (2 n ) 2 1 é um múltiplo de 3. (d) 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n (n+1) = n n+1. (e) 1 2 + 2 3 + + n (n + 1) = n(n+1)(n+2) 3. 23. Mostre que para todo o n N e todo o número q 1, n i=0 qi 1 = qn 1 q 1. 24. Mostre que todo o número natural n 2 é um número primo ou um produto de números primos. 25. Seja A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5} e C = {3, 7}. (a) B A? (b) C A? (c) B B? 26. Se A = m e B = n, determine A B. 27. Das seguintes afirmações identifique as verdadeiras. (a) 2 {1, 2, 3}. (b) {2} {1, 2, 3}. (c) 2 {1, 2, 3}. (d) {2} {1, 2, 3}. (e) {2} {{1}}, {{2}}. 3
(f) {2} {{1}}, {{2}}. 28. Determine a composição das relações R e S, com R definida de {1, 2, 3} em {1, 2, 3, 4} e S definida de {1, 2, 3, 4} em {0, 1, 2} e R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} 29. Represente a seguinte relação, (a, b) R (a < b a b) definida em {1, 2, 4, 5, 10, 20}, sob a forma de um grafo dirigido e como uma matriz. 30. Mostre que a relação (a, b) R 3 (a b) definida em Z, é uma relação de equivalência. Diga, justificando, se a relação dada é anti-simétrica. 31. Seja U um conjunto não vazio, mostre que a relação R definida no conjunto de todos os subconjuntos de U (P (U)) é uma relação de ordem parcial. A, B P (U), (A, B) R A B. Diga, justificando, se a relação dada é simétrica. 32. Mostre que a a seguinte relação definida em {1, 2, 3, 4, 5} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (5, 1), (5, 3)} é uma relação de equivalência. Determine as suas classes de equivalência. 33. Diga quais das seguintes relações em N são reflexivas e/ou simétricas e/ou anti-simétricas e/ou transitivas. (a) R 1 = {(m, n) : mdc(n, m) = 1}. (b) R 2 = {(m, n) : mdc(n, m) > 1}. (c) R 3 = {(m, n) : m n}. (d) R 4 = {(m, n) : n + m é par}. (e) R 5 = {(m, n) : n + m é ímpar}. 34. Sejam R 1 e R 2 relações num conjunto A não vazio. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: (a) se R 1 e R 2 são relações de equivalência, então R 1 R 2 é uma relação de equivalência. (b) se R 1 e R 2 são relações de equivalência, então R 1 R 2 é uma relação de equivalência. (c) se R 1 e R 2 são relações de equivalência, então R 1 R 2 é uma relação de equivalência. 35. Quantas relações de equivalência existem em: (a) {1}. (b) {1, 2}. (c) {1, 2, 3}. (d) {1, 2, 3, 4}. 36. Desenhe o diagrama de Hasse da relação definida em P ({1, 2, 3}). 4
37. Desenhe o diagrama de Hasse da relação de divisibilidade definida no conjunto dos divisores de 24. 38. Sejam p 1, p 2, p 3, p 4 números primos distintos e sejam a!, a 2, a 3, a 4 inteiros positivos. (a) Quantos divisores positivos distintos tem 3 5 7 4 11 3 17 8? (b) Quantos divisores positivos distintos tem n = p a1 1 pa2 2 pa3 3 pa4 4. 39. Quantas palavras de 5 letras podem ser formadas a partir das letras: a, b, c, d, e, f e h, em que as letras não aparecem repetidas. Quantas destas palavras incluem a letra a. 40. De quantas maneiras distintas pode formar 10 casais a partir de um conjunto de 10 rapazes e 16 raparigas? 41. Em cada lote de 100 lâmpadas produzidas na fabrica Dar a Luz é sabido haver 10 defeituosas. Uma amostra de sete lâmpadas é selecionada aleatoriamente e verificada. Quantas amostras contém: (a) exactamente 3 lâmpadas defeituosas. (b) pelo menos uma lapada defeituosa. 42. Se o João tem 15 cavalos e o Miguel tem 12 cavalos, de quantas maneiras distintas podem eles trocar grupos de 8 cavalos? 43. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 12 trabalhos de casa por 20 estudantes, se cada estudante receber no máximo um trabalho? 44. Quantas strings binárias de tamanho 16 contém exactamente 6 1 s? 45. Determine a expansão de: (a) (x + y) 5. (b) (x + y) 6. (c) (x + 3y) 7. 46. Determine o coeficiente de: (a) x 11 y 4 na expansão de (x + y) 15. (b) x 6 y 4 na expansão de (2x + y) 10. (c) x 5 na expansão de (1 + x + x 2 ) na expansão de (1 + x + x 2 )(1 + x) 6. 47. Considere o problema de seleccionar 3 dígitos do conjunto {0, 1, 2,, 9}. (a) De quantas maneiras distintas o pode fazer? (b) De quantas maneiras distintas o pode fazer se não poder seleccionar dois dígitos consecutivos? 48. De quantas maneiras pode juntar os símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de forma a que nenhum e seja adjacente a outro e? 49. (a) De quantas maneiras distintas pode um aluno responder a um exame com 10 questões de resposta verdadeiro/falso, de resposta obrigatória? (b) De quantas maneiras distintas pode um aluno responder a um exame com 10 questões de resposta verdadeiro/falso, com a possibilidade de não responder? 5