Função do 2º Grau. Alex Oliveira

Função do 2º Grau Alex Oliveira

Apresentação A função do 2º grau, também chamada de função quadrática é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplos: f(x) = 3x 2 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1. g(x) = x 2 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4. h(x) = 20x 2, em que a = 20, b = 0 e c = 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Apresentação Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte: Número de clubes Número de partidas 2 2(2-1) = 2 3 3(3-1) = 6 4 4(4-1) = 12 5 5(5-1) = 20 n n(n - 1) Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por: p(n) = n(n - 1) = n 2 - n UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

Apresentação Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é em função de tempo (t) por uma função quadrática s(t) = 4,9t 2, em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

Gráfico da função O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. c Parábola O x 1 x 2 Vértice V Eixo de Simetria UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

Vamos praticar... O gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação P(i) = 20i 5i 2, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampéres. Dada a função P(i) = 20i 5i 2, iremos substituir o i por 3, sendo assim: P(i) = 20i 5i 2 P(3) = 20.3 5.3 2 P(3) = 60 5.9 P(3) = 60 45 P(3) = 15 Logo, quando a intensidade da corrente elétrica é de 3 ampères a potência do gerador será de 15 watts. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

Parâmetro a Responsável pela concavidade e abertura da parábola. o Se a > 0 a concavidade é para cima. o Se a < 0 a concavidade é para baixo. Além disso, quanto maior for o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais fechada ), independentemente da concavidade. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

Parâmetro b Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola. o Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. o Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. o Se b = 0 a parábola cruza o eixo y no vértice. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

Parâmetro c Indica onde a parábola cruza o eixo y. o A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

Eixo x A parábola pode interceptar o eixo x em um, dois ou nenhum ponto, dependendo do valor de = b 2 4.a.c da equação correspondente. f(x) = 0 ax 2 + bx +c = 0 = 0 uma raiz real dupla - a parábola interceptar o eixo x em um só ponto. > 0 duas raízes reais distintas - a parábola interceptar o eixo x em dois pontos. < 0 nenhuma raiz real - a parábola não interceptar o eixo x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

Vértice da parábola A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como o valor máximo ou mínimo. O vértice de uma parábola dada por f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, também pode ser calculado assim: V b, 2a 4a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

Imagem Utilizando o vértice da parábola iremos determinar a imagem da função. Exemplos: f(x) = -4x 2 + 4x + 5 x v = b 2a 4 8 1 2 y v = 4a (16+80) 16 V 1 2, 6 96 16 = 6 Como, a = -4, a < 0 assim a concavidade será para baixo, então a função assume como valor máximo 6 quando x = 1 2. Logo, Im(f) = {y R y 6} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

Imagem g(x) = 2x 2 8x x v = 8 2.2 y v = 4a 8 4 -(-2) 2 64 4.2.0 4.2 64 8-8 V(2, -8) Como, a = 2, a > 0 assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo -8 quando x = 2. Logo, Im(g) = {y R y -8} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

Valor máximo ou mínimo De modo geral, quando: a > 0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y R y y v }; a < 0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y R y y v }; UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

Vamos praticar... Dada a função quadrática f(x) = 3x 2 10x + 3, vamos determinar: a) Se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo; Concavidade: voltada para cima, pois a = 3 e, portanto, a > 0. b) Os zeros da função; f(x) = 0 3x 2 10x + 3 = 0, onde a = 3, b = -10 e c = 3 = 100 4.3.3 = 100 36 = 64 x = 10 ± 64 6 x 1 = 18 6 = 3 x 2 = 2 6 = 1 3 x = 10 ± 8 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

Vamos praticar... c) O vértice da parábola definida pela função; V b, V 10, 64 2a 4a 6 12 V d) Intersecção com o eixo x; 5 3, 16 O gráfico intercepta o eixo x em (x 1 ; 0) e (x 2 ; 0), como x 1 = 3 e x 2 = 1 temos que (3; 0) e 3 1 ; 0 3 são os pontos que o gráfico intercepta o eixo x. e) Intersecção com o eixo y; O gráfico intercepta o eixo y em (0; c), como c = 3 temos que (0; 3) é o ponto que o gráfico intercepta o eixo y. 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

Vamos praticar... f) Eixo de simetria; g) Im(f); O eixo de simetria é a reta que passa por V e é paralela ao eixo y. Assim, x = 5 3 Como, a = 3, a > 0 assim a concavidade será para cima, então a função assume valor mínimo 16 3 quando x = 5 3. {y R y 16 3 } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

Vamos praticar... Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação y = -0,1x 2 + 15x, onde x e y são medidos em metros. o Determine, em metros, a altura máxima atingida pela bala; O valor máximo (ou mínimo) dessa função é o y do vértice da parábola, ou seja, y =. Então a altura 4a máxima da bala é: y = [225 4. 0,1.(0)] 4.( 0,1) [225 0] 0,4 225 0,4 562,5 m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

Vamos praticar... o O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x 2 + 15x = 0. = 225 x = 15 ± 225 2.( 0,1) x 1 = 15 +15 2.( 0,1) 0 0,2 0 x 2 = 15 15 2.( 0,1) 30 0,2 150 Assim, o alcance do disparo é de 150 0 = 150 m. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x; o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); o A reta que passa por V e é paralela ao eixo y é o eixo de simetria da parábola; o Parábola corta o eixo y em (0, c). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

Vamos praticar... Construa o gráfico da função 3x 2-4x + 1. o O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola, a = 3, a > 0, logo a concavidade será para cima. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

Vamos praticar... o Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; f(x) = 3x 2-4x + 1 f(x) = 0 3x 2-4x + 1 = 0 3x 2-4x + 1 = 0 = 16 4.3.1 = 16 12 = 4 x = 4 ± 4 2.3 x = 4 ± 4 6 x 1 = 4+2 6 6 6 = 1 x 2 = 4 2 6 2 6 = 1 3 x 2 = ( 1 3 ; 0) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

Vamos praticar... o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0); V b 2a, 4a V 4 2.3, 4 4.3 V 4, 4 V 2, 1 6 12 3 3 o A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos eixo de simetria da parábola; o Eixo de simetria é x = 2/3 y é o x 2 = ( 1 ; 0) 3 x 1 = (1; 0) V( 2 3 ; 1 ) 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

Vamos praticar... o Parábola corta o eixo y em (0; c). Logo, a parábola corta o eixo y em (0; 1) (0; 1) x 2 = ( 1 3 ; 0) V( 2 3 ; 1 3 ) x 1 = (1; 0) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

Vamos praticar... O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = 40x 2 + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. Qual a altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

Vamos praticar... A altura máxima do projétil pode ser obtido usando o vértice da parábola, como a altura é y, a altura máxima do projétil (y máx ) será a coordenada y do vértice da parábola: y max = 4a y max = (2002 4. 40. 0 ) 4. ( 40) y max = 40000 160 = 250 metros UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

Vamos praticar... O tempo que o projétil permanece no ar pode ser obtido pelo equação que descreve o movimento do projétil, onde y será a altura final do projetil após chegar no solo, assim y = 0, resolvendo a equação, teremos: 40x 2 + 200x = 0 = 200 2 4. 40. 0 = 40000 200 ± 40000 x = 2. ( 40) 200 ± 200 x = 80 x = x = 80 x = 0 s 200 + 200 0 80 200 200 x = 80 x = 400 80 x = 5 s UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27

Vamos praticar... As duas raízes obtidas mostram o tempo quando a altura do projetil é zero, ou seja, quando está no solo, podemos ver que o tempo 0 s é quando o projetil ainda não e lançado e o tempo de 5 s é o tempo que foi necessário para o projetil fazer o movimento e retornar ao solo. Assim a resposta para o tempo que ele permanece no ar é 5 s. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28