5.2- Efeito do ontrole roorional na resosta de um roesso A resosta em malha fehada de um roesso é dada ela equação 5.7. Para simlifiar a análise vamos assumir que Gm(s) e Gf(s). Além disso, ara o ontrolador roorional G(s) e a equação 5.7 se transforma em: G Gd y(s) ys(s) + d(s) (5.20) G G 5.2.-Sistemas de rimeira ordem: Para sistemas de rimeira ordem dy + y m+ dd (5.2) dt om y(0)m(0)d(0)0 Isto leva à seguinte função de transferênia: y(s) m(s) + d d(s) (5.22) Então, ara o sistema sem ontrole temos: onstante de temo: Ganhos estátios: ara a variável maniulada e d ara a arga Substitua: G(s) e Gd(s) d na equação 5.20 e obtenha a resosta em malha fehada: y(s) ys(s) + d d(s) (5.23) que ode ser reesrita omo: d y(s) ys(s) + d(s) (5.24) s+ s+ em que e 54
d d Os arâmetros e d são onheidos omo ganhos estátios em malha fehada. Pela equação 5.24 odemos onluir que a resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem tem as seguintes araterístias: - Permanee de rimeira ordem ara erturbações de arga e set oint. 2- A onstante de temo foi reduzida (ou seja, <), o que signifia que a resosta em malha fehada se tornou mais ráida do que a resosta em malha aberta ara mudanças no set oint ou arga. 3- O ganho estátio diminuiu. Para entender melhor o efeito do ontrolador roorional, onsidere um degrau unitário no set oint (roblema servo) e na arga (rblema regulatório) e examine as resostas em malha fehada. Para o roblema servo, ys(s)/s e d(s)0. então, a equação 5.24 leva a : y(s) s+ s e a inversão y(t) ( e t / ) A figura 5.4a mostra a resosta do sistema em malha fehada ara uma erturbação degrau unitário no set oint. Notamos que a resosta final, ata t, nuna atinge o novo valor desejado ys. Há semre uma disreânia hamada de offset que é igual a offset novo set oint - valor final da resosta Figura 5.4- Resosta de sistemas de rimeira ordem om ontrole P, ara (a) degrau unitário no set oint; (b) degrau unitário na arga. 55
O offset é um efeito araterístio do ontrole roorional. Ele diminui onforme aumenta e teoriamente offset 0 quando. Para o roblema regulatório, ys(s)0. Considere um degrau unitário na arga, ou seja, d(s)/s. Então a equação 5.24 leva a: y(s) d s+ s e deois da inversão t / y(t) ( e d ) A Figura 5.4b mostra esta resosta. Notamos novamente que o ontrolador roorional não onsegue manter a resosta no valor desejado, ao invés disso aaree um offset: offset (valor desejado) - (valor final da resosta) 0 d d O benefíio do ontrole roorional na resença de erturbações de arga ode ser visto na Figura 5.4b. Embora ele não onsiga manter a resosta no set oint e introduza um offset, a resosta está muito mais róxima ao set oint do que se não houvesse ontrole. Além disso, onforme aumentamos o ganho, o offset diminui e teoriamente offset 0 quando. Observações: - Embora o offset tenda a zero quando, nuna vamos usar valores muito altos de ara ontrole roorional. a razão vai se tornar lara no róximo aítulo, em que estudaremos a estabilidade de sistemas em malha fehada. 2- Proessos om o termo /s na sua função de transferênia (uramente aaitivos) quando ontrolados or ontrolador roorional não exibem offset ara mudanças de setoint, mas sim ara erturbações sustentadas na arga (or exemlo, erturbação degrau). 5.2.2- Sistemas de segunda ordem (roblema servo) Neste aso examinaremos somente o aso servo. Uma análise similar ara o aso regulatório ode ser failmente realizada. A função de transferênia ara um sistema de segunda ordem é y(s) G(s) (5.25) m(s) 2 2 s + 2ξs+ Substitua esta equação na equação 5.20 e, lembrando que ara o roblema servo d(s)0, temos: 56
y(s) ys(s) (5.26) 2 2 ( ) s + 2ξ s+ em que ξ ξ a equação aima vemos que a resosta em malha fehada de um sistema de segunda ordem om ontrole roorional tem as seguintes araterístias: A resosta ontinua sendo de segunda ordem. O ganho estátio diminui. Tanto o eríodo natural quanto o fator de amorteimento diminuem. Isto signifia que um sistema suer amorteido, om ontrole roorional e valor aroriado de, ode se tornar sub amorteido (osilatório). Considere um degrau unitário no set oint (ys(s)/s). Então y(s) 2 2 ( ) s + 2ξ s+ s eendendo do valor de ξ, a inversa da exressão aima ode ser dada or: eq. 3.0 ara o aso suer amorteido (ξ > ), ou eq. 3. ara o aso ritiamente amorteido (ξ ), ou eq. 3.2 ara o aso sub amorteido (ξ < ) Indeendentemente do valor artiular de ξ, o valor final da resosta ode ser enontrado elo teorema do valor final. Então y(t ) lim[sy(s)] s 0 Consequentemente, novamente notamos a existênia de offset: offset novo set oint - valor final da resosta Novamente, offset 0 quando. Observações: 57
- Se ξ >, a resosta do sistema em malha fehada é suer amorteida e muito lenta. Então referimos aumentar o valor de e fazer ξ <. Assim, a resosta em malha fehada reage mais ráido, mas se torna osilatória. Além disso, aumentando o offset diminui. 2- O aumento da veloidade da resosta do sistema e diminuição do offset, araterístias desejáveis, levam a maiores overshoots (erros máximos) e resostas osilatórias or mais temo. Então, onforme aumenta, fazendo om que ξ diminua: ela equação que define o overshoot (ágina 39) vemos que este aumenta ela equação que define a razão de delínio (ágina 40) vemos que esta também aumenta ela equação que define o eríodo de osilação, T (ágina 40), vemos que este diminui Todas as araterístias desritas aima estão mostradas na Figura 5.5. Figura 5.5- Efeito do ganho do ontrolador roorional na resosta em malha fehada de um sistema de segunda ordem om ontrole roorional. 5.3- Efeito da ação de ontrole integral Nesta seção vamos reetir a análise feita na seção assada, mas usando um ontrolador integral ao invés de um roorional. Olharemos somente o roblema servo ara sistemas de rimeira ordem; no aso regulatório e ara sistemas de ordem maior a metodologia é a mesma. Para um sistema de rimeira ordem temos: G(s) E ara ontrole integral uro temos: G(s) s I Substituindo G e G na equação 5.20, om d(s)0, temos: 58
s Is y(s) + ys(s) s Is + ou y(s) ys(s) (5.27) 2 2 s + 2ξs+ em que: I (5.28) ξ I (5.29) 2 A equação 5.27 mostra um efeito imortante da ação de ontrole integral: ela aumenta a ordem da resosta em malha fehada. Assim, ara um sistema que é de rimeira ordem sem ontrole, a resosta em malha fehada se torna de segunda ordem e onsequentemente ode aresentar araterístias dinâmias omletamente diferentes. Além disso, omo vimos anteriormente, aumentando a ordem de um sistema tornamos a sua resosta mais lenta. Assim, a ação de ontrole integral ura deve fazer om que a resosta do sistema em malha fehada se torne mais lenta. vamos examinar o omortamento dinâmio de um sistema em malha fehada quando o set oint muda or um degrau unitário. a equação 5.27 temos: y(s) 2 s 2 + 2ξs+ s A forma da resosta y(t) deende do valor de ξ, mas o valor final da resosta ode ser enontrado usando o teorema do valor final: y(t ) Logo, offset-0 lim[sy(s)] s 0 Isto mostra o efeito mais araterístio da ação integral: A ação de ontrole integral elimina qualquer offset. Pode-se verifiar failmente que ara o roblema regulatório a ação de ontrole integral roduz uma resosta em malha fehada também sem offset. Observações: 59
A equação 5.29 mostra que a forma da resosta em malha fehada (ou seja, suer amorteida, ritiamente amorteida ou sub amorteida) deende do valor do ganho do ontrolador,, e da onstante de temo integral, I. Assim, sintonizar estes arâmetros é uma questão imortante que será disutida mais tarde. a equação 5.29 vemos, ainda, que, onforme aumenta, o fator de amorteimento ξ diminui. As onsequênias da diminuição de ξ são: (a) A resosta em geral se transforma de lenta e suer amorteida em ráida orém osilatória e sub amorteida. (b) O overshoot e a razão de delínio da resosta em malha fehada aumentam. Assim, ode-se onluir que odemos melhorar a veloidade da resosta em malha fehada, mas aumentando os desvios e osilações. A Figura 5.6 mostra estas araterístias ara mudanças de set oint. a equação 5.29 vemos também que onforme I diminui, ξ diminui também. Entretanto, as onsequ~enias de diminuir I na resosta em malha fehada são as mesmas desritas aima. A figura 5.7 mostra estes efeitos. As onlusões aima odem ser resumidas da seguinte forma: Aumentando a ação de ontrole integral (ou seja, aumentando e diminuindo I ) a resosta em malha fehada se torna mais sensível. Mais tarde veremos que isto ode levar à instabilidade do sistema. Figura 5.6- Efeito do ganho roorional na resosta em malha fehada de sistemas de rimeira ordem om ontrole integral. 60
Figura 5.7- Efeito da onstante de temo integral na resosta em malha fehada de sistemas de rimeira ordem om ontrole integral. 5.4- Efeito da ação de ontrole derivativa Para ação de ontrole derivativa somente, temos: G s Assumindo ara simlifiação que GmGf, a resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem om ação de ontrole derivativa é dada or: s y(s) + s + ( s) ( s) ys(s) ou s y(s) ys(s) (5.30) ( + )s+ A equação 5.30 leva às seguintes observações sobre os efeitos da ação de ontrole derivativo na resosta em malha fehada de um sistema: A ação de ontrole derivativa não muda a ordem da resosta. No exemlo aima o sistema ermaneeu de rimeira ordem. A equação 5.30 deixa laro que a onstante de temo efetiva da resosta em malha fehada é +, ou seja, maior do que. Isto signifia que a resosta do roesso ontrolado é mais lenta do que a do roesso de rimeira ordem original. Além disso, onforme aumenta, a onstante de temo efetiva aumenta e a resosta se torna rogressivamente mais lenta. 6
Outras observações: - É bastante interessante examinar o efeito da ação de ontrole derivativa na resosta de um sistema de segunda ordem. Assumindo novamente que GmGf, a resosta em malha fehada ara o roblema servo é: 2 2 s 2 s y(s) + ξ + 2 2 s 2 s + ξ + ou y(s) 2 s 2 + (2ξ+ s ( s) ( s) ys(s) ys(s) )s+ a última equação observamos que: (a) O eríodo natural de osilação da resosta em malha fehada ermanee o mesmo enquanto (b) O novo fator de amorteimento ξ é dado ela equação 2ξ 2ξ+ ou seja, ξ > ξ. Logo, a resosta em malha fehada é mais amorteida e o amorteimento aumenta onforme ou aumentam. Esta araterístia leva a um omortamento mais robusto do sistema ontrolado. 5.5- Efeito de ações de ontrole omostas Embora o ontrole roorional ossa ser usado sozinho, este quase nuna é o aso ara ontrole integral ou derivativo. Ao invés disso, os ontroladores roorional integral (PI) e roorional-integral-derivativo (PI) são os usualmente emregados. 5.5.- Efeito do ontrole PI a ombinação dos modos de ontrole roorional e integral levam aos seguintes efeitos na resosta em malha fehada de um sistema: - A ordem da resosta aumenta (efeito do modo integral) 2- O offset é eliminado (efeito da ação de ontrole integral) 3- onforme aumenta, a resosta se torna mais ráida (efeito dos modos roorional e integral) e mais osilatória ara mudanças de set-oint (ou seja, o overshoot e a razão de delínio aumentam omo efeito do modo integral). Valores muito grandes de levam a resostas muito sensíveis, o que ode levar à instabilidade. 62
4- Conforme I aumenta, ara onstante, a resosta se torna mais ráida, mas também mais osilatória, om maiores overshoots e taxas de delínio (efeito do modo integral). 5.5.2- Efeito do ontrole PI Combinação dos três modos de ontrole levam a resosta em malha fehada que tem em geral as mesmas araterístias do ontrole PI. Vamos desrever então o maior benefíio introduzido ela ação de ontrole derivativa. Já vimos que a resença do ontrole integral torna a resosta em malha fehada mais lenta. Para aumentar a veloidade da resosta em malha fehada odemos aumentar o valor do ganho. Mas aumentando o sufiiente ara obtermos veloidades aeitávis, a resosta se torna mais osilatória e ode levar à instabilidade. a introdução do modo derivativo leva a um efeito estabilizante do sistema. Assim, odemos onseguir uma resosta aeitável seleionando um valor aroriado ara o ganho e ainda onseguindo manter overshoots e razões de delínio moderados. A Figura 5.8 mostra o efeito do ontrolador PI na resosta de roessos em malha fehada. Note que, embora aumente levando a resostas mais ráidas, o overshoot ermanee quase o mesmo e o temo de assentamento é menor. Ambos são resultados da ação de ontrole derivativa. Figura 5.8- Efeito do ganho na resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem om ontrole PI. 63