Duração: 90 mutos Grupo I Probabldades e Estatístca LEE, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, MEBol, MEBom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ Justfque coveetemete todas as respostas 1 o semestre 018/019 10/01/019 09:00 o teste A 10 valores 1. A varável aleatóra X represeta o úmero dáro de aálses químcas efectuadas por um pequeo laboratóro e possu fução de probabldade satsfazedo: (x + 1)(x + ) P(X x) (1 p) x p, x 0,1,,..., ode p ]0, 1[ é uma probabldade descohecda. Seja (X 1, X,..., X ) uma amostra aleatóra de X. (a) Mostre que o estmador de máxma verosmlhaça do parâmetro p, com base a amostra aleatóra (.0) referda acma, é dado por /( X + ). V.a. de teresse X úmero dáro de aálses químcas a efectuar por um pequeo laboratóro F.p. de X P(X x) (x+1)(x+) (1 p) x p, x 0,1,,... Parâmetro descohecdo p, 0 < p < 1 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dmesão proveete da população X Obteção do estmador de MV de θ Passo 1 Fução de verosmlhaça L(p x) P(X x) X dep P(X x ) X X 1 P(X x ) 1 [ ] (x + 1)(x + ) (1 p) x p ] 1 [ 1(x + 1)(x + ) 1 (1 p) 1 x p, 0 < p < 1 Passo Fução de log-verosmlhaça (caso x > 0) ll(p x) l() + l[(x + 1)(x + )] + l(1 p) x + l(p) Passo Maxmzação A estmatva de MV de p passa a ser represetada por ˆp e d ll(p x) dp 0 (poto de estacoardade) p ˆp ˆp : d ll(p x) p < 0 (poto de máxmo) dp ˆp 1 x 1 ˆp + ṋ p 0 1 x < 0 (prop. verdadera porque x 0 e > 0) (1 ˆp) ˆp 1 Pága 1 de 7
ˆp : ˆp x + ˆp 0 ˆp [ ] x ) ) ( x+) x < 0. ( 1 x+ ( x+ x+ Passo 4 Estmador de MV de λ E MV (p) X +. ( ) (b) Obteha a estmatva de máxma verosmlhaça de E(X ) 1 p 1 (x 1, x, x, x 4, x 5 ) (,,1,4,0). Estmatva de MV de p ˆp x + ++1+4+0 5 + + 0.6 baseada a cocretzação (1.5) Outro parâmetro ( ) descohecdo h(p) 1 p 1 Estmatva de MV de h(p) Ao vocar a propredade de varâca dos estmadores de máxma verosmlhaça, obtemos a estmatva de MV de h(p): h(p) h( ˆp) ( ) 1 ˆp 1 ( ) 1 0.6 1 ( ) ( ) 1 [ x pos h( ˆp) ˆp 1 1 1 x]. x+. De forma a comparar dos grupos de estudates uverstáros, cosderou-se a varável aleatóra X 1 (respetvamete X ) que represeta a altura, em cm, de estudates com actvdade físca acma da méda (respetvamete abaxo da méda). Ao selecoarem-se casualmete 0 estudates de cada um dos grupos, obtveram-se x 1 17 e x 171. Admta que X 1 e X possuem dstrbuções ormas com valores esperados µ 1 e µ descohecdos e desvos padrão cohecdos e guas a σ 1 6.4 e σ 7.. (a) Obteha um tervalo de cofaça a 95% para µ 1 µ. (.5) V.a. de teresse X 1 altura (em cm) de estudate com actvdade físca acma da méda X altura (em cm) de estudate com actvdade físca abaxo da méda Stuação dep. X ormal(µ,σ ), 1, (µ 1 µ ) DESCONHECIDO σ 1 e σ cohecdas 0 Pága de 7
Obteção do IC para µ 1 µ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para µ 1 µ Z ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ 1 + σ ormal(0, 1) [dado que se pretede determar um IC para a dfereça de valores esperados de duas populações depedetes com dstrbuções ormas e com varâcas cohecdas.] Passo Obteção dos quats de probabldade Ao ter-se em cosderação que (1 α) 100% 95%, far-se-á uso dos quats { a α Φ 1 (α/) Φ 1 (0.05) Φ 1 t abel a/calc. (1 0.05) 1.9600 b α Φ 1 (1 α/) Φ 1 t abel a/calc. (0.975) 1.9600. Passo Iversão da desgualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P P a α ( X 1 X ) (µ 1 µ ) b α 1 α σ 1 + σ [ ] σ ( X 1 X ) b α 1 + σ σ µ 1 µ ( X 1 X ) a α 1 + σ 1 α Passo 4 Cocretzação Tedo em cota que IC (1 α) 100% (µ 1 µ ) ( x 1 x ) ± Φ 1 (1 α/) σ 1 + σ e atededo aos valores dos quats acma e de, x, σ ( 1,), segue-se 6.4 IC 95% (µ 1 µ ) (17 171) ± 1.9600 0 + 7. 0 [ ± 1.9600.15407] [.197, 6.197]. (b) Cofrote as hpóteses H 0 : µ 1 µ 1 e H 1 : µ 1 µ > 1, calculado para o efeto o valor-p. (.0) V.a. de teresse e stuação Ver alíea (a). Hpóteses H 0 : µ 1 µ µ 0 1 H 1 : µ 1 µ > µ 0 Estatístca de teste T ( X 1 X ) µ 0 σ 1 + σ H0 ormal(0,1) [uma vez que se pretede efectuar um teste sobre a dfereça de valores esperados de duas populações depedetes com dstrbuções ormas e com varâcas cohecdas.] Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Estamos a ldar com um teste ulateral superor (H 1 : µ 1 µ > µ 0 ), logo a regão de rejeção de H 0 é do tpo W (c,+ ). Pága de 7
Decsão (com base o valor-p) O valor observado da estatístca de teste é gual a t ( x 1 x ) µ 0 σ 1 + σ (17 171) 1 6.4 0 + 7. 0 1.154066 0.4648 e a regão de rejeção deste teste é um tervalo à dreta. Dode valor p P(T > t H 0 ) Logo é suposto: 1 Φ(t) 1 Φ(0.46) tabel a/calc. 1 0.677 0.8. ão rejetar H 0 a qualquer.s. α 0.8%, por exemplo, a qualquer dos.u.s. (1%, 5% e 10%); rejetar H 0 a qualquer.s. α 0 >.8%. Grupo II 10 valores 1. Em determado processo dustral é crucal caraterzar a varável aleatóra X que represeta o úmero de peças mecâcas specoadas até se ecotrar uma peça defetuosa. Uma egehera mecâca defede a hpótese H 0 de que X possu dstrbução geométrca com parâmetro descohecdo p. Uma amostra aleatóra de 00 cotages do úmero de peças mecâcas specoadas até se ecotrar uma peça defetuosa coduzu à segute tabela de frequêcas: Classe 1 a 4 5 a 8 9 a 1 1 a 16 17 a 0 1 ou mas Frequêca absoluta observada 7 7 10 5 8 16 Estmatva da freq. abs. esperada sob H 0 e 1 7.57 7.7 6.99 6.71 e 6 (a) Sabedo que a estmatva de máxma verosmlhaça de p é ˆp 0.01, obteha os valores das (1.0) estmatvas e 1 e e 6 (aproxmado-as às cetésmas). V.a. de teresse X úmero de peças mecâcas specoadas até se ecotrar uma peça defetuosa F.p. cojecturada P(X x) (1 p) x 1 p, x 1,,..., ode p é uma probabldade descohecda. Estmatvas das frequêcas absolutas esperadas omssas Atededo à dmesão da amostra 00, à f.p. cojecturada, à estmatva de MV facultada ˆp 0.01 e à propredade de varâca dos EMV, temos: e 1 P(X 4 p ˆp) 4 00 (1 ˆp) x 1 ˆp 1 1 (1 ˆp)4 00 ˆp 1 (1 ˆp) 00 (1 0.99 4 ) 7.88; Pága 4 de 7
e 5 ˆP(X 1) 5 e 1 00 (7.88 + 7.57 + 7.7 + 6.99 + 6.71) 16.58. (b) Teste H 0, ao ível de sgfcâca de 5%. (.0) Hpóteses H 0 : X geométrca(p) H 1 : X geométrca(p) Nível de sgfcâca α 0 5% (p descohecdo) Estatístca de teste k (O E ) T E a H0 χ (k β 1), ode: 1 k No. de classes 6 O Frequêca absoluta observável da classe E ESTIMADOR da frequêca absoluta esperada, sob H 0, da classe β No. de parâmetros a estmar 1 [dado que p é uma probabldade descohecda.] Estmatvas das frequêcas absolutas esperadas sob H 0 De acordo com a tabela facultada e a alíea (a), as estmatvas [de MV] das frequêcas absolutas esperadas sob H 0 aproxmadas às cetésmas são: e 1 7.88; e 7.57; e 7.7; e 4 6.99; e 5 6.71; e 6 16.58. [Não é ecessáro fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verfca E 5 e que E 1 para todo o. Caso fosse precso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 0 ) teram que ser recalculados...] (k β 1) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a regão de rejeção de H 0 é o tervalo à dreta W (c,+ ), ode c F 1 (1 α χ 0 ) (k β 1) Decsão F 1 (1 0.05) χ (6 1 1) tabel a/calc. 9.488. Classe Freq. abs. obs. Estm. freq. abs. Parcelas valor obs. esp. sob H 0 estat. teste o e (o e ) e (7 7.88) 1 {1,,,4} 7 7.88 7.88 0.098 (7 7.57) {5,6,7,8} 7 7.57 7.57 0.04 {9, 10, 11, 1} 10 7.7 1.05 4 {1, 14, 15, 16} 5 6.99 0.567 5 {17, 18, 19, 0} 8 6.71 0.48 6 {1,,...} 16 16.58 0.00 k 1 o 00 k 1 e 00 t k (o e ) 1 e 1.98 Uma vez que t 1.98 W (9.488,+ ), ão devemos rejetar H 0 ao.s. de α 0 5% [em a qualquer outro.s. feror a α 0 ]. Pága 5 de 7
. Um cojuto de 0 medções depedetes coduzu aos segutes resultados referetes ao ível de pressão soora de uma fote de ruído (x, em db) e ao aumeto da tesão arteral de um dvíduo causado pela exposção a esta fote de ruído (Y, em mm Hg): 0 1 x 1646, 0 1 x 18476, 0 1 y 86, 0 1 y 494, 0 1 x y 7594, ode [ m,...,0 x, max 1,...,0 x ] [60, 100]. (a) Cosdere o modelo de regressão lear smples de Y em x e determe a estmatva de mímos (.0) quadrados do valor esperado do aumeto da tesão arteral de um dvíduo exposto a um ruído com ível de pressão soora de 110 db. Estmatva de MQ de E(Y x) β 0 + β 1 x com x 110 Dado que 0 1 x 1646 1 x 1646 0 8. x 1 1 x 18476 1 x ( x) 18476 0 8. 010. 1 y 86 ȳ 1 y 86 0 4. 1 y 494 1 y (ȳ) 494 0 4. 14. 1 x y 7594 1 x y x ȳ 7594 0 8. 4. 516., as estmatvas de MQ de β 1, β 0 e β 0 + β 1 x são, para este modelo de RLS, guas a: ˆβ 1 1 x y xȳ 1 x ( x) 516. 010. 0.171484 ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 4. 0.171484 8. 9.811 ˆβ 0 + ˆβ 1 x 9.811 + 0.171484 110 9.050107. [Cometáro Estamos a cometer um erro de extrapolação ao estmar potualmete E(Y x) β 0 + β 1 x uma vez que x 110 [m,..., x, max 1,..., x ] [60, 100].] (b) Após ter eucado as hpóteses de trabalho que eteder coveetes, cofrote H 0 : β 1 0. e (.0) H 1 : β 1 0., ao ível de sgfcâca de 10%. Hpóteses de trabalho ɛ..d. Normal(0,σ ), 1,..., Hpóteses H 0 : β 1 β 1,0 0. H 1 : β 1 β 1,0 Pága 6 de 7
Nível de sgfcâca α 0 10% Estatístca de teste T ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 1 x x H0 t ( ) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Estamos a ldar com um teste blateral (H 1 : β 1 0.), logo a regão de rejeção de H 0 é do tpo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejetar H 0 H 0 ) α 0,.e., c F 1 t ( ) (1 α 0 /) F 1 t (0 ) (1 0.10/) F 1 t (18) (0.95) tabel a/calc. 1.74. Decsão Atededo aos valores [( obtdos em ) (a), assm como o de ˆσ 1 y ȳ ( ( )] ) ˆβ1 x x 1 1 1 ( 14. 0.171484 010. ) 0 1.9809, o valor observado da estatístca de teste é gual a t ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 1 x x 0.171484 0. 1.9809 010. 1.11150. Como t 1.11150 W (, 1.74) (1.74,+ ) ão devemos rejetar H 0 ao.s. de 10% [em a qualquer.s. feror a 10%]. (c) Calcule e terprete o valor do coefcete de determação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coefcete de determação ( r 1 x y x ȳ ) ( 1 x x) ( 1 y ȳ ) 516. 010. 14. 0.7170. Iterpretação coefcete de determação Cerca de 71.% da varação total da varável resposta Y é explcada pela varável x, através do modelo de regressão lear smples ajustado, dode possamos afrmar que a recta estmada parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Pága 7 de 7