Funções de Várias Variáveis (FVV UFABC, 2019-Q1 Peer Hazard Prova 1 B 19:00hs, 25 de março, Sala A002, Bloco Bea, SBC Duração: 90 minuos Aviso: É erminanemene proibido consular qualquer maerial ou colega, e é proibido usar o celular, calculador ou aparelhos semelhanes. Não é permiido sair durane o primeiro 15 minuos ou o úlimos 15 minuos da prova. Escreva seu nome e número em odas as folhas usadas. BOA SORTE! (1 (2.0 ponos Deermine o ie, se exisir, ou mosre que não exise (jusifique!: 5x 4 +x 3 y +5y 3 x+y 4 x 3 +y 3. (2 (3.0 ponos Seja f(x,y { xy 2 x 3 2x 2 +y 4 x 0 0 x 0 (a Deermine se f é conínua no pono P (0, 0. (b Deermine para quais veores v R 2, a derivada v f(0,0 exise. (c Deermine se f é derivável no pono P (0, 0, i.e., f em derivada oal no pono P. Enão deermine se ambas as xy f e yx f são conínuas em (0,0. Mosrar odas as conas an jusificar as resposas. (3 (3.0 ponos Seja f(x,y { xy x2 +2y 2 6x 2 +5y 2 (x,y (0,0 0 (x,y (0,0 (a Deerminar o conjuno da coninuidade de f. (b Calcular x f e y f onde exisirem. Deerminar onde as funções x f e y f são conínuas. Deerminar o conjuno da derivabilidade de f. (c Calcular xy f(0,0 e yx f(0,0, se exisem. Mosrar odas as conas an jusificar as resposas. (4 (2.0 ponos Deermine a aproximação linear da função f(x,y 21+4x 2 y 2 no pono (1, 3 e use-a para calcular aproximadamene f(0.93, 2.99. 1
Gabario (1 Como emos que 5x 4 +x 3 y +5y 3 x+y 4 (x 3 +y 3 (5x+y 5x 4 +x 3 y +5y 3 x+y 4 (x 3 +y 3 (5x+y x 3 +y 3 x 3 +y 3 (1 (5x+y (2 5 x+ y (3 0 (4 (2 (a Para 0, Porano, Também, para 0, x0 f(0, 0 2 0 3 2 0 2 + 4 0 (5 f(x,y f(0, 0. (6 f( 2, (2 2 ( 2 3 2( 2 2 + 4 4 (1 2 3 4 1 2 3 (7 Porano, xy 2 f(x,y f( 2, 1 3. (8 Enão, como emos dois ies diferenes ao longo dois caminhos diferenes erminando no pono (0,0, f não é conínuo no pono (0,0. (b Seja v (v 1,v 2 R 2, v (0,0. (v 1 0. Enão, para 0, 1 [0 0] 0 (9 implica que v f(0,0 (v 1 0. Enão, para 0, 1 [ (v1 (v 2 2 (v 1 3 2(v 1 2 +(v 2 4 0, i.e., v f(0,0 exise. ] 0 1 3 (v 1 v2 2 v3 1 2 (2v1 2 +2 v2 4 v 1v2 2 v3 1 2v1 2 +2 v2 4 (10 Como (v 1 v2 2 v3 1 v2 1 v 2 v1 3 e (2v1 2+2 v2 4 2v2 1 0, a regra do quociene para ies (Noas 3, p3 implica que v f(0,0 v 1 v 2 2 v3 1 2v 2 1 v2 2 v2 1 2v 1, i.e., v f(0,0 exise. 2
(c (Corrigenum: Não precisa deerminar se xy f e yx f são conínuas A úlima frase foi um erro ipográfico. A função f não é derivável no pono (0,0 porque ela não é coninua no pono (0,0. (Lembre-se, das aulas, a seguine Teorema : Se f em derivada oal no pono P, enão f é conínua no pono P. (3 (a Como a numerador e denominador de f num pono P (x 0,y 0 (0,0 são polinômios, e porano são conínuas em R 2, emos que (x,y (x 0,y 0 xy( x2 +2y 2 x 0 y 0 ( x 2 0 +2y2 0 (x,y (x 0,y 0 (6x2 +5y 2 6x 2 0 +5y2 0. (11 Observe-se que 6x 2 0 + 5y2 0 0 se somene se (x 0,y 0 (0,0. Enão, a regra do quociene para ies, para P (x 0,y 0 (0,0, xy( x 2 +2y 2 (x,y (x 0,y 0 6x 2 +5y 2 x 0y 0 ( x 2 0 +2y2 0 6x 2 0 +5y2 0 (12 ou seja (x,y (x0,y 0 f(x,y f(x 0,y 0 e f é coninua em (x 0,y 0. Enão, só precisamos deerminar se f é conínua em (0, 0. Observe-se que, pela desigualdade de riângulo x 2 +2y 2 x 2 +2 y 2 6 x 2 +5 y 2 6x 2 +5y 2 (13 (A úlima igualdade vale porque odas as ermas são posiivas. Enão, para (x,y (0,0, x2 +2y 2 1. Também, 6x 2 +5y 2 xy 0. A regra do produo para ies e a eorema do confrono implica que 0 xy xy( x 2 +2y 2 6x 2 +5y 2 + xy 0 (14 i.e., f(x,y 0 f(0,0, ou seja, f é coninuo no pono (0,0. Enão f é conínuo em R 2. (b Consideramos as derivadas parciais da primeira ordem no pono (x, y (0, 0: Seja h 0. Enão f(0+h,0 f(0,0 1 [h 0 h2 +2 0 2 ] h h 6 h 2 +5 0 2 0 0 (15 implica que x f(0,0 h 0 0 0. Similarmene, seja k 0. Enão f(0,0+k f(0,0 k 1 [0 k 02 +2k 2 ] k 0 k 6 0 2 +5 k 2 0 0 (16 implica que y f(0,0 k 0 0 0. Próximo, consideramos as derivadas da primeira ordem num pono (x, y (0, 0: A regra do produo para funções num variável implica que x f(x,y x (xy x2 +2y 2 6x 2 +5y 2 +xy x 3 ( x 2 +2y 2 6x 2 +5y 2 (17
e a regra de cadeia em um variável implica que y x2 +2y 2 +5y 2 ( x 2 +2y 2 (2 6x 6x 2 +5y 2 +xy( 2x(6x2 (6x 2 +5y 2 2 (18 [ ( x 2 +2y 2 (6x 2 +5y 2 2x 2 (6x 2 +5y 2 2 6x 2 ( x 2 +2y 2 ] y (6x 2 +5y 2 2 (19 [ ( x 2 +2y 2 ( 6x 2 +5y 2 2x 2 (6x 2 +5y 2 ] y (6x 2 +5y 2 2 (20 Similarmene, a regra do produo para funções num variável implica que y f(x,y y (xy x2 +2y 2 ( x 2 6x 2 +5y 2 +xy +2y 2 y 6x 2 +5y 2 (21 e a regra de cadeia em um variável implica que x x2 +2y 2 +xy(2 2y(6x2 +5y 2 ( x 2 +2y 2 (2 5y 6x 2 +5y 2 (6x 2 +5y 2 2 (22 [ ( x 2 +2y 2 (6x 2 +5y 2 +2 2y 2 (6x 2 +5y 2 2 5y 2 ( x 2 +2y 2 ] x (6x 2 +5y 2 2 (23 [ ( x 2 +2y 2 (6x 2 5y 2 +2 2y 2 (6x 2 +5y 2 ] x (6x 2 +5y 2 2 (24 (c Para k 0, x f(0,0+k x f(0,0 k 1 [ k ( 02 +2k 2 ( 6 0 2 +5 k 2 2 0 2 (6 0 2 +5 k 2 ] k (6 0 2 +5 k 2 2 0 Enão yx f(0,0 k 0 2 5 2 5. Similarmene, para h 0, y f(0+h,0 y f(0,0 h 1 [ h ( h2 +2 0 2 (6 h 2 5 0 2 +2 2 0 2 (6 h 2 +5 0 2 ] h (6 h 2 +5 0 2 2 0 (2k2 (5k 2 (5k 2 2 (25 (26 ( h2 (6h 2 (6h 2 2 1 Enão xy f(0,0 h 0 6. Como xyf(0,0 yx f(0,0, o Teorema de Clairau-Schwarz implica que ambas as derivadas parciais xy f e yx f não podem ser conínuas no pono (0,0. 6 1 (4 (f é de classe C 1 no pono (1,3. Primeiro, f ém a forma f g h onde g( e h(x,y 21+4x 2 y 2. A função g é conínua em [0, e C 1 em (0,. A função h é C 1 em R 2 (porque ela é polinômio. Porano f é conínuo em {21+4x 2 y 2 0}. 4
Pela regra de cadeia em um variável, para odos os ponos (x,y {21+4x 2 y 2 > 0}, ( x f(x,y x 21+4x 2 y 2 d d ( d ( 21+4x 2 y 2 (27 21+4x 2 y dx 2 ( 1 2 1/2 (4 2x (28 21+4x 2 y 2 4x 21+4x 2 y 2 (29 ( y f(x,y y 21+4x 2 y 2 d d ( d ( 21+4x 2 y 2 (30 21+4x 2 y dy 2 ( 1 2 1/2 ( 2y (31 21+4x 2 y 2 Observe-se que as funções 4x, y e y 21+4x 2 y 2 (32 21+4x 2 y 2 (33 são conínuas no conjuno{21+4x 2 y 2 > 0}. (Como as primeiras duas funções são polinômios, e enão são conínuas em R 2, e a úlima é f, que pela acima é conínua no conjuno {21 + 4x 2 y 2 0}. Pelo eorema que disse que se as funções F e G são conínuas em P, G(P 0, enão o quociene F G é conínuo em P, as derivadas parciais xf e y f são conínuas em qualquer pono P {21+4x 2 y 2 > 0}. Como f(1,3 21+4 1 2 1 3 2 16 4 0, (34 e como (1,3 {21+4x 2 y 2 > 0}, sabemos que f é conínua em (1,3, em derivadas parciais da primeira ordem em (1,3, e as derivadas são conínuas em (1,3. Ou seja, f é C 1 no pono (1, 3, que implica que a derivada oal de f exise no pono (1, 3 (eorema nas aulas. Enão a aproximação linear de f exise no pono (1,3. (Aprox. linear de f em (1, 3. Pela acima x f(1,3 y f(1,3 4 1 21+4 1 2 3 2 4 4 1 Porano a aproximação linear de f no pono (1, 3 é 1 3 21+4 1 2 3 2 3 4. (35 e f(1,3+ x f(1,3h+ y f(1,3k 4+h 3 4 k (36 f(1.0 0.07,3.0 0.01 f(1,3+ x f(1,3( 0.07 + y f(2,1( 0.01 (37 4+1 7 100 + 3 4 1 100 (38 4+ 28+3 400 4 1 16 (39 (40 5