Sistemas de Numeração IFSULDEMINAS Campus Inconfidentes Curso Técnico em Infomática Disciplina: Fundamentos de Informática Prof. Maria de Fátima de Freitas Bueno Marcílio
Introdução Um sistema de numeração é um sistema que permite a representação de números através da utilização de certos símbolos (algarismos/dígitos). Algarismos Arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Os sistemas de numeração são úteis aos sistemas computacionais, servindo para questões de representação de endereçamento, armazenamento, processamento e transmissão de dados.
Bit (simplificação para dígito binário, "BInary digit" em inglês) menor unidade de dados que um computador pode processar, armazenar ou transmitir. 0 ou 1 Nibble conjunto de 4 bits Byte conjunto de 8 bits.
Algumas Bases Binária (2) 0, 1 Octal (8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Decimal (10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Hexadecimal (16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, e o sistema de numeração binário é adequado para representá-los. As bases Octal e Hexadecimal (múltiplos de 2 e 8) são também especialmente interessantes aos Sistemas Computacionais, pois permitem uma representação mais compacta dos números tratados.
Representação nas bases 101101 2-101101 na base 2 (binária) 752 8-752 na base 8 (octal) 651-651 na base 10 (decimal) Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado como: 651 10 423 16-423 na base 16 (hexadecimal)
Base Decimal (10) 7484 7484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4 7484 = 7 X 10 3 + 4 X 10 2 + 8 X 10 1 + 4 X 10 0 Representação em polinômio genérico Número = d n 10 n + d n-1 10 n-1 +... d 1 10 1 + d 0 10 0 Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.
Base Binária (2) Representação de binário na base 10 1101001 2 1101001 2 = 1 x 2 6 + 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 1101001 2 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 1101001 2 = 105 10 Representação em polinômio genérico Número = b n 2 n + b n-1 2 n-1 +... b 1 2 1 + b 0 2 0
Base Binária (2) Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2. A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1. Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2.
Base Binária (2) Notamos, que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito. O algarismo menos significativo (base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.
Base Binária (2) Exemplo: Converter o número 001110 2 em decimal. Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos: 001110 2 = 1110 2 1110 2 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 1110 2 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 10 Exemplo: Converter o número 101010 2 em decimal. 101010 2 = 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 101010 2 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42 10
Base Octal (8) Há uma relação especial entre o sistema octal e o sistema binário que reside no fato de que três dígitos binários representarem oito (2 3 ) números distintos. Esta relação permite efetuar conversões entre estes sistemas de forma quase imediata como veremos adiante. Na conversão do sistema octal para o decimal, utilizase o conceito básico de formação de um número já explicado anteriormente.
Base Octal (8) Representação de octal na base 10 54621 8 54621 8 = 5 x 8 4 + 4 x 8 3 + 6 x 8 2 + 2 x 8 1 + 1 x 8 0 54621 8 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 54621 8 = 22929 10 Representação em polinômio genérico Número = o n 8 n + o n-1 8 n-1 +... o 1 8 1 + o 0 8 0
Base Hexadecimal (16) Este sistema é bastante utilizado em microcomputadores tanto em hardware como em software. Na conversão do sistema hexadecimal para o decimal, novamente usa-se o conceito básico de formação de um número já explicado.
Base Hexadecimal (16) Representação de hexadecimal na base 10 39741 16 39741 16 = 3 x 16 4 + 9 x 16 3 + 7 x 16 2 + 4 x 16 1 + 1 x 16 0 39741 16 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 39741 16 = 235329 10 Representação em polinômio genérico Número = h n 16 n + h n-1 16 n-1 +... h 1 16 1 + h 0 16 0
Base Hexadecimal (16) Exemplificando... Converter 2D 16 em decimal. 2D 16 = 2 x 16 1 + 13 x 16 0 2D 16 = 32 + 13 2D 16 = 45. Converter 1C3 16 em decimal. 1C3 16 = 1 x 16 2 + 12 x 16 1 + 3 x 16 0 1C3 16 = 256 + 192 + 3 1C3 16 = 451 10.
Exercícios Propostos Converta para o sistema decimal a) 1100010 2 b) 0111100 2 c) 10000100110 2 d) 101011000110 2 e) 431 8 f) 752 8 g) 177 8 h) 536 8 i) 20F 16 j) 4BE 16 k) 100A 16 l) 9F0 16
Conversão Decimal Outra base Consiste em dividir sucessivamente pela base desejada o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja 0. O resultado é a sequência de baixo para cima de todos os restos obtidos.
Conversão Decimal Binário 715 _2_ 1 357 _2_ 715 = 1011001011 1 178 _2_ 2 0 89 _2_ 1 44 _2_ 0 22 _2_ 0 11 _2_ 1 5 _2_ 1 2 _2_ 0 1 _2_ 1 0
Conversão Decimal Octal 715 _8_ 3 89 _8_ 1 11 _8_ 3 1 _8_ 1 0 715 = 1313 8
Conversão Decimal Hexadecimal 715 _16_ 11 44 _16_ 12 2 _16_ 2 0 715 = 2CB 16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
Conversão Binário Decimal 1011001011 2 = 1+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 715 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 0 x 2 4 = 0 0 x 2 5 = 0 1 x 2 6 = 64 1 x 2 7 = 128 0 x 2 8 = 0 1 x 2 9 = 512
Conversão Octal Decimal 1313 8 = 3+8+192+512 = 715 3 x 8 0 = 3 1 x 8 1 = 8 3 x 8 2 = 192 1 x 8 3 = 512
Conversão Hexadecimal Decimal 2CB 16 = 11+192+512 = 715 B x 16 0 = 11 x 16 0 = 11 C x 16 1 = 12 x 16 1 = 192 2 x 16 2 = 512
Outras Conversões Binário Octal; Binário Hexadecimal; Octal Binário; Hexadecimal Binário; Octal Hexadecimal; Hexadecimal Octal.
Conversão Binário Octal 1011001011 2 1313 8 1 011 001 011 2 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = 1 0 x 2 1 = 0 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = 1 1 + 2 + 0 = 3 1 + 2 + 0 = 1 1 + 2 + 0 = 3 1 + 0+ 0 = 1
Conversão Binário Hexadecimal 1011001011 2 Segue o mesmo princípio da conversão de binário para octal, só que agora agrupando de quatro em quatro bits. 10 1100 1011 0 + 0 + 2 + 0 = 2 8 + 4 + 0 +0 = 12 8 + 0 + 2 + 1 = 11 2 C B 16
Conversão Octal Binário Simplesmente pega-se cada algarismo na base Octal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, representado-se cada um dos algarismos da base Octal com três bits, mantendo-se a ordem original (operação inversa à conversão de Binário para Octal): 1313 8 1 011 001 011 2
Conversão Hexadecimal Binário Da mesma forma, simplesmente pega-se cada algarismo na base Hexadecimal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, só que agora representado-os com quatro bits (operação inversa à conversão de Binário para Hexadecimal): 2CB 16 10 1100 1011 2
Exercícios Propostos Converta para o sistema binário a) 144 10 b) 301 10 c) 72 10 d) 231 10 e) 167 8 f) 444 8 g) 7011 8 h) 1010 8 i) 202 16 j) F16 16 k) AA0B 16 l) D99F 16 m) C79 16 n) 200B 16
Demais Conversões Octal Hexadecimal; Hexadecimal Octal. Fica como Exercício Dica: é necessária a conversão intermediária para uma base comum, binária, ou decimal Escolha a mais simples
Exercícios Realize as conversões 102201102 3 a) em decimal b) em binário c) em sistema base 9 167 10 a) em sistema ternário b) em sistema base 9 c) em binário