FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 5.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 04/05/07 É permitido o uso de calculadora gráfica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão
. Considere as funções reais de variável real, f e g, definidas por: e gx f x x x (0).. Indique, justificando, qual é o valor de g f. (A) (B) (C) (D) Temos g f g f e Assim, g f g f A (5).. Determine, analiticamente, o domínio de cada uma das funções. Em f, como a variável está no radicando, temos Df x : x 0 A inequação o polinómio Zeros: x 0 resolve-se por uma tabela de sinais, depois de calcular os zeros e fatorizar x. x 0 x x Assim, x x x Portanto, Nota: também se podia usar a fórmula da diferença de quadrados. x x 0 + x 0 + + + x + 0 0 + x 0 x,, Logo, Df,, Em g, como a variável está no denominador, temos Dg x : x 0 \ (0).. Estude a função f quanto à injetividade. f é injetiva sse a,b Df, f a f b a b Usando a definição f a f b a b a a ba b 0 b a b a b 0 a b 0 a b 0 a b a b Como objetos simétricos também têm a mesma imagem ( a b), a função é não injetiva. Outro processo: Usando um contraexemplo (só serve porque a função é não injetiva) f é injetiva sse a,b Df, a b f a f b f 0 Temos f 0 e Logo, como e f f a função é não injetiva. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão
(0).4. Seja h a restrição da função f ao conjunto A,,,, isto é, h f A. Determine o gráfico de h, G h. O gráfico de h é o conjunto dos pares ordenados x, f x, em que xa,,, Temos, h f 0 h h f f f h 4 Assim, G h, 0,,,,,, (5).5. Mostre que a função g é bijetiva e caracterize a sua função inversa. g é bijetiva y C.C., ' x \ : y g x y g x y x xy y xy y Assim, para todo o y 0, a equação y x y x tem uma única solução. y x y Portanto, g é bijetiva. Ou, mostrar que g é injetiva e sobrejetiva. g a g b a b b a b a b a g é sobrejetiva y, x \ : y g x De acordo com os cálculos anteriores, temos Temos também,, tal como feito acima g x x 0 e D' g Dg \ Dg \, logo g é injetiva. No referencial cartesiano da figura seguinte encontra-se uma representação gráfica da função real de variável real, f. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão
(0).. Indique o domínio e o contradomínio de f. Temos, Df 4, D' f,. (0).. Indique os intervalos de monotonia de f. f é crescente em 4, e, f é decrescente em, f é constante em, (5).. Indique todos os extremos de f, absolutos de relativos, e respetivos minimizantes e maximizantes. Mínimo absoluto: y e minimizante x 4 Máximo absoluto: não tem Mínimos relativos: y para x 4; y 0 para x ; Máximos relativos: y para x, y para x, (0).4. Diga, justificando, quantos zeros tem a função g definida por g x f x. (A) Nenhum (C) Dois (B) Uma infinidade (D) Três Como o gráfico da função g se obtém do gráfico de f através de uma reflexão de eixo Oy, os zeros (- e -) de f passam aos seus simétricos ( e ); De seguida, o gráfico de f x desce uma unidade, passando a ter zeros em, Portanto, g tem uma infinidade de zeros. Outro processo: Opção B. gx 0 f x 0 f x x x, x x,. No referencial cartesiano da figura do lado está representada um função f, de domínio, e contradomínio 66,. (0).. Indique, justificando, o valor lógico da proposição: A função f não é par nem é ímpar. A função não é par, pois o gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo Oy. A função é ímpar, pois o gráfico de f é simétrico em relação à origem do referencial (ou em relação aos dois eixos). Assim, a proposição dada é FALSA, pois V F F. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/8 Versão
(0).. Sendo a, b um ponto do gráfico de f, diga, justificando, qual dos pontos seguintes pertence necessariamente ao gráfico da função g definida por g x f x (A) a, b (B) a, b a a (C),b (D), b O ponto a, b sofre, sucessivamente, as seguintes transformações:.º uma contração horizontal, de fator ½, através de y f x.º uma reflexão de eixo Ox, através de y f x.º uma translação vertical de vetor 0 Portanto, só a opção D está correta. v,, através de. a, passando a,b ; a, passando a, b ; a y f x, passando a, b (0).. Determine, apresentando todos os raciocínios efetuados, o domínio e o contradomínio da função h definida por hx f x Sabemos que Dh Df x Como Df,., pois depende das transformações que afetam os objetos. temos x Dh x Df x 4 x 0 Portanto, Dh 40, O contradomínio de h depende das transformações que afetam as imagens de f. Assim, como D' f x D' f x 6, 6, temos: 6 f x 6 6 f x 6 6 f x 6 hx Logo, D' h 57, 5 7 (0).4. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f.. Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função i definida por ix f x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/8 Versão
O gráfico de f sofre, sucessivamente, as seguintes transformações:.º uma translação horizontal, para a direita, de vetor v 0,, através de y f x ;.º uma contração vertical de fator ½, através de y f x Portanto, só a opção C está correta. ; 4. Na figura abaixo está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV]. Fixado um referencial ortonormado, sabe-se que: A base da pirâmide está contida no plano de equação y 4; O ponto D pertence ao eixo das ordenadas; A aresta [AD] está contida no plano xoy; O vértice V da pirâmide tem coordenadas,,. (0) 4.. Justifique que o ponto B tem coordenadas 4, 4, 4. Como a base [ABCD] está no plano de equação y 4, todos os seus pontos têm ordenada -4. Assim, o ponto D, que está no eixo das ordenadas, tem coordenadas Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/8 Versão 0, 4, 0. Também sabemos que a projeção ortogonal do vértice V sobre a base da pirâmide é o ponto E de coordenadas, 4,. Assim, DE E D, 4, 0, 4, 0, 0, 4 0 4 4 4 B E DE,,,,,, ou B D DE Portanto, o ponto B tem coordenadas e 4, 4, 4.
(5) 4.. Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta BV com o plano xoz. O plano xoz tem equação y 0. Assim, as coordenadas do ponto procurado são da forma a, 0,c. Determinemos uma equação vetorial da reta BV: Sendo BV V B,, 4, 4, 4, 6,, uma equação vetorial de BV é 6 x,y,z,, k,,, k Assim, substituindo vem a, 0,c,, k, 6, a, 0,c k, 6k, k a k 0 6k c k 6k a k c Portanto, a reta BV interseta xoz no ponto de coordenadas 8 a k 8 c, 0, 8 8 (0) 4.. Escreva a condição que define a esfera de diâmetro [BV]. A esfera tem centro no ponto médio de [BV] e raio 4 4 4 Temos, M,,,, Como BV, 6, feito acima, vem. BV r (ou r MV ). r BV BV 6 4 6 4 44 Assim, a esfera é definida por x y z 44 x y z, isto é, (0) 4.4. Diga, justificando, qual das condições seguintes define o segmento de reta BC. (A) x 0 x 4 (B) 0 x 4 y 4 z 4 (C) 0x 4 (D) y 4 z 4 Temos B 4, 4, 4 e C 0, 4, 4. Assim, como BC é paralelo a Ox, as ordenadas e cotas são constantes e as abcissas vairam entre 0 e 4. Portanto, 0 x 4 y 4 z 4 opção B Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/8 Versão
(0) 5. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A Seja f : uma função ímpar e seja g: uma função par. Mostre que g f é uma função par. Sabemos que: f é ímpar, isto é, x, f x f x g é par, isto é, x, g x g x Queremos mostrar que g f é par, ou seja, x D, g f x g f x Assim, g f x = g f x = g f x = g f, por definição da composta de g com f, porque f é ímpar g f x, porque g é par = g f x c.q.m. Nota: g f = x : x f x = x : x cond.universal D x : x Df f x Dg = 5.B Seja g: uma função afim estritamente decrescente. Mostre que g Sabemos que a função g é da forma Temos de provar que a função também é uma função afim estritamente decrescente. g g x ax b, com a 0, pois é decrescente. também tem declive negativo. Determinemos a expressão algébrica da inversa de g. Assim, Logo, y ax b y b ax y b x a b x y a a b g x x é uma função afim e tem declive negativo, pois se a 0 então 0 a a a. g é uma função afim estritamente decrescente. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 8/8 Versão