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Capítulo Introdução Com a nova geração dos sstemas de comuncação wreless uma análse mas rgorosa e efcente de novos elementos rradadores (antenas) das mas varadas geometras será necessára para garantr a esses sstemas um melhor desempenho. Inúmeras técncas de análse e síntese são empregadas para analsar dversos tpos de antenas com geometras complexas [-6]. Em consenso geral o que se deseja com essas geometras de certa forma complexas é permtr que o rradador tenha suas dmensões reduzdas podendo operar em duas ou mas bandas de freqüêncas (antenas multbandas) e ter suas característcas de rradação (dretvdade ganho efcênca etc...) otmzadas. Dentre as técncas de análse se destacam: As técncas que utlzam funções de Green [7-8] os modelos de lnha de transmssão [9] os modelos de cavdade [0] o método das dferenças fntas no domíno do tempo (método FDTD) em coordenadas cartesanas [] dentre outras []. Com relação à técnca de síntese mas usada atualmente tem-se o algortmo genétco []. As técncas de análses referencadas acma são mutas vezes lmtadas ao sstema de coordenadas cartesanas ou mesmo as própras lmtações do método utlzado para uma análse completa desses rradadores. Dessa manera a déa de se desenvolver um códgo que possa fazer a análse de banda larga destes tpos de rradadores em superfíces curvas (Fg..) ou com suas orentações espacas não concdentes com as coordenadas do sstema cartesano (Fg..) nos motvou à pesqusa do método FDTD em coordenadas geras. Um dos mas promssores métodos de análse no domíno do tempo é o método das dferenças fntas no domíno do tempo. Tal método fo ncalmente ntroduzdo por Yee em 966 [4] na solução de problemas de valor de contorno envolvendo as equações de Maxwell para meos sotrópcos. Apesar da smplcdade e elegânca do algortmo FDTD ele não despertou muto nteresse medatamente após sua publcação. Os motvos estavam relaconados ao alto custo computaconal (para aqueles das) e algumas lmtações nerentes da publcação orgnal tal como a smulação das equações dferencas no domíno dscreto a um período restrto de tempo na análse de estruturas abertas pos naquela época não hava nenhuma técnca
de condção de contorno absorvente [5]. Contudo com o surgmento de computadores cada vez mas velozes e com a mplementação de algortmos mas efcentes o nteresse pelo método aumentou. Fg.. Antena de mcrofta retangular em um substrato curvado.
z x y (a) y y Lnha de mcrofta θ s W f x Slot d L x s W s Lnha de mcrofta z (b) ε r h Slot x (c) Fg.. (a) Antena slot almentada por uma lnha de fta; (b) vsta de topo; (c) vsta de lado.
O método FDTD fo ncalmente usado para analsar o espalhamento de ondas eletromagnétcas por objetos [6]. Mas tarde após o desenvolvmento de técncas para nclur fontes dentro do domíno computaconal o método fo usado para analsar estruturas rradantes [6]. Desde a prmera utlzação do método FDTD na análse de antenas smples a antena monopolo clíndrca e a antena cônca [7] até os das de hoje houve uma grande evolução nas técncas numércas e o surgmento de novas gerações de computadores que permtram com que o método FDTD pudesse ser utlzado na análse de estruturas complexas. Dentre as novações das técncas numércas pode-se ctar: As condções de contorno absorvente a Perfectly Matched Layer ou PML proposta ncalmente por Berenger [8] e o algortmo FDTD em coordenadas não ortogonas [9-5] etc e em meo ao desenvolvmento computaconal podemos ctar a arqutetura de computadores em paralelo ou arqutetura cluster [6-8]. Na maora dos casos prátcos as estruturas a serem analsadas possuem geometras de dfícl modelagem medante o uso do sstema de coordenadas retangulares. Neste caso as aproxmações por starcasng provocam erros que mutas vezes levam a resultados nacetáves não mportando o quanto a malha seja refnada para resolver o problema de contorno [5]. Para resolver este problema o uso do sstema de coordenadas curvlíneas geras mostra-se ser mas adequado para a modelagem de tas estruturas. O objetvo desta tese é o desenvolvmento de um códgo computaconal para a solução de problemas de rradação e de espalhamento eletromagnétco em -D e -D. Este códgo fo escrto para ser executado em ambente de processamento paralelo ou seral. Para sso uma formulação aproprada do problema fo desenvolvda partndo-se das equações de Maxwell as quas serão escrtas em um sstema de coordenadas geras e resolvdas numercamente medante o uso do método FDTD-VETORIAL. Em face da necessdade de se lmtar à regão de análse condções de contorno absorventes (ABC) apropradas foram mplementadas. Neste trabalho também foram analsadas as condções de dspersão e establdade da técnca proposta. Para valdar o códgo computaconal desenvolvdo város problemas dsponíves na lteratura foram resolvdos e os resultados obtdos serão então comparados. A efcênca do novo códgo fo analsada através do tempo de processamento e/ou do espaço de memóra requerdo para encontrar determnados parâmetros como por exemplo à mpedânca de entrada de uma antena. Em todos os casos compararam-se os resultados obtdos por este códgo 4
com aqueles encontrados medante o uso do método FDTD em coordenadas retangulares e com resultados dsponíves na lteratura. A metodologa que será utlzada neste trabalho basea-se no trabalho desenvolvdo por Stratton [9] na qual as equações de Maxwell foram escrtas em um sstema de coordenadas curvlíneas geras. A formulação proposta por Stratton fo então estendda e aplcada para um sstema de coordenadas curvlíneas rregulares consderando-se meos ansotrópcos unaxas.. Método FDTD não ortogonal Com o objetvo de representar de forma mas precsa os contornos físcos de problemas que não se adaptam ao sstema de coordenadas cartesanas utlzadas pelo método FDTD (convenconal) númeras varações do método FDTD usando malhas adaptáves têm sdo propostas em [5] [5]. Alguns dos esquemas mplementam uma deformação local no grd ortogonal unforme próxmo do contorno rregular. Tas esquemas são classfcados genercamente como modelos de subcélulas. Um excelente resumo versando sobre o assunto é encontrado em [5]. A ncorporação de grd não ortogonal no método FDTD fo ncalmente proposto por Holland [0] que utlzou um esquema FDTD não ortogonal baseado em um sstema de coordenadas curvlíneas global. Esta técnca é denomnada FDTD não ortogonal global ou GNFDTD. Nesse método a formulação de Stratton [9] fo utlzada para resolver numercamente as equações de Maxwell na forma dferencal. Contudo a técnca GNFDTD tem aplcações lmtadas porque é necessáro um sstema de coordenadas que seja analtcamente descrto em uma base global [5]. Posterormente Fusco em [] desenvolveu as equações de Maxwell na forma dscretzada para um sstema de coordenadas curvlíneas não ortogonas locas. Este método é mas versátl que o método GNFDTD mas requer o desenvolvmento e aplcação de software de geração de grd generalzado para dscretzar a regão de análse. Lee et al. [] estenderam o trabalho de Fusco para três dmensões e demonstraram o crtéro de establdade do método. Esse algortmo fo desenvolvdo partndo-se das equações de Maxwell na forma ntegral. 5
Vale ressaltar que todos os métodos referencados acma estão baseados no trabalho ponero desenvolvdo por Stratton os quas requerem um grd estruturado onde às faces das células são quadrláteros. Em uma outra lnha está o método FDTD não ortogonal que utlza malha não estruturada. Geralmente utlza-se esse método em problemas envolvendo contornos complexos onde há dfculdades para dscretzar precsamente o contorno usando malhas estruturados. Esse método não será tratado nesta proposta contudo um resumo de tal técnca pode ser encontrado em [5] [6] e [6].. Dsposção dos capítulos Este trabalho está dvddo em 6 capítulos e quatro Apêndces A B C e D. Os assuntos abordados em cada parte da tese são dvddos como segue. No APÊNDICE A o sstema de coordenadas não ortogonas é apresentado. Neste momento os vetores untáros e os vetores recíprocos são defndos. Obtêm-se então os elementos dferencas de arco área e volume assm como a representação dos operadores dferencas como o gradente o dvergente e o rotaconal. No APÊNDICE B mostra-se que o operador nabla pode ser representado por uma forma smbólca para que a solução da equação de onda vetoral seja obtda de forma dreta. No APÊNDICE C obtém-se a equação de dspersão numérca para um tpo partcular de malha. No APÊNDICE D mostra-se como se obtém os parâmetros dependentes da freqüênca a partr da voltagem obtda nos termnas da antena analsada. No APÊNDICE E mostram-se partes do códgo LN-FDTD para a análse de espalhamento eletromagnétco por clndro delétrco. No Capítulo o método FDTD em coordenadas curvlíneas locas (LN-FDTD) será ntroduzdo. Serão apresentados os concetos de células prmáras e secundáras assm como os vetores covarantes e contravarantes. As equações de atualzação para as componentes do campo elétrco e magnétco são obtdas. Demonstra-se a condção de establdade. A relação de 6
dspersão numérca trdmensonal é obtda e soluconada para uma malha com j g constante e as condções de contorno PEC e PMC são explcadas. Anda neste capítulo mplementa-se o algortmo para ser usado em computação paralela. No Capítulo apresenta-se a formulação relaconada a UPML (Unaxal Perfectly Matched Layer) em coordenadas curvlíneas geras [] após o que a formulação será escrta na forma dscreta usando-se o método LN-FDTD. No capítulo 4 são apresentados os resultados numércos para problemas de rradação antena corneta setoral plano-e bdmensonal e antenas de mcroftas e de espalhamento eletromagnétco por clndro delétrco. Estes dos tpos de problemas foram analsados pelos dos métodos o método FDTD e o método LN-FDTD e os resultados obtdos são então comparados. A partr da comparação dos resultados mostra-se a valdação do códgo proposto. No capítulo 5 o método LN-FDTD é reformulado para reduzr a memóra requerda em % permtndo um aumento do domíno de análse para um dado tamanho de memóra computaconal com moderado aumento na complexdade do códgo. No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. 7
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Capítulo O Método FDTD em coordenadas curvlíneas locas (LN- FDTD) O método FDTD ntroduzdo por Yee [] fo ncalmente desenvolvdo para o sstema de coordenadas retangulares. Conseqüentemente quando o método é aplcado na modelagem de estruturas que apresentam superfíces curvas ou com o seu sstema de exos não concdente com aqueles do sstema cartesano consderáves erros relaconados com as aproxmações do contorno físco por starcase são ntroduzdos []. Para resolver este problema dversos pesqusadores estenderam essa técnca para um sstema de coordenadas que se adapte de forma mas amgável ao contorno físco do problema [-5]. No trabalho ncal de Stratton [] e mas tarde de Holland [4] demonstrou-se que se um sstema de coordenadas curvlíneas global pode ser adaptado de forma a modelar uma estrutura de geometra complexa então o algortmo FDTD pode ser faclmente aplcado levando a uma solução mas precsa de segunda ordem no tempo e no espaço. Isto é realzado expressando e soluconando as equações rotaconas de Maxwell no espaço curvlíneo geral. Esta metodologa é denomnada método das dferenças fntas no domíno do tempo não ortogonal global ou método GNFDTD. Mas tarde fo mostrado que a técnca FDTD pode ser aplcada em uma base local [5] o que pode ser feto em casos onde um sstema de coordenadas curvlíneas global não possa ser aplcado. Neste algortmo as coordenadas curvlíneas são construídas em uma base local a partr das faces das células de uma malha estruturada rregular. Esta técnca é chamada de método das dferenças fntas no domíno do tempo não ortogonal local ou método LN-FDTD.. Implementação do Método LN-FDTD Neste trabalho defnu-se um grd estruturado rregular não ortogonal como sendo aquele composto de duas malhas denomnadas de prmára e secundáras. A malha prmára é projetada
para adaptar-se a geometra do problema o que pode ser realzado medante o uso de um gerador de malhas adaptatvas. Esta malha pode também ser escolhda para se alnhar com as componentes do campo elétrco ou magnétco dependendo de qual condção de contorno será mposta na geometra físca. Então a segunda malha é gerada pela conecção dos barcentros das células da malha prmára. Um exemplo deste tpo de malha é lustrado na Fgura... Célula secundára Célula prmára ( j k ) E + H ( j + k ) + ( j k ) H + ( + j k ) H + ( + j k ) H + H ( + j + k ) + H ( + j + k ) + H ( + j + k ) + ( j k ) E ( j k ) E + ( j k ) H ( j k ) E + ( j k ) H + H ( + j k ) + ( j k ) ( j k ) E ( j k ) E + Fg.. Célula prmára e secundára de uma malha estruturada rregular não ortogonal. Para as geometras que possam ser dscretzadas por este tpo de grd defne-se os vetores untáros de base A (=) pelas arestas das células das malhas prmára e secundára conforme mostra a Fgura... Como se pode observar nessa fgura preferu-se representar esses vetores assm como os vetores untáros recíprocos por letras maúsculas ao nvés das letras
mnúsculas usadas no APÊNDICE A sto fo feto com o objetvo de segur a notação mas usada na lteratura. Vale também ressaltar que os sobrescrtos e e h dos vetores de base sgnfcam campos elétrcos e magnétcos. Célula secundára Célula prmára h A ( j + k ) e A ( j k ) ( j k ) ( j k + ) e A e A ( + j k ) h A h A Fg.. Defnção dos vetores untáros de base para as células prmára e secundára no sstema de coordenas curvlíneas locas. As equações de Maxwell na forma ntegral por serem naturalmente aplcadas em um espaço não ortogonal rregular serão utlzadas para a obtenção das componentes de atualzação dos campos elétrco e magnétco no domíno do tempo usando-se o método LN-FDTD. Dessa manera consderando-se um meo sotrópco e lvre de fontes [5] pode-se escrever
t t Ω Ω µ H da = E dl Ω ε E da = H dl. Ω (.) (.) Como vsto no APÊNDICE A um vetor qualquer F pode ser escrto em função dos vetores untáro de base ou em função dos vetores recíprocos. Por exemplo o campo elétrco ( j k) E em um ponto (jk) do grd pode ser expresso em termos das duas bases respectvamente como E j ( j k) E ( j k) A ( j k) ƒ = j= j (.) E j ( j k) E ( j k) A ( j k) ƒ =. j= j (.4) Em (.) e (.4) os coefcentes E e E são chamados de componentes contravarantes e covarantes respectvamente do campo elétrco. Essas componentes de campo podem ser nterpretadas fscamente da segunte forma: usa-se (.4) para que o fluxo do campo elétrco ao longo da aresta possa ser encontrado sto é ( j k) A ( j k) E. A partr da eq. (A.9) obtêm-se E ƒ j j= j ( j k) A ( j k) = E ( j k) A ( j k) A ( j k) = E ( j k). (.5) Portanto conclu-se da equação (.5) que a componente covarante E ( j k) fluxo de ( j k) representa o E ao longo da aresta. Smlarmente fazendo-se o produto escalar de (.) pelo vetor untáro de base A ( j k) encontra-se 4
E j ( j k) A ( j k) = E ( j k) A ( j k) A ( j k) = E ( j k) ƒ j= j. (.6) Observa-se de (.6) que E ( j k) representa o fluxo total do campo elétrco passando através da face dvdda pelo volume V. Isto pode ser demonstrado substtundo a eq. (A.7) na equação acma. A partr da nterpretação físca acma pode-se escrever as expressões para os campos ( E e H) que aparecem na ntegral de lnha (lado dreto) das eqs. (.) e (.). O que é feto naturalmente em termos das componentes covarantes uma vez que estas representam o fluxo real do campo ao longo das arestas das faces de cada célula como nterpretação dada anterormente. Os campos contravarantes têm dreção normal a cada face da célula e portanto são escolhdos para o lado esquerdo nas eqs. (.) e (.). A partr dsso pode-se resolver a eq.(.) pelo método LN-FDTD para a componente contravarante do campo magnétco H n+ / segue ( j k ) assumndo-se que a mesma seja constante sobre a face da cada célula como µ H t µ H t ( j k ) ( E ( j + k ) E ( j k ) ) E ( j k + ) E ( j k ) A A A A A A = A n ( j k ) ( ) ( ) n A A A A = A ( ) n n n n ( E ( j + k ) E ( j k ) ) E ( j k + ) E ( j k ) ( ) n n n n. Esta equação pode ser reescrta em função do volume da célula para sso usa-se a equação (A.6) resultando em n µ A H ( j k ) A ( A V ) ( A V ) = t A ( E ( j + k ) E ( j k ) ) E ( j k + ) E ( j k ) ( ) n n n n 5
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) n n n n n H j k V E j k E j k E j k E j k µ = + + t (.7) onde V é o volume dado pela equação: V ( A A ) A. (.8) = + ( ) ( +) No sstema de coordenadas curvlíneas locas o volume V é defndo para cada componente contravarante a partr dos vetores de base untáro que defnem a célula (Fg..). Para o cálculo do volume relatvo a uma dada face é necessáro conhecer o vetor untáro de base da componente contravarante normal a esta face e os quatro vetores de base untáro da malha dual que defnem a face através da qual o campo vetoral contravarante passa. Desta forma o volume para a componente H de acordo com as Fguras. e. é dado por: V h = A h ( j k) e e e ( j k + ) A ( j k) A ( j k) + A ( j + k) e A +. (.9) Com sso obtêm-se a expressão de atualzação para a componente contravarante do campo magnétco ( ) / n H j k + o que é feto substtundo (.9) em (.7) n / n / ( ) = ( ). h µ V ( j k ) ( E ( j + k ) E ( j k ) ) E ( j k + ) E ( j k ) + H j k H j k t ( ) n n n n. (.0) n As outras componentes contravarantes do campo magnétco ( ) / n ( ) / H j k + são obtdas da mesma forma. Resultando em H j k + e 6
n / n / ( ) = ( ). h µ V ( j k ) ( E ( j k + ) E ( j k ) ) E ( + j k ) E ( j k ) + H j k H j k t ( ) n n n n (.) n / n / ( ) = ( ). h µ V ( j k ) ( E ( + j k ) E ( j k ) ) E ( j + k ) E ( j k ) + H j k H j k t ( ) n n n n (.) e com os seus respectvos volumes dados por V ( ) + ( + ) ( + ) + ( ) e e e e h h A j k A j k A j k A j k = A ( j k ) (.) V h = A h ( j k) e e e ( j k) + A ( j k) A ( j k) + A ( + j k) e A +. (.4) A solução da eq. (.) pelo método LN-FDTD para calcular as componentes contravarantes do campo elétrco segue o mesmo procedmento feto para a obtenção das componentes contravarantes do campo magnétco e dessa forma obtêm-se n+ n ( ) = ( ) + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( H j k H j k e ) H ( j k ) H ( j k ) j k V j k E j k E j k ε ( ) n+ / n+ / n+ / n+ / (.5) n+ n ( ) = ( ) + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( H j k H j k e ) H ( j k ) H ( j k ) j k V j k E j k E j k ε ( ) n+ / n+ / n+ / n+ / (.6) 7
n+ n ( ) = ( ) + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( H j k H j k e ) H ( j k ) H ( j k ) j k V j k E j k E j k ε ( ) n+ / n+ / n+ / n+ / (.7) com os seus respectvos volumes dados por: V e = A e ( j k) A h h h h ( j k) + A ( j k ) A ( j k) + A ( j k) (.8) V e = A e ( j k) A h h h h ( j k) + A ( j k) A ( j k) + A ( j k ) (.9) V e = A e ( j k) A h h h h ( j k) + A ( j k) A ( j k) + A ( j k). (.0) Para conclur a formulação é necessáro converter as componentes contravarantes do campo elétrco E em componentes covarantes para que as componentes contravarantes do campo H possam ser calculadas e vce versa. Isso pode ser feto projetando-se as componentes contravarantes do campo (E ou H) para a posção da componente covarante que se quer calcular. Vale ressaltar que esta transformação pode ser realzada pela eq. (A.8) e neste caso há necessdade de um esquema de méda das componentes contravarantes para que elas possam ser avaladas nas posções das componentes covarantes. Este esquema é denomnado de método da méda facal [6]. Através do qual as componentes para o campo elétrco covarante tornam-se: n+ n+ ( ) = ( ) + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k E j k E j k E j k 4 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k E j k E j k E j k E j k g E j k g g 4 + + + + + + + + + + + (.) 8
n+ n+ ( ) = ( ) + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k E j k E j k E j k ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k + E j + k + E j k + E j + k E j k g E j k g 4 g 4 + + + + + + (.) n+ n+ ( ) = ( ) + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k E j k E j k E j k ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ E j k + E j k + + E j k + E j k + E j k g E j k g 4 g 4 + + + + + +. (.) O cálculo das componentes covarantes do campo magnétco é realzado de manera análoga chegando-se as seguntes equações: n+ / n+ / ( ) = ( ) + / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k 4 / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k H j k g H j k g g 4 + + + + + + + + + + + (.4) n+ / n+ / ( ) = ( ) + / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k H j k g H j k g 4 g 4 + + + + + + + + + + + (.5) n+ / n+ / ( ) = ( ) + / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k / / / / ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) n+ n+ n+ n+ H j k H j k H j k H j k H j k g H j k g 4 g 4 + + + + + + + + + + +. (.6) 9
A computação aproprada das projeções métrcas para um grd rregular deve ser feta. Para sto é necessáro defnr um sstema de coordenadas curvlíneas local para cada componente de campo contravarante. Por exemplo o sstema de coordenadas local para a componente contravarante H ( ) j k (Fg..) pode ser obtdo a partr do seu vetor untáro de base e dos dos vetores defndos pela méda das arestas opostas da face na qual ( j k) A é normal. Dessa forma os três vetores defnndo o sstema de coordenadas local para a computação de n ( ) / H j k + é A A A ( j k) ( j k) = = A A e e h ( j k) = A ( j k) e ( j k) + A ( j + k) e ( j k) + A ( j k + ) (.7) e os vetores que defnem o sstema de coordenadas locas para as outras componentes de campo são: Para ( ) H j k + n / A A A ( j k) = A e e ( j k) + A ( j k + ) h ( j k) = A( j k) e e A ( ) ( j k) + A( + j k) j k =. (.8) n H j k + Para ( ) / A A A ( j k ) ( j k ) A h ( j k ) = A ( j k ) e ( j k ) + A ( j + k ) e = A e ( j k ) + A ( + j k ) e =. (.9) 0
Para ( ) n E j k + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). k j k j k j k j k j k j k j k j h h h h e + + = + + = = A A A A A A A A (.0) Para ( ) n E j k + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). k j k j k j k j k j k j k j k j h h e h h + + = = + + = A A A A A A A A (.) Para ( ) n E j k + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j k j k j k j k j k j k j k j e h h h h A A A A A A A A = + + = + + = (.). Condção de establdade para o método LN-FDTD Para que um algortmo numérco baseado em aproxmações por dferenças fntas venha a convergr é necessáro que o método seja consstente bem como estável [7]. A condção de consstênca que é obtda da expansão em sére de Taylor quando da substtução dos operadores
dferencas por dferenças algébrcas requer que o erro de truncagem local se aproxme de zero quando o tamanho da célula tender para zero [5]. O crtéro de establdade para o algortmo LN-FDTD pode ser demonstrado de manera smlar àquela feta para o GNFDTD [7]. Contudo no trabalho que ora desenvolve-se devdo à rregulardade do grd o crtéro de establdade não pode ser demonstrado no sentdo global como aquele apresentado em [7] mas sm num sentdo local. Em [5] e [9] obteve-se a expressão para a establdade numérca do algortmo LN-FDTD que é a utlzado nesta proposta de tese contudo esta condção é somente válda para uma regão homogênea na qual o grd não apresente curvatura em outras palavras para grds que conservam constantes as dreções dos vetores de base. O crtéro de establdade exato não pode ser obtdo numercamente para grds rregulares conforme mostrado em [0] pos o dvergente do campo elétrco não é garantdo. Assumndo o espaço trdmensonal homogêneo e lvre de fontes o campo elétrco (ou magnétco) deve satsfazer a equação de onda vetoral E E + = 0 c t (.) onde c é a velocdade da luz dentro do meo homogêneo. Aplcando-se a dentdade vetoral (. ) E + ( E) E =. e a le de Gauss (. E = 0 ) em (.) obtêm-se E E = 0. c t ( ) (.4) Como é bem conhecdo de [8] uma onda arbtrára pode ser expandda em termos de um espectro de ondas planas as quas podem também ser nterpretada como sendo os automodos da equação de onda. Assm pode-se mostrar que se o algortmo for estável para uma onda plana arbtrára ele será estável para todas as outras. Assume-se para tal que a solução da equação de onda para o campo elétrco seja dado por: j k r ( u u t) = e( t) e E u (.5)
onde e(t) é uma função vetoral arbtrára dependente do tempo e u (=) são as coordenadas geras (como defndas no APÊNDICE A). Além dsso k.r pode ser expresso como: k r = k + (.6) u + k u k u onde k = k a (=). Para se determnar a establdade das equações (.0)-(.) e (.5)-(.7) um fator de amplfcação α é defndo por n e + α =. n e (.7) Logo para que haja establdade α. Aplcando-se o operador nabla ( ) na eq. (.5) e usando-se aproxmações de dferenças centradas com os u = pode-se mostrar (demonstrado no Apêndce B) que o operador pode ser substtuído smbolcamente por k u = j sen ƒ A. = (.8) Desta manera substtundo-se (.8) em (.4) e usando-se uma aproxmação de dferenças centradas para a dervada de segunda ordem no tempo encontra-se k u { j ƒ } j n+ n n k u j j sen E E + E (.9) A j sen =. = ƒa j= E c t De (.7) assume-se que = n+ n E αe e E = E n n / α que levadas para (.9) resulta j k u j k u j 4 sen n α α + n sen =. ƒa = ƒa j= E E c α t (.40)
Fnalmente soluconando a equação (.40) em função de α obtêm-se como segue 4s α t α + α α = = α α + ( + 4s t ) + = 0 ( + 4s t ) ± ( + 4s t) ( s t ) ± s t s α = t 4 (.4) onde s m k u k u = sen sen. l l m l m cƒ A A l= m= (.4) De (.7) e (.4) observa-se que o método só será estável se e somente se s t. (.4) A condção acma deve ser verdadera para qualquer modo propagante. Desta forma a equação (.4) consderando-se a eq. (A.5) pode ser reescrta tomando-se o valor máxmo para a função seno como s c ƒ( g lm ) l = m= (.44) onde lm l m g = A A. (.45) Então substtundo (.44) em (.4) pode-se escrever 4
t c ƒ l m= g lm. (.46) A equação (.46) é o crtéro de establdade para o algortmo FDTD em coordenadas curvlíneas não ortogonal local. Embora esta equação não seja exata ela é bastante utlzada na lteratura e portanto será utlzada aqu.. Dspersão Numérca Neste tópco será demonstrada a relação de dspersão para uma malha trdmensonal. Estudam-se os efetos dspersvos para dferentes dreções de propagação com relação aos vetores de base e para dferentes ângulos de nclnação entre esses vetores. Para o caso partcular no qual a malha não apresente curvatura ( u = ) o crtéro de establdade é exato e para uma regão na qual os tensores métrcos são constante de dspersão numérca [0]. j g = A A j = constante pode-se demonstrar a relação Assumndo-se que a solução da equação de onda para o campo elétrco seja dada por ( u u u ) = exp ( jωt j. ) E k r e (.47) onde e é o vetor polarzação. Substtundo (.8) na eq. (.4) e usando dferenças centradas para a dervada no tempo obtêm-se a relação de dspersão numérca trdmensonal para a malha tendo j g constante como segue ƒ = sen ω t k k j j A sen A sen E = E. ƒ j = c t (.48a) 5
ou sen ω t j k k j g sen sen = ƒ j= c t (.48b) Como a equação (.48b) esta escrta em uma forma mplícta em termos das componentes de k pode-se encontrar estas componentes numercamente usando-se o método Newton. O que se deseja observar então são os erros ntroduzdos na velocdade de fase para esse tpo partcular de malha. Para smplfcar a análse assume-se que A seja ortogonal ao plano defndo por A e A sendo θ o ângulo entre esses dos vetores e que a onda se propague no plano defndo por A e A formando um ângulo α em relação ao vetor A (ver Fgura.). As dmensões de cada célula são h h h (nas dreções g ( θ ) u u e = h cos g 0 g 0 g ( ) h = = h Apêndce C que (.48b) pode ser escrta na forma u respectvamente) onde g ( ) h = e g ( ) h = =. Dessa forma mostra-se no sen ω t k h sen cosα = c t h sen θ ( ) ( h ) cosθ ( ) - sen cos α θ sen cosα h h sen θ k h k h + k h ( α θ ) sen sen θ cos. (.49) Vale ressaltar que esta equação reduz-se a relação de dspersão para uma malha ortogonal convenconal [7] fazendo-se 0 θ = 90. 6
A A θ A α θ k A A Fg.. Vetores untáros de base e recíprocos para o sstema de coordenadas não ortogonal. Para fazer-se uma análse detalhada sobre a dspersão prmeramente verfca-se o comportamento da velocdade de fase normalzada em função da resolução da malha (em termos do comprmento de onda) Fg..4. Essa análse é feta para város valores de θ e com o ângulo α = 0. Aqu as dmensões de cada célula são guas e o ncremento de tempo é escolhdo como sendo o máxmo valor permtdo pelo crtéro de establdade (eq.(.46)) ou seja ( c g + g + g ) t = / + g. Observa-se da Fg..4 que o erro de dspersão pode ser reduzdo a um lmte razoável se for consderado uma resolução de no máxmo h = h /0. λ 7
0 08 θ = 90 0 θ = 60 0 θ = 45 0 06 ω / kc 04 0 00 00 0 0 0 04 05 h / λ Fg..4 - Velocdade de fase normalzada ω / ( kc) versus o tamanho da célula normalzada h / λ para uma malha com város valores de θ e com h h h ao longo de A ou seja α = 0. = =. A propagação da onda é A equação (.49) é soluconada novamente para se verfcar o comportamento da velocdade de fase normalzada em função da dreção de propagação α para dversos ângulos de nclnação da malha ou seja para dversos θ. Neste caso as dmensões das células são fetas guas a 0. do comprmento de onda sto é h = h = h = λ /0 e o ncremento de tempo é escolhdo da mesma forma como feto anterormente. Os resultados mostram que o erro de dspersão é bastante pequeno para a resolução desta malha. Observa-se também que a velocdade de fase normalzada é sempre máxma na dreção oblíqua à célula ou seja na dagonal da célula. 8
00 008 006 004 00 θ θ θ θ θ 000 ω / kc 0998 0996 0994 099 0990 0988 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 α (graus) Fg..5 Velocdade de fase normalzada ω / ( kc) versus o ângulo α para város ângulos de nclnação θ para o grd com h / λ = 0. e com h = h = h..4 Condção de contorno De uma forma geral as condções de contorno estabelecem as relações entre as componentes dos vetores ntensdade de campo elétrco entre aquelas do vetor ntensdade de campo magnétco e o mesmo acontecendo para as componentes dos vetores densdade de fluxo elétrco e magnétco sto para a nterface entre dos meos quasquer. Para a nterface entre um meo qualquer e um condutor elétrco perfeto (contorno PEC) as componentes tangencas do campo elétrco são contínuas no nteror do condutor o campo é nulo logo conclu-se que a componente tangencal deste campo no outro meo é também nula ou seja E = tan 0. A mplementação desta condção para o método FDTD convenconal é feta de forma dreta. A mplementação desta condção de contorno para um sstema de coordenadas geras não é tão 9
smples. Isso porque há dos conjuntos de campos para o contorno: Os campos contravarantes e covarantes. Para sso consdere a Fg..6. Nesta fgura as arestas da malha prmára (lnha contnua) são escolhdas de forma a se alnharem com o contorno PEC (lnha em negrto) e fca claro que as componentes do campo elétrco covarante devem ser fetas guas a zero para a mplementação aproprada das relações das componentes de campo neste contorno ( E = tan 0 ). Não há base para fazer a componente contravarante do campo elétrco gual a zero na superfíce uma vez que este não se encontra tangencal a esta contudo para atualzar os campos elétrcos contravarantes ao longo da superfíce condutora uma estratéga de atualzação [6] é realzada através da magem do campo magnétco covarante tangencal ou seja H = H (.50) acma m abaxo m desta forma a ntegral de lnha que aparece na atualzação do campo elétrco contravarante m E sup erfíce terá apenas duas das quatro componentes do campo magnétco covarante ou seja apenas aquelas componentes que passam pela superfíce [6]. Além dsso para que haja consstênca físca na formulação do problema os campos magnétcos contravarantes no nteror do condutor são explctamente fetos guas a zero. A condção PMC (condutor magnétco perfeto) é mplementada de forma dual. 0
acma H m Célula secundára m H ( Superf ) Superfíce condutora m E ( Superf ) H m ( Superf ) E m ( Superf ) abaxo H m Célula prmára Fg..6 Orentação dos vetores covarantes e contravarantes na nterface entre um condutor e um meo qualquer.
.5 Implementação paralela do algortmo LN-FDTD A prncpal déa da mplementação paralela do algortmo LN-FDTD é baseada na dvsão do domíno de análse em subdomínos. Nessa técnca conhecda como Decomposção ou Decomposção do domíno o domíno de análse é dvddo em subdomínos para que cada processador executando bascamente o mesmo programa (códgo fonte) possa executar as dferentes tarefas de cada subdomíno. Isto é uma típca mplementação do modelo SPMD (Sngle Program Multple date) []. A dstrbução dos dados é feta manualmente ou seja o programador defne através de funções de mensagens envo/recebmento a comuncação entre os processadores para que haja contnudade na atualzação das componentes de campo localzadas na nterface dos domínos. A bbloteca escolhda para fazer a troca de mensagens fo a LAM- MPI desenvolvda na unversdade de Oho []. Na Fg..7 mostra-se a atualzação das componentes dos campos localzadas na nterface entre duas regões na superfíce u. Assm dferentes processadores trabalham smultaneamente executando uma parte do programa em cada máquna mas sob dferentes dados. O processador calcula todas as componentes de campos no seu domíno passando somente aquelas localzados nas nterfaces. De forma comparatva na Fg..8 mostra-se a atualzação dos campos localzados no plano y-z para o algortmo FDTD convenconal.
( H H ) ( E E ) ( E E ) SUBDOMÍNIO I H E E E SUBDOMÍNIO II Máquna Máquna Fg..7 - Atualzação das componentes do campo localzadas na nterface entre duas regões e para a superfíce u. SUBDOMÍNIO I E y SUBDOMÍNIO II H z E x y E y x H z Máquna Máquna Fg..8 - Atualzação das componentes do campo localzadas na nterface do plano yz para o método FDTD.
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[] http://www.mp.nd.edu/lam 5
Capítulo Meos unaxas perfetamente casados (técnca UPML) em Coordenadas Curvlíneas Geras.. Introdução O método FDTD quando mplementado num sstema de coordenadas geras torna-se uma poderosa técnca numérca para a análse de propagação de onda. A malha não ortogonal permte ao projetsta a modelagem mas precsa de contornos físcos que não concdem com as dreções dos exos do sstema retangular. Para a aplcação da técnca LN-FDTD na solução de problemas de rradação é necessáro truncar o domíno numérco ou seja lmtar a regão de análse por condção de contorno absorvente. No presente trabalho será ntroduzda a UPML [] para o sstema de coordenadas geras. Para sso utlzar-se-á o método LN-FDTD como descrto orgnalmente por Lee []. Nesta formulação cada célula do grd é representada por dos conjuntos de vetores defndos localmente conhecdos como vetores untáros de base e vetores untáros recíprocos. Esses vetores são defndos de manera que os vetores untáros defnam as arestas das células e os vetores recíprocos sejam normas às faces das células. Os campos são defndos ao longo desses dos vetores e são referdos como campos contravarantes e covarantes respectvamente [] Apêndce A. Navarro et al. [4] adaptaram a PML de Berenger [5] para a formulação covarantecontravarante e mostraram que o método teorcamente tem o desempenho equvalente àquele do caso ortogonal. Entretanto sso só é garantdo para a geometra cujo tensor métrco ndependente de uma das coordenadas geras. g j seja Neste trabalho a PML é mplementada de forma que a mesma seja caracterzada por um tensor unaxal (UPML). Essa formulação fo mplementada por Gedney et al. []. A maor vantagem dessa formulação é que as equações de Maxwell conservam sua forma natural e assm 6
o método é faclmente estenddo para meos não homogêneas dspersvas e com perdas [6] bem como para grds não ortogonas como será demonstrado aqu.. Formulação Para um meo absorvedor unaxal o tensor unaxal representando os parâmetros consttutvos do meo em uma regão trdmensonal é defndo por [78]: s s s s 0 0 s s = 0 0 s 0 0 s s s (.) onde σ jωε s = + (=) são os parâmetro que caracterzam a atenuação na UPML ao longo 0 dos exos de coordenadas ( ) u =. Para garantr a contnudade das componentes normal e tangencal das ntensdades dos campos através do meo PML a segunte normalzação é ntroduzda s 0 0 F = F 0 s 0 = FA ou F = F A (.) 0 0 s onde F representa a ntensdade dos campos elétrco ou magnétco (contravarante ou covarante). Para este caso as equações de Maxwell são então expressas para o sstema de coordenadas geras como jωε 0ε rse A = H A (.) V 7
jωµ 0µ rsh A = E A (.4) V onde os campos contravarantes são representados por sobrescrtos e os campos covarantes por subscrtos e os dos estão relaconados pela equação (A.8) Demonstra-se à valdade da UPML em coordenadas não ortogonas através da relação de dspersão para ondas planas propagando-se no meo UPML. Isto porque qualquer campo eletromagnétco pode ser decomposto por uma combnação lnear de ondas planas monocromátcas. Para tal assume-se por smplcdade que o vetor de base A seja ortogonal ao plano defndo pelos outros dos vetores de base A e A. Desta forma o tensor métrco g j passa a ter a segunte forma g g g g g 0 j = 0 0 0 g (.5) onde g j = A. A j. TE Como o meo é unaxal a solução da onda plana desacopla-se naturalmente nos modos e TM. A partr dsso a relação de dspersão pode ser soluconada ndependentemente para uma dessas polarzações. Assume-se então a solução para o modo TM. Neste caso a solução da equação de onda é da forma f f e γ γ u u = + 0 (.6) onde γ (=) são as componentes da constante de propagação complexa ao longo das coordenadas curvlíneas u. Vale ressaltar aqu que (.6) é uma solução válda para (.) e (.4) somente se o tensor métrco em (.5) for ndependente das coordenadas espacas u u e u [9]. Então da eq.(.4) para o modo pode-se escrever: TM ( e ) H H E e consderando-se as eqs. (.) e (.) 8
s s E s E s jωµ µ H s =. 0 r s V u u Consderando-se a eq.(a.8) através da qual obtêm-se as componentes covarante a partr das componentes contravarante e a eq. (.5) a equação acma passa a ser expressa por: g E γ g E jωµ µ = = V u V PML 0 rsh. (.7) Do mesmo modo como feto anterormente obtém-se a equação para H jωµ µ g E γ g E V u V PML 0 rsh = =. (.8) Para a obtenção da componente obtendo-se E segue-se o mesmo racocíno só que partndo da eq. (.) ( g ) ( H gh gh gh ) + + jωε 0εrss E s = s s V u u PML { ( ) ( ) } PML g H g H s γ g H g H s =. V γ + + (.9) normal a Agora assume-se uma onda plana ncdndo sobre uma estrutura de UPML numa dreção u. Desta forma só ocorrerá atenuação na dreção u então para este caso s s = =. A partr da condção de contorno que estabelece a contnudade das componentes contravarantes tangencas à frontera entre dos meos é possível mostrar que há casamento de fase nesta PML nc nterface para todo u e u ou seja γ = γ. A relação de dspersão para a polarzação TM no meo PML é então obtda. Para sto substtu-se (.7) e (.8) em (.9) 9
PML PML ( ) PML γ g gγ E + g gγ E s V jωµ 0µ r V jωµ 0µ r jωε 0ε rse s = V PML PML ( ) PML γ g gγ E + g gγ E s V jωµ 0µ r V jωµ 0µ r PML nc como γ = γ têm-se PML ( γ ) 0ε rµ rsv g PML nc nc nc PML γ γ g ( γ ) sg gγ γ g s k = + + (.0) onde k = µ ε. 0 0 0 Para a regão de campo ncdente a relação de dspersão pode ser obtda da eq. (.0) fazendo-se k ε V g 0 r ( ) ( ) nc nc nc nc g g g = γ γ + γ + γ. (.) PML A partr das equações (.0) e (.) tra-se que γ = γ nc s. Da equação (.8) obtém-se a mpedânca de onda na dreção u Z Z PML nc E jωµ s V = = H γ PML g E j V ωµ = = H γ g nc. (.) Para haver transmssão através do contorno UPML é necessáro que haja casamento de mpedânca ou seja (.). Z PML nc PML = Z. Isso é verdadero se nc s γ = γ como pode ser observado de 40
A solução do modo TE leva a uma forma dual de (.). Conclu-se portanto que uma onda plana ncdndo sobre uma estrutura de PML será totalmente transmtda ndependente do ângulo de ncdênca ou freqüênca se a solução da equação de onda for da forma 0 PML PML u + u =. f f e γ γ PML Mas como nc PML nc γ = γ s e γ = γ têm-se que σ γ PML nc γ su + γ u 0 0 PML nc + u + γ u jωε 0 f = f e = f e. Esta equação descreve uma onda propagando-se nas dreções u e u e é atenuada exponencalmente na dreção u.. Implementação da formulação para a regão de PML Nesta seção a solução numérca das equações de Maxwell no domíno do tempo usandose o método LN-FDTD em um sstema de coordenadas não-ortogonas é mplementada. Neste sstema de coordenas e consderando-se um grd estruturado rregular as equações de Maxwell são naturalmente aplcadas na forma ntegral pelo fato dos vetores untáros serem defndos de forma que as suas magntudes sejam guas aos respectvos comprmentos das arestas das células no espaço dscreto. Assm a ntegral de lnha que aparece nas equações de Maxwell é convenentemente aproxmada por uma soma dscreta dos campos ao longo de cada aresta do grd. As formas ntegras das equações de Maxwell para um meo unaxal são dadas abaxo. jωµ sh ds = S c E. dl (Le de Faraday) (.) 4
j se ds = S c H. dl ωµ (Le de Ampère). (.4) contravarante smlar. Prmeramente demonstra-se como é obtda a equação de atualzação para a componente H. As outras componentes de campo magnétco ( A equação (.) é reescrta em função da componente contravarante na dreção do vetor de base (covarante) A H e H ) são obtdas de forma H que se encontra ss jωµ H A ds = E A. dl s (.5) S c Como vsto anterormente as componentes de campo são normalzadas de forma a garantr a contnudade das componentes normas e tangencas das ntensdades dos campos elétrcos e magnétcos logo F = F Ã. Assm (.5) torna-se ss jωµ H sa ds = E ( j k ) sa A E ( j k + ) sa A + S s (.6) E j + k s A A E j k s A A ( ) ( ) Da recprocdade exstente entre os vetores de base e os vetores recíprocos tem-se que A. A. Com sso a equação (.6) reduz-se a: = ( ) ( ) jωµ H Ass ds = s S E j k E j k + +. (.7) s E ( j + k ) E ( j k ) Consderando-se que a componente de campo magnétco contravarante 4 H seja constante sobre a face da célula a qual esta componente é perpendcular (Fg..) a equação acma pode ser reescrta como
s s H A d S = s s H A d S = s s H A S S S onde S é a área da face da referda célula a qual é dada por (eq. A.7): A A S = A A = ( A A ) ( A A ) A A. Como A A A escreve-se S como função do volume da célula V = V A S = ( A V ) ( A V ) = V A A A A A Dessa forma a equação (.7) passa a ser dada por: A jωµ ssh A V A A = s E ( j k ) E ( j k + ) + A ( + ) ( ) s E j k E j k. Usando a propredade da recprocdade como feto anterormente temos que ( ) ( ) ( ) ( + ) jωµ ssh V = s E j k + E j k + s E j k E j k. (.8) A equação acma é uma expressão no domíno da freqüênca que agora deve ser passada para o domíno do tempo. Há mutas formas de encontrar a expressão de atualzação no domíno do tempo para a equação (.8). Em [4] Navarro utlza o método de atualzação Splt ou Splt Feld. Esse método é o mesmo método utlzado por Berenger [5]. 4
Neste trabalho utlzar-se-á um método mas efcente do ponto de vsta computaconal que o método splt para a atualzação da equação (.8). Para tal reescreve-se ncalmente (.8) como ( ) ( ) jωµ sh V = E j k + E j k + s E ( j k ) E ( j + k ). s (.9) Em seguda ntroduz-se uma segunda expressão de atualzação para o segundo termo do lado dreto de (.9) s s E = E j k E j + k = E ( ) ( ) dff s s (.0) Após algumas manpulações algébrcas a equação (.0) é passada para o domíno do tempo e resolvda por dferenças centradas como segue [] s E j k E j k ( ) dff = ( ) s dff ( ) = ( ) s E j k s E j k σ σ dff + E ( j k ) = + E ( j k ) jωε 0 jωε 0 dff dff ( ) + ( ) = ( ) + ( ) jωε E j k σ E j k jωε E j k σ E j k 0 0 n ( ) ( ) + / n / E j k E j k n ε0 + σ E ( j k ) = t ε n dff ( ) ( ) dff + / n / E j k E j k dff 0 + σ E t ( j k ) n. Para as componentes do campo elétrco no nstante (n) faz-se uma aproxmação sem-mplícta [0] 44
e E ( j k ) n ( ) + ( ) / n+ / n E j k E j k = n dff ( ) + ( ) dff / n+ / df n E j k E j k E ( j k ) =. n. Dessa forma é possível obter a expressão de atualzação para E ( j k ) + / ( ) ( ) ( ) + ( ) n+ / n / n / n+ / E j k E j k E j k E j k ε0 + σ = t ( ) ( ) ( ) + ( ) dff n+ / dff n / dff n / dff n+ / E j k E j k E j k E j k ε0 + σ t ε0 σ n / n / t + E ( j k ) = E ( j k ) + ε0 σ + t ε σ n ε σ dff ( ) ( ). 0 dff + / 0 n / + E j k E j k ε0 σ t t + t (.) n A partr da equação (.9) e da expressão de atualzação da componente E ( j k ) + / obtém-se a equação de atualzação para H ( j k ) + / n. ( ) ( ) ( ) jωµ sh V = E j k + E j k + E j k σ jωµ + H V = E ( j k + ) E ( j k ) + E ( j k ) jωε 0 µ H σ V jωµ H V + = E ( j k + ) E ( j k ) + E ( j k ) ε 0 45