Programação dinâmica aplicada à alocação de recursos no transporte de cargas

Programação dinâmica aplicada à alocação de recursos no ranspore de cargas Anonio Marins Lima Filho ; Nicolau D. Fares Gualda 2 Resumo: O planejameno operacional de um sisema de ranspore de cargas de longa disância implica resolver um problema de oimização de rede dinâmica capaciada, visando a efeuar de forma eficaz e eficiene os movimenos das cargas, uilizando os recursos de ranspore disponíveis. O presene rabalho aborda a uilização de programação dinâmica aproximada e adapaiva para solução desse ipo de problema. A meodologia de solução proposa subsiui o processo de oimização global da rede por um modelo de Programação Dinâmica aplicado a cada eságio do problema; o méodo baseia-se em uma heurísica para esimar o valor que a solução de cada eságio ransfere para os eságios subseqüenes. A écnica uilizada reduz sensivelmene a quanidade de variáveis envolvidas, o que viabiliza a consrução de modelos maemáicos mais realisas em um horizone de planejameno mais amplo. São apresenados resulados de uma aplicação bem sucedida do modelo com uilização do Jensen Nework Solver. Absrac: Operaional planning of a long haul ransporaion sysem implies o solve a capaciaed dynamic nework opimizaion problem, aiming o perform he freigh movemens in an efficien and effecive way, uilizing he available ransporaion capaciy. This work employs an approximae adapive dynamic programming o solve his kind of problem. The proposed soluion mehodology replaces he nework global opimizaion process by a dynamic programming model applied o each sage of he problem; he mehod is based on a heurisic o esimae he value ha he soluion of each sage ransfers o furher sages. This echnique grealy reduces he quaniy of involved variables, allowing he uilizaion of more realisic mahemaical models in a longer planning horizon. Resuls from a successful applicaion of he model wih he uilizaion of Jensen Nework Solver are presened.. INTRODUÇÃO O problema considerado nese rabalho enquadra-se no conceio de Planejameno Operacional. De acordo com Gualda (995), o planejameno operacional pressupõe a exisência de um sisema físico implanado e visa à oimização operacional desse sisema. Powell (2003) idenifica o Planejameno Operacional de Sisemas de Transpore com o Gerenciameno de Operações, em empo real, e analisa, para cada ipo de serviço de ranspore, os recursos que devem ser gerenciados e as decisões, as quais consiuem a forma de gerenciameno desses recursos; para o auor, as decisões, por sua vez, devem levar em cona os processos a que se referem, ou seja, a dinâmica e as resrições do Sisema. O Planejameno Operacional, para um sisema de ranspore rodoviário de cargas em longa disância, é efeuado aravés do pessoal de gerenciameno local auando em um ambiene alamene dinâmico, onde o faor empo desempenha um imporane papel e devem ser levados em cona os dealhes dos ipos de veículos, insalações e aividades. O planejameno pode ser definido como sendo uma pone enre o conhecimeno (dados, eoria) e a ação, ou omada de decisão Anonio Marins Lima Filho, Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, SP, Brasil. (e-mail: marins.lima@poli.usp.br). 2 Nicolau D. Fares Gualda, Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, SP, Brasil. (e-mail: ngualda@usp.br). Manuscrio recebido em 4/7/2008 e aprovado para publicação em 5/0/2008. Ese arigo é pare de TRANSPORTES, volume XVI, número 2, dezembro de 2008. ISSN: 45-773. (Gualda, 995). No caso em quesão, o Sisema é composo de cargas full-ruck-load (uma única carga consiuindo a loação complea do veículo, a qual é ransporada de uma única origem a um único desino). É considerado o caso em que a demanda pelo ranspore ocorre em diversos ponos do espaço de forma aleaória, no decorrer do empo. Uma caracerísica básica dese ipo de ranspore, definida aravés da expressão Longa Disância, é o fao de o veículo não reornar de imediao à base operacional de origem, depois de cumprida a enrega de sua carga. Dessa forma, para cada veículo ornado disponível, em cada pono do espaço-empo, deve-se omar uma decisão de caráer operacional enre rês possíveis alernaivas: aender a uma carga nesse pono, aguardar nesse pono por uma carga fuura, ou deslocar o veículo vazio para ouro local. No iem 2 dese rabalho é apresenada uma revisão do problema na lieraura. No iem 3, a meodologia proposa para a sua solução. No iem 4 é apresenada a solução de um problema ípico. No iem 5 são ecidas as conclusões do rabalho. 2. ALOCAÇÃO DE RECURSOS NO TRANSPORTE DE CARGAS A necessidade de planejar a alocação de recursos é comum às várias operações de ranspore, de cargas ou de passageiros, nos diversos modais. No caso do modal maríimo, conêineres vazios disponibilizados em uma deerminada locação devem ser re-posicionados para ouras locações, endo em visa aender às demandas exisenes ou previsas (Whie, 972, Crainic; TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008 4

Gendrau; Dejax, 993). Vagões ferroviários de carga ambém devem ser, em muios casos, re-posicionados após a conclusão de uma arefa; além disso, os vagões, vazios ou carregados, devem ser alocados a composições (Mendiraa; Turnquis, 982, Jordan; Turnquis, 983, Haghani, 989). O problema de deerminação do ipo de aeronave a designar para os diversos vôos programados por uma empresa de ranspore aéreo é esudado por Hane e al. (995). O modal aéreo apresena ainda, como problema caracerísico, a necessidade de alocação de ripulações às aeronaves, obedecendo a regras severas de regime de rabalho. Para a alocação de veículos a cargas no ranspore rodoviário de longa disância é necessário disinguir enre os serviços regulares, onde o planejameno áico é o mais imporane, e os serviços não-regulares, onde o planejameno operacional se desaca. Para os serviços regulares podem ser ciados os rabalhos de Crainic e Roy (992) e de Powell e Sheffi (989). Os serviços não-regulares, por sua vez, consiuem o escopo do presene rabalho, bem como dos arigos, enre ouros, de Franzeskakis e Powell (990), Godfrey e Powell (2002a, 2002b), Powell e Carvalho (998), e Powell e al. (995). Os modelos de planejameno operacional de ranspore podem ser esáicos ou dinâmicos. Os modelos esáicos se presam melhor ao planejameno áico, onde o faor empo pode ser deixado em segundo plano. Dessa forma, o problema de oimizar o ranspore rodoviário de cargas em longa disância pode comporar uma abordagem esáica e deerminísica, quando se raar de planejameno em nível áico de serviços de ranspore do ipo não-regular. No caso do Transpore Rodoviário de Cargas em Longa Disância, a Alocação Dinâmica, mais que uma escolha de modelagem e de ferramena de solução, é uma verdadeira necessidade imposa pela caracerísica do problema: o recurso (equipameno de ranspore), após servir uma arefa, vai se enconrar disponível em uma localização diferene da original, onde pode ou não haver novas arefas aguardando para serem servidas. A alocação de recursos aqui considerada é dinâmica em rês diferenes senidos (Powell; Jaille; Odoni, 995): o problema é dinâmico, uma vez que os dados mudam com o passar do empo (os recursos são dinâmicos por se re-posicionarem ao érmino das arefas); o modelo uilizado para represenar o problema é ambém dinâmico, uma vez que incorpora expliciamene a ineração de aividades aravés do empo; e, finalmene, o méodo de solução (Programação Dinâmica) é consiuído de repeidas soluções, à medida que nova informação se orna disponível. Um modelo dinâmico pode esar capando o eságio emporal das aividades físicas, mas não o eságio emporal da informação; nese caso o modelo é chamado deerminísico. (Powell, 2003). Whie (972) formula o problema de disribuição de conêineres vazios como uma Rede de Transbordo Dinâmica. Os nós da rede correspondem a ponos no espaço e no empo e às respecivas oferas e demandas por conêineres, e os arcos represenam os cusos de deslocameno. A demanda é deerminísica e os empos de parida dos deslocamenos são previamene fixados. O problema é solucionado aravés de uma versão do algorimo ou-of-kiler, proposo por Ford e Fulkerson (962) para resolver problemas de circulação de cuso mínimo. O algorimo uilizado é induivo, aproveiando a caracerísica não cíclica da rede, ocasionada pela dimensão emporal na definição dos nós. O auor propõe ainda a uilização de écnicas de programação de caracerísica dinâmica, visando a esender o horizone de empo: a cada vez que o modelo é resolvido, os dados são aualizados, eliminando-se o período inicial da ieração anerior e incorporando a informação relaiva ao período imediaamene seguine no horizone de empo. Haghani (989) ambém propõe a uilização de uma rede espaço-empo, incorporando caracerísicas dinâmicas ao problema combinado de oimização da rede e formação de rens e da disribuição dos vagões vazios. A solução implica a uilização de uma écnica heurísica de decomposição para o problema, o qual é formulado como programação mixed-ineger, com função objeivo não linear e resrições lineares. Powell e Franzeskakis (994) inroduzem a noção de recurso nodal, subsiuindo o problema de ranspore original por um problema de oimização mais simples, cuja solução produz uma boa aproximação da função de recurso. Uma função convexa de valor para os veículos disponíveis em deerminado pono do espaço empo é submeida a um processo de linearização, de forma a se ober um valor médio, a parir do qual se consrói o algorimo. Esa formulação dinâmica e esocásica mosrou-se superior a formulações alernaivas, esáicas ou dinâmicas deerminísicas, em experimenos conduzidos pelos auores aravés de uma écnica de horizone rolane que possibiliou comparar os resulados obidos em ermos de frações do valor ideal (aquele que seria conseguido se a demanda fuura fosse sempre conhecida). Powell (986) propõe represenar o problema de a- locação de recursos em ranspore de longa disância na forma de uma rede espaço-empo, como a da Figura, a seguir. Esa forma de modelagem produz uma rede de esruura acíclica, faciliando a operação de algorimos de oimização que iram parido desa mesma esruura. A dificuldade com ese ipo de abordagem de rede é a grande exensão dos problemas envolvidos, em ermos de quanidade de variáveis. Algumas poucas locações consideradas em um horizone 42 TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008

de empo com alguns poucos períodos já produzem um problema de dimensão de difícil raameno, especialmene quando se ena a oimização pela via da programação linear ineira. Ademais, quaisquer dealhes da operação, como janelas de empo, por exemplo, implicam novas muliplicações da quanidade de variáveis. Figura : O Conceio de Rede de Filas Logísicas Fone: Crainic (2003) Uma forma de conornar as dificuldades de solução aqui aponadas é apresenada por Powell e al. (995). Parindo da consideração dos chamados Sisemas Dinâmicos de Evenos Discreos (Discree Even Dynamic Sysem DEDS), os auores propõem uma nova abordagem, onde demandas são enfileiradas em erminais enquano aguardam pela disponibilização de capacidade de aendimeno e, da mesma forma, os e- quipamenos ao serem disponibilizados se enfileiram aguardando designação. O modelo, assim formulado, assume a caracerísica de uma rede com filas duplas (cargas e equipamenos) em cada um dos nós. Daí a denominação Rede de Filas Logísicas (Logisics Queueing Nework LQN). A Figura, com base em Crainic (2003), consiui uma represenação dese modelo. A proposa, enão, é subsiuir a solução global de oimização aravés de Programação Linear por uma solução de Programação Dinâmica Recursiva, permiindo decompor a solução geral do problema de rede em uma série de soluções de subproblemas em nível de cada uma das locações. A abordagem geral de solução consise de uma série de passos para frene e para rás, aravés da linha do empo: a cada ieração, o passo para a frene designa veículos a cargas e efeua, de forma limiada, re-posicionamenos de veículos; o passo para rás calcula gradienes, e uma fase de ajuse de conroles modifica os valores poenciais e os limies dos movimenos em vazio. O processo coninua aé que se assegura um nível desejado de convergência (Crainic, 2003). Powell e al. (995) e Powell e Carvalho (998) propõem, com base nesse modelo, soluções que se a- plicam a problemas deerminísicos, limiação superada a parir do desenvolvimeno do algorimo CAVE (Concave Adapive Value Esimaion) de Godfrey e Powell (200), capaz de efeuar uma esimaiva acurada de funções côncavas de valor com base nos resulados de uma sucessão de experiências, sem depender de se conhecer a específica função de probabilidades associada aos evenos. O algorimo se baseia na geração de gradienes para a quanidade de recursos disponibilizada, levando em cona o resulado obido em visa da demanda realmene ocorrida. A parir daí, o algorimo efeua uma aleração suavizada na forma da curva para uilização na ieração seguine. Essa aleração de forma da curva é efeuada em inervalos de empo de magniude pré-esabelecida em orno do pono considerado, e se faz de maneira a preservar sempre a concavidade da função. Godfrey e Powell (2002a e 2002b) efeuam uma modelagem e propõem uma solução cenrada basicamene em duas reduções de complexidade: o problema é separado por locação / período (conceio de Rede de Filas Logísicas, conforme descrio acima) e depois é resolvido uilizando uma esimaiva do valor associado aos esados fuuros (o algorimo CAVE, descrio aneriormene). A essência do modelo é apresenada a seguir. 3. METODOLOGIA A meodologia adoada nese rabalho baseia-se na uilização de Programação Dinâmica, Esocásica, Aproximada e Adapaiva, aplicada ao Planejameno Operacional de um Sisema de Transpore Rodoviário de Cargas em Longa Disância, endo em visa maximizar o resulado econômico do Sisema, em função da alocação de equipamenos de ranspore a cargas. A écnica uilizada baseia-se no modelo proposo por Godfrey e Powell (2002a e 2002b) para a oimização da alocação de recursos (froas de veículos) a arefas (cargas disponíveis para ranspore), em diferenes ponos no espaço e no empo; após o aendimeno, o recurso se orna disponível e pode enão ser uilizado na mesma locação (imediaamene ou após algum empo de espera) ou ser re-posicionado para oura locação. Nesses rabalhos é uilizado o conceio de Rede de Filas Logísicas (Powell e al., 995, Powell; Carvalho, 998), o qual permie resolver subproblemas correspondenes a períodos de empo individualizados, eviando a necessidade de raar a rede como um odo. O modelo uiliza, ainda, uma écnica de esimaiva de valores de funções côncavas proposa por Godfrey e Powell (200) denominada CAVE (Concave Adapive Value Esimaion), para definir os valores correspondenes, em cada subproblema, à melhor solução para o resane do período de planejameno. TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008 43

3.. Modelo de programação dinâmica esocásica Sejam: T : número de períodos no horizone de planejameno; T : {0,,..., T } = empos em que as decisões são omadas; J : conjuno de locações físicas na rede, indexadas por i e j; L i : conjuno das cargas a serem aendidas no empo a parir da locação i; R i : quanidade oal de recursos na locação i disponíveis para auar no empo ; As variáveis de decisão, para cada T ; i, j J, l L i, podem ser represenadas por: se um recurso em i é designado x l = para uma arefa l L i no empo 0 caso conrário quanidade de recursos reposicionados de i para j iniciando-se no y ij = empo Inicialmene, para um paricular período de empo, pode ser definida a seguine função de recompensa: g x em que, r l : y ( )= r l xl cij ij i J l i J j J i L y () recompensa obida por aender a arefa l L i iniciando-se no empo T; c ij : cuso de reposicionar um recurso da locação i para a locação j. Considerando agora odo o horizone de planejameno, a função objeivo, em ermos de Programação Dinâmica Esocásica, é dada por: x g ( x y ) (2) g0 0 y0 E max ( ) max x0,y0 H 0 0 x, T \ y H em que H é o σ álgebra (subconjuno de evenos do espaço amosral Ω para o qual a medida de probabilidade P é definida) gerado por (W o,., W ), sendo W = ( Rˆ, ˆL ) a nova informação (recursos disponíveis, arefas a aender) chegando no período de empo. As resrições são de 2 ipos, aplicando-se às decisões e à dinâmica do sisema: º. resrições que se aplicam às decisões omadas em um pono no empo sob realização esocásica ω Ω: y ( ω ) ij xl( ω ) = Ri( ω) j J l i( ω) L i J (3) R xl xl ω ( ω) l L ( ) (4) ( ) 0 yij ω ( ) ω i, j l L ω (5) ( ) 0 J (6) 2º. resrições que conrolam a dinâmica do sisema no empo: ( j,, τ( ω)= y ( ω ) ij xl( ω ) j,, τ i J : τij =τ l L ij( ω) em que: τ i j : o empo de viagem de i a j; i, j J ) R j e L ( ω) = L ( ω)\ L ( ω) ( τ =,..., τmax) (8) sendo: τ max : o maior empo de viagem enre quaisquer pares de locações, e L e : conjuno das arefas que expiram no empo (porque foram aendidas ou porque deixaram o sisema devido a alguma oura razão) 3.2. Esraégia de solução por programa dinâmica adapaiva Em aplicações práicas para esa classe de problemas, a esraégia de solução mais naural é uilizar um procedimeno de horizone rolane, resolvendo o problema no empo, uilizando o que é conhecido no empo e mais uma previsão de evenos fuuros sobre algum horizone de empo (Godfrey; Powell, 2002a e 2002b). Para ano, faz-se necessário definir uma função de valor para o período, com base em uma esimaiva de função de valor para o período : ~ max g x y V R x( ω), y( ω) ( R, H ω) V (, ) = ( ( ), ( )) ( ( )) R ω ω ω ω Godfrey e Powell (2002a) uilizam uma esimaiva de Função de Valor separada por locação, na forma Vˆ ( R ) = Σ Vˆi ( Ri ), onde as funções ˆV i ( Ri) são esimadas uilizando o algorimo CAVE (Godfrey; Powell, 200). O problema é resolvido execuando-se um passo para a frene no empo, deerminando um conjuno de decisões (x ) T, para uma paricular amosra ω, e usando um paricular conjuno de aproximações da função de valor. Ao final do passo para a frene, as variáveis duais obidas da solução de cada subproblema são uilizadas para aualizar as aproximações funcionais usando o algorimo CAVE (Godfrey; Powell, 200). A solução do problema é enconrada após sucessivas aproximações das variáveis de decisão ( passos para a frene ), seguidas das respecivas aualizações das J 44 TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008

funções de valor. Ou seja, conhecida a esimaiva de função de valor e um resulado aleaório ω Ω para as demandas fuuras, resolve-se a seguine seqüência de subproblemas de rede, começando com = 0 e coninuando aé = T : τ max x ˆV R x y H, max g ( y), τ(, τ ) τ = (0) O subproblema (0) no empo pode ser viso como uma rede de 2 eságios, como ilusrado na Figura 2. Figura 2: Rede de 2 eságios correspondene ao subproblema no empo R i R j R k R l Para o º eságio, as seas em linha cheia indicam movimenos com carga, os quais êm cuso (recompensa) = r l e limie superior L i(ω); as seas em linha ponilhada represenam reposicionamenos de veículos sem carga, com cuso = c ij e limie superior =. As decisões de 2º eságio (empos = τ, τ > 0) incorporam a aproximação de Função de Valor ˆV ( ), R,. 2 nós do o. eságio V i,, V i,, 2 V j,, V k,, V l,, nós do 2o. eságio V l,, 2 4. TESTE DO MODELO Tendo em visa assegurar o enendimeno do modelo e a eficácia de seus resulados, foi desenvolvido um experimeno uilizando um problema dimensionado de forma a permiir a sua oimização global, aravés de um sofware comercial comum, além da análise do comporameno do sisema de forma visual. Ese problema consise em 3 locações e horizone de planejameno de 3 períodos, alocando um oal de 6 veículos. Com a finalidade de simplificar o modelo, mas sem prejuízo da avaliação de sua eficácia, os empos de rânsio foram considerados como uniários e a disponibilidade de cargas a aender foi considerada de forma deerminísica. Pode-se afirmar que a exensão do experimeno para problemas muliperíodo e probabilísicos esará garanida, uma vez que, para ano, é suficiene alerar as caracerísicas da rede e a forma de aribuir quanidades de demanda de uma para a próxima ieração. O problema pode ser represenado como uma rede de circulação de receia máxima, consisindo de 3 nós (incluindo o sorvedouro) e 49 arcos. A solução de oimização foi obida aravés do Jensen Nework Solver (Jensen; 2008), para a rede global, uilizando um modelo linear e ineiro. Foram simuladas 20 diferenes configurações de valor para a mesma esruura básica de rede, variando-se ora o limie superior de algum arco (quanidade de cargas a aender), ora o valor da recompensa por aender a alguma carga (cuso do arco), ora a disribuição do veículo enre as 3 locações no período inicial. Foi aplicado, a seguir, para as mesmas 20 configurações, o modelo de solução aravés da divisão do problema em 3 subproblemas, um para cada período. Cada subproblema foi configurado como uma rede de circulação com 7 nós e 34 arcos e a solução foi obida com a uilização do mesmo sofware, na mesma esruura de modelo linear e ineiro. As ierações foram efeuadas aé que a melhora no valor do resulado óimo (considerando o º e o 2º eságio da rede) em relação à ieração anerior fosse inferior a 0,5%. A quanidade de ierações variou, de acordo com a configuração adoada, de um mínimo de 0 aé um máximo de 6. O resulado óimo foi obido já na 2ª ieração, para o caso mais favorável, e na 7ª ieração para o caso mais complexo. Nese experimeno foi adoado um faor de suavização de 0,5 para odas as ierações, ou seja, a função de valor foi aualizada, de uma ieração para a seguine, pela média enre o acumulado aé a ieração e o valor da nova ieração considerada. Ese faor deve ser calibrado para o paricular caso raado, endo-se em cona que valores mais elevados esarão conduzindo a uma solução mais rápida, porém em derimeno da conservação da memória dos valores aneriormene considerados, o que compromee a esimaiva da função densidade de probabilidade, em problemas esocásicos. O valor obido uilizando-se a écnica de subproblemas, em odos os experimenos, foi idênico ao valor óimo fornecido pelo processo de oimização global da rede, o que comprova a eficácia do modelo quando aplicado com a écnica uilizada no experimeno. A configuração do experimeno em que a oimização foi obida apenas na 7ª ieração é de paricular ineresse para a análise do funcionameno do modelo. Nese caso, a demanda para cargas na locação 3 no erceiro período de empo (5 cargas) apresenou uma quanidade sensivelmene superior às demais quanidades demandas e, além disso, um valor de recompen- TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008 45

sa pelo aendimeno foremene mais araivo que os demais. Tendo em visa a disponibilidade oal de veículos ser de apenas 6, a cada ieração a função de valor nesse pono (locação 3, 3º período) apresenou um incremeno suficiene para propiciar o direcionameno da rede em função dessas cargas privilegiadas em recompensa. O gráfico apresenado na Figura 3 mosra a evolução da função de valor (as linhas correspondem às 6 ierações, da inferior para a superior). Pode-se noar a convergência de valores à medida que as ierações ocorrem; as úlimas 6 funções aparecem, no gráfico, como praicamene uma só linha. Figura 3: Função de Valor Evolução a cada ieração Os eses efeuados mosram que o empo de processameno para os subproblemas independe da magniude do horizone de planejameno, enquano o empo de processameno para a solução do problema global cresce à medida que se consideram problemas de maior dimensão. Eses resulados permiem que o méodo seja esendido para problemas de dimensões reais; nese momeno, esá sendo desenvolvida uma a- plicação do méodo para o ranspore rodoviário de cargas no Mercosul, uilizando um modelo esocásico e muliperíodo. Considera-se, ainda, a possibilidade de uma linha fuura de pesquisa para raar o caso de veículos heerogêneos (Topaloglu; Powell, 2006). O méodo apresenado, por ouro lado, pode ser aplicado à solução de problemas de Programação Dinâmica em geral, o que viabiliza a sua uilização para sisemas de apoio à decisão associados a aividades cujas caracerísicas conduzem nauralmene a essa forma de modelagem. AGRADECIMENTOS Os auores agradecem o supore écnico do LPT / EPUSP Laboraório de Planejameno e Operação de Transpores da Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. Embora o problema ese enha dimensões relaivamene reduzidas, o empo de processameno compuacional foi da ordem de segundo, o que permie considerar a sua aplicabilidade a casos de dimensões sensivelmene maiores. Cabe lembrar que a solução em eságios, própria da Programação Dinâmica, não implica aumeno do amanho do problema a resolver em cada eságio se o horizone de empo a considerar for esendido. Passa a haver, simplesmene, uma maior quanidade de subproblemas (eságios) a compuar. Assim, se o problema resolvido ivesse um horizone de 30 períodos, a solução do problema de oimização global consumiria um empo de compuação maior que a solução para 3 períodos, embora o empo de solução para cada subproblema permanecesse o mesmo. 5. CONCLUSÕES Nese rabalho foi apresenado um méodo de Programação Dinâmica Adapaiva para a solução do problema de alocação de recursos de ranspore a cargas rodoviárias de longa disância. O méodo consise na resolução de subproblemas correspondenes a cada período de empo, uilizando-se uma esimaiva de função de valor para a oimização da rede em odo o horizone de planejameno. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Crainic, T.G. (2003) Long-haul freigh ransporaion. In: Handbook of ransporaion science, Randolph W. Hall (ed.). 2a. edição. Boson: Kluwer Academic Publishers. Crainic, T., Gendreau, M. e Dejax, P. (993) Dynamic sochasic models for he allocaion of empy conainers. Operaions Research, v. 4, p. 02-26. Crainic, T., Roy J. (992) Design of regular inerciy driver roues for he LTL moor carrier indusry. Transporaion Science, Balimore, v. 26, p. 280-295. Ford, L.R., Fulkerson, D.R. (962) Flows in Neworks. New Jersey: Princeon Universiy Press. Franzeskakis, L.F., Powell, W.B. (990) A successive linear approximaion procedure for sochasic, dynamic vehicle allocaion problems. Transporaion Science, Balimore, v. 24 (), p. 40-57. Godfrey, G.A.; Powell, W.B. (200) An adapive, disribuion free algorihm for he Newsvendor Problem wih censored demands, wih applicaions o invenory and disribuion problems. Managemen Science, v. 47 (8). Godfrey, G.A., Powell, W.B. (2002a) An adapive dynamic programming algorih for dynamic flee managemen, I: single period ravel imes. Transporaion Science, Balimore, v. 36 (), p. 2-39. Godfrey, G.A., Powell, W.B. (2002b) An adapive dynamic programming algorihm for dynamic flee managemen, II: muliperiod ravel imes. Transporaion Science, Balimore, v. 36 () p. 40-54. Gualda, Nicolau Dionísio Fares (995) Terminais de ranspores: conribuição ao planejameno e ao dimensionameno operacional. Tese (Livre-Docência) Deparameno de Engenharia de Transpores, Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo. Haghani, A. (989) Formulaion and soluion of a combined rain rouing and makeup, and empy car disribuion model. Transporaion Research, v. 23B (6), p. 433-452, 989 Hane, C.; Barnhar, C.; Johnson, E.; Marsen, R.; Nemhauser, G.; Sigismondi G. (995) The flee assignmen problem: solving a largescale ineger program. Mahemaical Programming, Amserdan, v. 70, p. 2-232. Jensen, P.A. (2008) Operaions Research Models and Mehods. Inerne: hp://www.me.uexas.edu/~jensen/ormm/. Acesso em 3 fev. 2008 Jordan, W., Turnquis, M. (983) A sochasic dynamic nework model for railroad car disribuion. Transporaion Science, Balimore, v. 7, p. 23-45. 46 TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008

Mendiraa, V., Turnquis, M. (982) A model for he managemen of empy freigh cars. Transporaion Research Record, v. 838, p. 50-55. Powell, W.B. (986) A sochasic model of he dynamic vehicle allocaion problem. Transporaion Science, v. 20 (2), p. 7-29. Powell, W.B. (2003) Dynamic models of ransporaion operaions. In: Handbooks in Operaions Research and managemen science, : Supply Chain Managemen: design, coordinaion and operaion. A.G. de Kok e Sephen C. Graves (eds), Amserdan; Boson: Elsevier. Powell, W.B.; Carvalho, T.A. (998) Dynamic conrol of logisics queueing neworks for large-scale flee managemen. Transporaion Science, v. 32 (2), p. 90-09. Powell, W.B.; Carvalho, T.A.; Godfrey, G.A.; Simão. H.P. (995) Dynamic flee managemen as a logisics queueing nework. Annals of Operaions Research, v. 6, p. 65-68. Powell, W.B.; Franzeskakis, L. (994) Resriced recourse sraegies for dynamic neworks wih random arc capaciies. Transporaion Science, v. 28 (), p. 3-23. Powell, W.B.; Jaille, P.; Odoni, A. (995) Sochasic and dynamic neworks and rouing. In: Handbook in Operaions Research and Managemen Science, 8: Nework Rouing. M.O. Ball e al. (eds), Amserdan; Boson: Elsevier, p. 4-295. Powell, W.B., Sheffi, Y. (989) Desgin and implemenaion of an ineracive opimizaion sysem for nework design in he moor carrier indusry. Operaions Research, v. 37 (), p. 2-29. Topaloglu, H. ; Powell, W.B. (2006) Dynamic programming approximaions for sochasic ime-saged ineger mulicommodiy-flow problems. INFORMS Journal on Compuing, v. 8 (), p. 3-42. Whie, W.W. (972) Dynamic ransshipmen neworks: an algorihm and is applicaion o he disribuion of empy conainers, Neworks, v. 2, p. 2-236. TRANSPORTES, v. XVI, n. 2, p. 4-47, dezembro 2008 47