AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc MATEMÁTICA FINANCEIRA Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc Pra que serve a Matemática Financeira? 1
NOÇÕES GERAIS SOBRE A MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA FINANCEIRA? A matemática financeira é o ramo da matemática que estuda a relação entre o dinheiro e o tempo. Essa ferramenta é utilizada para que o administrador tome as decisões de investimento e aplicação de recursos, na medida em que utiliza critérios financeiros. CONCEITOS IMPORTANTES. Capital: é uma quantidade qualquer de moedas, em determinado tempo. Também é conhecido como valor presente VP. Exemplo: Imagine que você depositou em sua caderneta de poupança $ 500,00. É correto você afirmar que fez uma aplicação de um capital no valor de $550,00. Exemplo: Imagine que você vai abrir um empresa, a soma dos equipamentos necessários para a abertura dessa empresa também serão denominados de capital inicial. 2
CONCEITOS IMPORTANTES. Taxa de juros: A taxa de juros é um coeficiente que expressa o quanto de juros será pago nas operações. A notação utilizada é i e os valores são expressos em %. Imagine que em uma operação de empréstimo a pessoa pague $ 20, se o valor emprestado for de $100, então a pessoa emprestou? i = juros/capital = 20/100 = 0,2 ( 0,2x100 = 20%) ou 20%. CONCEITOS IMPORTANTES Fluxo de caixa: consiste nas disposição das entradas e saídas de caixa em uma empresa, na conta corrente de um individuo ou na dinâmica de pagamentos de dividendos de um portfólio. Entradas de caixa 2000 1000 0 1 2 3 Saídas de caixa -1000-500 -1500 CONCEITOS IMPORTANTES Juros : O juros é a remuneração do capital por sua utilização durante determinado período. Para quem empresta o dinheiro, o juros é uma especie de retorno ou prêmio por ter deixado de consumir em determinado período. Para quem está tomando o empréstimo, o juros é o custo necessário para esse procedimento. 3
CONCEITOS IMPORTANTES Montante é o valor de resgate de qualquer transação financeira, ou seja, corresponde a soma do capital mais o juros da operação: Montante = Capital + Juros. Se você emprestar $ 100,00 a um colega de sala, a um juros de $ 20 por mês, então ao final do primeiro mês da dívida você deverá resgatar um montante de $ 120,00. CONCEITOS IMPORTANTES. Custo de oportunidade: Em economia as pessoas se deparam com Trade offs, que se trata de escolhas conflitantes. Quando você faz uma opção por determinado investimento, deve ter em mente que seu custo econômico será um outro investimento com rentabilidade superior ao que você escolheu. Para avaliar essas escolhas é útil a ferramenta da matemática financeira. O Aluno Joãozinho decidiu arrumar um emprego de frentista de um posto de gasolina para pagar a universidade. O salário ofertado foi de $ 622 com tempo disponível para estudar, num mesmo período foi lhe feito uma segunda proposta, onde o salário foi de $800,00 entretanto o não haverá tempo para Joãozinho cursar a universidade. Qual a melhor decisão a ser tomada? REGIME DE JUROS SIMPLES 4
JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. JUROS SIMPLES Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. EXEMPLO Se dissermos que um empréstimo de R$ 1000,00 cobra juros de R$ 5,00 isso representará uma variação grande ou pequena? 5
1. PRAZO COMERCIAL (JUROS COMERCIAIS) Todos os meses são considerados com 30 dias e o ano contendo 360 dias. JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS 1. PRAZO EXATO (JUROS EXATOS) Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. JUROS SIMPLES Um capital C, empregado durante n períodos, à taxa i, produz juros J, dados por: J = C i n e um montante igual a: M = C( 1+ i n) JUROS SIMPLES EXEMPLOS 1. Um capital de R$20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a, pelo prazo de 8 meses. Determine os juros produzidos. R$ 4.000,00 6
JUROS SIMPLES EXEMPLOS 2. Um capital de R$23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 9% a.a. Determine o montante dessa aplicação. R$24.910,00 JUROS SIMPLES EXEMPLOS 3. Uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 8 meses resultou num montante de R$66.000,00. Qual foi a taxa desta aplicação? 4% a.m. JUROS SIMPLES EXEMPLOS 4. De quanto seria o juro produzido por um capital de R$2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa de 12% ao mês? R$ 920,00 7
PRAZO MÉDIO Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que PRAZO MÉDIO é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. PRAZO MÉDIO PM P PRAZO = ( P C T) ( C T) C CAPITAL T - TAXA PRAZO MÉDIO EXEMPLO: Três capitais de R$1000,00, R$2000,00 e R$3000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria o prazo médio para essas três aplicações? 45 dias 8
PRAZO MÉDIO EXEMPLO José Roberto fez quatro aplicações, à mesma taxa de juros simples, com valores de R$ 2.000,00, R$ 1.500,00, R$ 4.500,00 e R$ 3.000,00, pelos prazos, respectivamente, de 6 meses, 1 ano, 4 meses e 8 meses. Calcule o prazo médio. 6,55 meses TAXA MÉDIA TAXA MÉDIA é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. TAXA MÉDIA TM = ( P C T ) ( P C) P PRAZO C CAPITAL T - TAXA 9
TAXA MÉDIA EXEMPLO: Três capitais de R$1000,00, R$2000,00 e R$3000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria a taxa média para essas três aplicações? 3% a.m. CAPITAL MÉDIO CAPITAL MÉDIO é um capital único tal que, substituindo os capitais de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. CAPITAL MÉDIO CM = ( P C T ) ( P T ) P PRAZO C CAPITAL T - TAXA 10
EXERCÍCIO AVALIATIVO Considere o total de juros simples obtidos pelas aplicações de R$300,00 por 1 mês à taxa de 2% a.m., R$100,00 por 3 meses à taxa de 3% a.m. e R$200,00 por 2 meses à taxa de 2% a.m. a) Qual a taxa única que resultaria na mesma quantidade de juros produzidos? b) Qual o prazo único? c) Qual o capital único? REGIME DE JUROS COMPOSTOS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Conceito fundamental na resolução de problemas de calculos financeiros Permite transformar formas de pagamentos em outras diferentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Um prédio é vendido por 5.000.000,00 à vista ou então a prazo, em três parcelas mensais de 1.700.000,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos de 2% a.m. e tem fundos suficientes para pagar à vista: 11
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Dois conjuntos de capitais separados por n períodos de tempo. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: x x (1+i) n = y 0 n y Alguma novidade 0 n x = y / (1+i) n EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Conjunto de capitais y 0 y 1 Y 2... y n V Y 0 1 2 n Y = 1 2 n Yo + + +... + 1 2 n (1 + i) (1 + i) (1 + i) n j V = j = 0 + j (1 i) Y Y EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Conjunto de capitais equivalentes y 0 y 1 Y 2... y n 0 1 2 n x 0 x 1 x 2... x n 0 1 2 n Dois conjuntos de capitais são equivalentes a uma taxa de juros compostos i se seus valores atuais forem iguais. V 1 = V 2 12
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, uma vez verificada a equivalência para certa data focal, esta será válida para qualquer outra = transitividade O mesmo não vale para Juros Simples! EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Voltando ao exemplo: O comprador pode pagar o terreno a vista, ou dividir em 3 parcelas. Como os fluxos estão em datas diferentes, devemos trazer para uma data igual (no caso do exemplo o mais fácil é trazer para data 0 e comparar os valores). Alternativa 1: Pagar a vista R$5.000.000 (já esta na data 0) Alternativa 2: Três parcelas de R$1.700.000 (para daqui a 1, 2 e 3 meses). Data 0 1 2 3 Alternativa 1-5.000.000,00 Alternativa 2-1.700.000,00-1.700.000,00-1.700.000,00 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS Uma dívida de 1.000 vence daqui a dez meses. Entretanto, o devedor faz uma proposta de renegociação do saldo devedor em três parcelas semestrais iguais contados a partir de hoje. A juros compostos de 5% a.s., analise se a proposta vale a pena para quem fez o empréstimo. 13
EXERCÍCIO AVALIATIVO 1. Uma nota promissória, cujo valor nominal é de 50.000,00 vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% a.m. 52.020,00 2. Uma pessoa tem um dívida de 60.000 para daqui a 2 meses e outra de 80.000 para daqui a 3 meses. Quanto deve aplicar hoje a taxa de juros de 2% a.m. Para fazer frente a essas dívidas 133,055,91 TAXAS DE JURO TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são ditas equivalentes, quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante e, portanto, o mesmo juro. 14
TAXAS EQUIVALENTES CUIDADO Na capitalização simples, taxas equivalentes também serão proporcionais, o que não ocorre no sistema de capitalização composta. TAXAS EQUIVALENTES Na capitalização composta, podemos encontrar taxas equivalentes da seguinte forma: TAXAS EQUIVALENTES EXEMPLOS: 1. Qual é a taxa de juros simples mensal equivalente à taxa anual de 36% ao ano? 3% a.m 2. Qual é a taxa de juros simples semestral equivalente a 5% ao bimestre? 15% a.s 15
TAXAS EQUIVALENTES 3. Qual é a taxa bimestral equivalente à taxa de juros compostos de 20% a.m.? 44% a.b 4. Qual é a taxa bimestral equivalente a taxa semestral de 30% a.s., a juros compostos? 9,1% a.b TAXA NOMINAL Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo é diferente da unidade de tempo dos períodos de capitalização. TAXA NOMINAL EXEMPLOS: 1. 60% a.a. com capitalização mensal 2. 40% a.a. com capitalização bimestral 3. 18% a.m. com capitalização diária 16
TAXA EFETIVA Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. TAXA EFETIVA EXEMPLOS: 1. 15% ao mês com capitalização mensal. 2. 24% ao semestre com capitalização semestral. 3. 120% ao ano com capitalização anual. TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA EXEMPLOS: 1. Encontre a taxa efetiva de: a) Uma taxa nominal de 60% a.a. com capitalização mensal. 3,99% a.m b) Uma taxa nominal de 60% a.a. com capitalização bimestral. 8,15% a.b 17
TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA EXEMPLOS: 2. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado, sob o regime de capitalização composta, à taxa nominal de 120% a.a. com capitalização mensal, pelo prazo de 3 anos. Determine o montante ao final da aplicação. M = R$ 21.296,00 TAXA REAL E TAXA APARENTE REAL é a taxa aparente descontado a inflação do período. A taxa real reflete com maior precisão o ganho real de um investimento por considerar a perda com a desvalorização causada pela inflação do período. APARENTE é a taxa efetiva da operação. (1 + i a ) = (1 + i r ) (1 + i i ) TAXA REAL E TAXA APARENTE EXEMPLOS 1. Se, em determinado ano, a inflação for igual a 20%, será mais atraente para um investidor fazer suas aplicações à taxa real de 10% do que à taxa aparente de 30%. CERTO 18
TAXA REAL E TAXA APARENTE EXEMPLOS 2. A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: 5%a.a. OPERAÇÃO DE DESCONTO DESCONTOS O cálculo do desconto refere-se ao valor de um título numa data antes de seu vencimento; O desconto é a diferença entre o valor de resgate e o valor presente do título na data da operação. D = V f V p 19
SITUAÇÃO EXEMPLO: Você é um fornecedor de matériaprima para a indústria automotiva. Ao fornecer um lote de mercadorias recebe um cheque pré-datado com vencimento em 60 dias. Estando na época de pagar os seus funcionários, você precisa de capital para fazer os respectivos depósitos. Como fazer para ter dinheiro hoje? RESPOSTA: Você pode ir até o banco e antecipar o recebimento do cheque, porém o banco irá cobrar por esta antecipação. Esta cobrança efetuada pelo banco é o que chamamos de desconto. TIPOS DE DESCONTOS Desconto Simples (Bancário ou comercial) A taxa de desconto incide sobre o valor futuro do título (D = VF.i d.n) Valor descontado (VP=VF - D) Desconto Composto A taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. D = VF[(1+i d ) n -1] Valor descontado VP = VF - D 20
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES O desconto praticado pelo mercado é o desconto simples, por que? O desconto composto existe na teoria, porém na prática não é usado. EXEMPLO 1 Uma duplicata de $70.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. D = VF.i d.n D = 70.000 x 3 x 0,027 = 5.670,00 VP = VF D VP = 70.000,00 5.670,00 = $ 64.330,00 EXEMPLO 2 Calcular o valor do desconto de um título de 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 3% ao mês. D = VF id n 115 D = 100.000 0,03 30 D = $11.500,00 21
EXERCÍCIO AVALIATIVO 1 Uma duplicata de $5.000,00, com vencimento para 125 dias, foi descontada por um banco à taxa de 3,6% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. (SIMPLES) $ 4.250,00 EXERCÍCIO AVALIATIVO 2 Calcular o valor do desconto de um título de $34.000,00, com 200 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 20% ao ano. (COMPOSTO) $ 3.624,31 SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS - AMORTIZAÇÃO 22
AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO é o pagamento do capital emprestado, realizado por meio de prestações periódicas que podem ser mensais, bimestrais, semestrais, etc. AMORTIZAÇÃO Para Raymundo e Franzin, 2003, amortização é um processo financeiro pelo qual uma obrigação (ou o principal) é sanada progressivamente por meio de pagamentos periódicos, de tal forma que, ao término do prazo estipulado, o débito seja liquidado. AMORTIZAÇÃO Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é: PAGAMENTO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 23
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 1. Sistema de Amortização Constante (SAC) 2. Sistema Francês (PRICE) 3. Sistema Americano (só paga os juros e no final do período quita integralmente) 4. Sistema Alemão (parcelas iguais mas é feito um pagamento antecipado de parte dos juros) 5. Sistema de Amortização Misto (SAM) - as prestações são as médias aritméticas das prestações do sistema de amortização constante com o sistema francês. Os juros é a multiplicação do saldo devedor com a taxa de desconto e a amortização é a subtração das prestações com os juros 6. Sistema de Amortização Crescente (SACRE) O valor das parcelas vai diminuindo e a parte correspondente à amortização vai crescendo. SISTEMA PRICE SISTEMA SAC 24
SISTEMA SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Nesse sistema, a amortização da dívida é constante e igual em cada período, sendo que a soma do valor da amortização mais o dos juros fornecerá o valor da prestação. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Sendo D 0 o saldo devedor inicial, a ser amortizado em k parcelas, o valor de cada amortização será: Em seguida aplica-se o cálculo do juro para os periodos D m = k 0 25
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) EXEMPLO Calcule a amortização usando o Sistema de Amortização Constante (SAC) de um financiamento de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) n SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 EXERCÍCIO AVALIATIVO Na compra de uma nova linha de produção no valor de R$ 150.000,00, você fez um financiamento no valor total em um banco com juros de 3% a.m, a ser pago em 6 meses. Calcule as parcelas usando o Sistema de Amortização Constante (SAC). 26
EXERCÍCIO (SAC) n SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE(SAC) Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 - - - 150.000,00 1 4.500,00 25.000,00 29.500,00 125.000,00 2 3.750,00 25.000,00 28.750,00 100.000,00 3 3.000,00 25.000,00 28.000,00 75.000,00 4 2.250,00 25.000,00 27.250,00 50.000,00 5 1.500,00 25.000,00 26.500,00 25.000,00 6 750,00 25.000,00 25.750,00 - SISTEMA PRICE Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações iguais, periódicas e sucessivas. As prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de amortização. SISTEMA PRICE Pagamento em Parcelas Constantes Método mais comumente utilizado no Brasil Cálculo da Parcela: V P P P 0 1 2 n = (). () 27
SISTEMA PRICE EXEMPLO Um financiamento de R$ 10.000,00 será pago em 5 prestações mensais, sem período de carência, a à taxa de juros de 10% a.m., utilizando-se a TABELA PRICE. Determine o valor das prestações e construa a planilha de amortização. SISTEMA PRICE n Juros SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 - - - 10.000,00 1 1.000,00 1.637.97 2.637,97 8.362,03 2 836,20 1.801,77 2.637,97 6.560,26 3 656,03 1.981,94 2.637,97 4.578,32 4 457,83 2.180,14 2.637,97 2.398,18 5 239.82 2.398,18 * 2.637,97 - EXERCÍCIO Na compra de um apartamento de R$150.000,00, você fez um financiamento em um banco com juros de 3% a.m, a ser pago em 6 meses. Calcule a amortização usando o Sistema de Amortização Francês (PRICE). 28
PRICE n SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 0 0 0 150.000,00 1 4.500,00 23.189,63 27.689,63 126.810,40 2 3.804,31 23.885,31 27.689,63 102.925,10 3 3.087,75 24.601,87 27.689,63 78.323,19 4 2.349,70 25.339,93 27.689,63 52.983,26 5 1.589,50 26.100,13 27.689,63 26.883,13 6 806,50 26.883,13 27.689,63 0 TREINAMENTO Um projeto foi aprovado no BNDES no valor total de R$ 500.000,00 sendo que a empresa deverá arcar com 10% do projeto e o banco com o restante. Os dados da operação são: Taxa de 3,5% a.a. com capitalização mensal Carência de 2 anos Tempo total da operação: 5 anos Calcule pelo sistema PRICE as parcelas do primeiro ano. TREINAMENTO Durante a execução de um projeto, o fabricante de compressores realizou a venda no valor de R$ 150.000 a prazo com pagamentos mensais pelo SAC. Considerando que a taxa negociada foi de 3,0% a.m. e foi parcelado em 6 meses, calcule as parcelas e monte a tabela SAC 29
TREINAMENTO Em um projeto em execução, houve uma sobra de verba no valor de R$ 50.000. O gerente resolveu antecipar o pagamento de um equipamento previsto para daqui a 3 meses no valor de 70.000. Quanto deverá ser a taxa de desconto a ser negociada com o fornecedor para que seja utilizado o saldo do projeto? Que argumentos você utilizará para efetivar a operação? TREINAMENTO 1. Bernardo realizou um empréstimo de R$ 2.000,00 em um banco a uma taxa de juros de 5% ao mês. O contrato de quitação da dívida estabeleceu o pagamento em 4 prestações, a primeira vencendo dentro de um mês e as demais a intervalos de 1 mês. Calcule o total de juros pagos por Bernardo ao Banco dado o seguinte sistema de amortização: a) SAC b) PRICE EXERCÍCIOS n SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 - - - 2.000,00 1 100,00 500,00 600,00 1.500,00 2 75,00 500,00 575,00 1.000,00 3 50,00 500,00 550,00 500,00 4 25,00 500,00 525,00-250,00 - - - 30
EXERCÍCIOS n SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor 0 0 0 0 2.000,00 1 100,00 464,02 564,02 1.535,98 2 76,80 487,22 564,02 1.048,75 3 52,44 511,58 564,02 537,16 4 26,86 537,16 564,02-256,09 31