MAT Resumo Teórico e Lista de

MAT 0132 - Resumo Teórico e Lista de Exercícios April 10, 2005 1 Vetores Geométricos Livres 1.1 Construção dos Vetores 1.2 Adição de Vetores 1.3 Multiplicação de um Vetor por um Número Real 2 Espaços Vetoriais 2.1 Introdução As operações de adição de vetores e de multiplicação de vetor por um número real, com as propriedades mencionadas acima, dão ao conjunto V dos vetores geométricos livres uma estrutura matemática conhecida em álgebra como estrutura de espaço vetorial, mais precisamente de espaço vetorial com escalares reais. Os espaços vetoriais são estudados de forma detalhada em um ramo da matemática conhecido como Algebra Linear. Apesar do estudo que vamos fazer de cálculo vetorial poder ser feito de forma totalmente independente da álgebra linear acreditamos que alguns dos conceitos com que teremos de lidar podem ter sua importância e generalidade melhor avaliados quando analisados no contexto da álgebra linear. Em razão disso, daremos alguns exemplos adicionais de espaços vetoriais e definiremos algumas das noções com que teremos de trabalhar no cálculo vetorial clássico, no contexto mais geral da álgebra linear. 1

2.1.1 Definição Dizemos que um determinado conjunto V de objetos matemáticos está munido de uma estrutura de Espaço Vetorial se as seguintes condições estiverem verificadas: 1. Está definida em V uma operação de adição de elementos de V satisfazendo as propriedades: A 1 ) Associativa (u + v) + w = u + (v + w) A 2 ) Comutativa u + v = v + u A 3 ) Existência de elemento neutro para a adição Existe um elemento em V, que sera indicado por 0 tal que u + 0 = 0 + u qualquer que seja o elemento u de V. A 4 ) Todo elemento possui um simétrico aditivo Qualquer que seja o elemento u de V existe um elemento em V que indicaremos por u tal que u + ( u) = 0 2. Está definida uma operação de multiplicação de elementos de V por números reais (escalares) satisfazendo as propriedades: M 1 ) (α + β)u = αu + βu M 2 ) α(u + v) = αu + αv M 3 ) (αβ)u = α(βu) M 4 ) 1u = u Quaisquer que sejam os vetores e números reais envolvidos. Os elementos de um espaço vetorial, qualquer que seja ele, são habitualmente chamados de vetores. É usual, neste contexto, nos referirmos aos números reais chamando-os de escalares. 2

2.1.2 Exemplos Num estudo sistemático de Algebra Linear costuma-se oferecer um grande número de exemplos de espaços vetoriais pois essa estrutura, além de muito importante aparece naturalmente num grande número de situações. Como não estamos fazendo um estudo sistemático desse assunto vamos nos limitar a um pequeno número de exemplos que são suficientes para ilustrar o que temos em mente. 1. V = Conjunto dos Vetores Geométricos Livres 2. V = IR 3 Conjunto das triplas ordenadas de números reais. 3. V = P (IR) Conjunto dos polinômios de uma variável com coeficientes reais. 4. V = M m n (IR) Conjunto das matrizes de números reais, com m linhas e n colunas. 2.2 Subespaços Vetoriais Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. Como os vetores de S estão em V podemos operar com os vetores de S usando as operações de V. Para que essa maneira de operar com os elementos de S seja uma operação em S é preciso exigir que a adição de vetores de S esteja em S e que a multiplicação de um vetor de S por um número real esteja em S. Quando isso ocorre diremos que S herda as operações de V e que S é um subespaço vetorial de V. Essas consideracões sugerem a seguinte definição formal de subespaço vetorial: Um subconjunto S de V chama-se um subespaço vetorial de V se as seguintes condições estiverem verificadas: 1. 0 S 2. Se u S e v S então, u + v S 3. Se λ IR e u S então λu S 3

2.2.1 Exemplos 1. S = {0} V 2. S = V V 3. P k (IR) P (IR) Usaremos a notação P k (IR) para indicar o conjunto formado pelos polinômios de grau k e pelo polinômio identicamente nulo. 4. S IR 3 S é o conjunto formado pelas triplas (x 1, x 2, x 3 ) de IR 3 que são soluções de um sistema de equações lineares homogêneas com três incógnitas. 2.3 Combinação Linear, Sistemas de Geradores Seja V um espaço vetorial e A = {e 1, e 2,... e k } um subconjunto, não vazio, de vetores de V. Dizemos que um vetor u é combinação linear de vetores de A se existirem escalares (números reais) α 1, α 2,... α k tais que u = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α k e k Observe que, se indicarmos por [A] o conjunto de todos os vetores que são combinações lineares de vetores de [A], temos imediatamente que 0 [A]. Alem disso, se u e v estão em [A] o mesmo acontece com o vetor u + v. Finalmente se u [A] e λ é um escalar então, λu [A]. Essas considerações mostram que o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de A é um subespaço vetorial de V. Esse subespaço é chamado de subespaço de V gerado por A e será sistematicamente indicado por [A]. Quando ocorrer a igualdade [A] = V diremos que o conjunto A é um conjunto (ou sistema) de geradores de V. Uma convenção que, como o leitor terá oportunidade de verificar, facilita muito a linguagem é estabelecer que quando o conjunto A é o conjunto vazio o subespaço por ele gerado é o subespaço que contem apenas o vetor nulo, em símbolos 4

[ ] = {0} Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se V for gerado por um conjunto finito. Entre os exemplos de espaços vetoriais mencionados acima o único que não é finitamente gerado é o espaço vetorial dos polinômios. 2.3.1 Exercícios 1. Mostre que: (a) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é um sistema de geradores de IR 3. {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 1 0 0 0 0 (b) G =,,, 0 0 0 0 1 0 0 1 é um conjunto de geradores de M 2 2 (IR). (c) O espaço vetorial dos vetores geométricos livres possue um conjunto de geradores com tres vetores. (d) A = {1, x, x 2,..., x n,...} é um conjunto de geradores de P (IR). (e) Mostre que P (IR) não pode ser gerado por um conjunto finito. 2. Verifique que as afirmações abaixo estão corretas: (a) A [A] (b) [[A]] = [A] (c) Se A B então [A] [B] (d) Se S é um subespaço vetorial de V e A S então, [A] S. (e) [(1, 0), (0, 1)] = [(1, 0), (1, 1)] (f) [e 1, e 2, e 3 ] = [e 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 ] (g) Quaisquer que sejam os números reais λ 2, λ 3, vale a igualdade [e 1, e 2, e 3 ] = [e 1, e 2 + λ 2 e 1, e 3 + λ 3 e 1 ] 3. Para que valores de α o conjunto G = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, α, 1)} é um conjunto gerador de IR 3? 5

4. Mostre que G = {( 1 0 0 0 ), ( a 1 0 0 ), ( b c 1 0 ), ( d e f 1 é um conjunto de geradores de M 2 2 (IR) quaisquer que sejam os valores dos parâmetros a, b, c, d, e, f. 5. Prove que o conjunto G = {1, (2 x), (2 x) 2,..., (2 x) 7 } gera o espaço vetorial P 7 (IR) dos polinômios de grau 7 6. Seja V um espaço vetorial e V um subespaço de V. Prove que V = [V S] 2.4 Dependência e Independência Linear Seja A = {e 1, e 2,..., e n } um conjunto, não vazio, de vetores de V. Dizemos que o conjunto A é linearmente dependente (L.D) se existirem escalares α 1, α 2,..., α n, não todos nulos, tais que α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n = 0 Dizemos que A é linearmente independente (L.I) se A não for linearmente dependente. Decorre imediatamente dessa definição que para provarmos que o conjunto A = {e 1, e 2,, e n } é L.I devemos mostrar que a igualdade α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n = 0 só pode ser verdadeira se α 1 = α 2 = = α n = 0 As definições que demos acima de dependência e independência linear não se aplicam ao conjunto vazio tornando-o um caso excepcional. A melhor forma de contornar essa inconveniência e uniformizar a linguagem é convencionar que o conjunto vazio é linearmente independente. 2.4.1 Exercícios 1. Mostre que o conjunto A = {u} é L.I se e somente se u 0 2. Mostre que os conjuntos abaixo são linearmente independentes. (a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} )} 6

(b) {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} (c) {1, 1 + t, 1 + t + t 2 } (d) {t 2, t 2 + 1, t 2 + t + 1} {( ) ( ) ( 1 0 1 1 1 1 (e),, 0 0 0 0 1 0 ), ( 1 1 1 1 3. Seja V o espaço vetorial dos vetores geométricos livres. Mostre que: (a) Dois vetores, não nulos, de V são linearmente dependentes se e somente se eles forem paralelos. (b) Suponha que A = { x, y, z}, é um subconjunto de V tal que qualquer subconjunto de A com dois elementos é linearmente independente. De uma condição geométrica sobre os vetores de A para que esse conjunto seja L.D. 4. Seja V um espaço vetorial e A e B subconjuntos de V. Mostre que A é L.I se e somente se, B é L.I (a) Se A = {e 1, e 2 } e B = {e 1 + e 2, e 1 e 2 } )} (b) Se A = {e 1, e 2, e 3 } e B = {e 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 } 5. Mostre que as afirmações abaixo são equivalentes quaisquer que sejam os escalares λ 2 e λ 3 (a) {e 1, e 2, e 3 } é L.I. (b) {e 1, e 2 + λ 2 e 1, e 3 + λ 3 e 1 } é L.I. 6. Sejam A e B subconjuntos de um espaço vetorial V. Mostre que: (a) Se A B e B é L.I. então, A é L.I. (b) Se A B e A é L.D. então, B é L.D. 7. Se o espaço vetorial V possui um conjunto de geradores com um único elemento, então qualquer subconjunto de V com dois elementos é linearmente dependente. 7

8. Se o espaço vetorial V possui um conjunto de geradores com dois vetores, então qualquer subconjunto de V com tres elementos é linearmente dependente. Generalize esse resultado para espaços vetorias finitamente gerados. 9. Seja A = (a ij ) M m n (IR) uma matriz tal que a ij 0 se i = j a ij = 0 se j < i (a) Explicite algumas matrizes satisfazendo essas condições. (b) Mostre que as linhas, não nulas, de matrizes desse tipo são vetores linearmente independentes de IR n. 10. Considere os vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) de IR 3. Demonstre que as condições abaixo são equivalentes: (a) u, v e w são linearmente independentes. u 1 u 2 u 3 (b) det v 1 v 2 v 3 0 w 1 w 2 w 3 11. Seja e 1, e 2,..., e n (n > 2) uma sequência de vetores não nulos de um espaço vetorial V. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) A sequência e 1, e 2,..., e n é linearmente dependente. (b) Existe um natural k, 2 k n e escalares α 1, α 2,..., α k+1 tal que e k = α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + α k 1 e k 1 2.5 Base e Dimensão Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B = {e 1, e 2,..., e n } de vetores de V satisfazendo às seguintes condições: 1. B é linearmente independente 8

2. B é um sistema de geradores de V Na prática trabalharemos sempre com bases ordenadas, isto é, suporemos que os vetores da base formam um conjunto ordenado. Em geral a ordem é a definida pela ordem crescente dos índices que usamos na enumeração dos vetores da base. Embora não se pretenda, nesse curso, ir além do desenvolvimento de um vocabulário inicial de algebra linear, há alguns resultados básicos que iremos utilizar e que serão enunciados 1. Teorema. Todo conjunto L.I. de um espaço vetorial está contido em uma base desse espaço. É importante observar que decorre imediatamente desse resultado que todo espaço vetorial possui uma base. 2. Teorema. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial possuem o mesmo número de elementos. Mais adiante, neste resumo, demonstraremos, no caso de espaços vetoriais finitamente gerados, esses teoremas. Diremos que um espaço vetorial tem dimensão finita se ele possui uma base com um número finito de elementos e que tem dimensão infinita caso contrário. Observe que é o teorema acima que exclue a possibilidade de haver, num mesmo espaço vetorial, uma base com um número finito de elementos e outra com um número infinito. Esse teorema permite ainda que se dê a sequinte definição. Chama-se dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita o número de elementos de uma de suas bases. 1. Exiba bases dos espaços vetoriais indicados abaixo: (a) IR n (b) P(IR) (c) P n (IR) (d) M 3 (IR) (e) S = {A M 3 (IR) : A T = A} A T é a transposta da matriz A. (f) S = {A M 3 (IR) : A T = A} 9

(g) S = {A M 3 (IR) : a ij = 0 se i > j} (h) S = {{x n } IR : x n+2 5x n+1 + 6x n = 0} 2. Verifique que cada um dos subconjuntos abaixo é um subespaço vetorial. Determine, em cada caso, uma base do subespaço. (a) S = { X M 2 (IR) : X comuta com a matriz (b) S = {p P 4 (IR) : p(1) = p( 1) = 0} ( )} 1 2 1 3 (c) S = {p P 4 (IR) : p(0) p (0) = 0 e p(1) 1 2 p (1) = 0} 3. Suponha que S é um subespaço de IR 3 de dimensão 2. Prove que existem a, b, c IR não todos nulos tais que S = {(x, y, z) IR 3 : ax + by + cz = 0} formule e prove um resultado análogo, se dims = 1. a 0 0 4. Seja A = 0 b 0 e 0 0 c S = {X M 3 (IR) : AX = XA} (a) Prove que S é um subespaço vetorial de M 3 (IR) (b) Determine uma base e a dimensão de S quando a = 1, b = 2 e c = 1. (c) Determine uma base e a dimensão de S quando a = 1, b = 1 e c = 1. 5. Demonstre que uma condição necessária e suficiente para que os vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) de IR 3 sejam linearmente dependentes é que: det ( u2 u 3 v 2 v 3 ) ( u1 u = 0 det 3 v 1 v 3 ) ( u1 u = 0 det 2 v 1 v 2 ) = 0 6. Enuncie e demonstre uma condição análoga a do exercício anterior para: 10

(a) Tres vetores de IR 4. (b) Dois vetores de IR 4. 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e E um subconjunto de V com n elementos. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) E é uma base de V. (b) E é linearmente independente (c) E é um sistema de geradores de V. 8. Sejam S 1 e S 2 dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V de dimensão finita. Prove que vale a fórmula dim(s 1 + S 2 ) = dims 1 + dims 2 dim(s 1 S 2 ) 9. Suponha que a matriz A comuta com todas as matrizes de M n (IR). Prove que existe um escalar α tal que A = αi n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. 10. O vetor v = (2, 2, 1, 1) pertence ao subespaço de IR 4 gerado por v 1 = (1, 1, 0, 2), v 2 = ( 1, 1, 1, 0) e v 3 = (1, 1, 1, 4)? Determine α para que u = (2, 2, 1, α) pertença a esse subespaço. 11. Obtenha uma base de S = {p P 3 (IR) : p(1) = p (1) = 0} e estenda-a a uma base de P 3 (IR). 12. Escreva um sistema linear homogêneo cujo espaço-solução seja gerado pelos vetores (1, 1, 2, 1), (0, 1, 2, 1) e ( 1, 1, 0, 1). 13. Considere os subespaços de IR 4 definidos por S 1 = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)], S 2 = {(x, y, z, t) : x y z + t = 0} (a) Determine S 1 S 2 e ache uma base de S 1 S 2 (b) Determine S 1 + S 2 e ache uma base de S 1 + S 2 (c) É verdade que IR4 = S 1 S 2? 11

2.6 Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base 1. Seja V um espaço vetorial e E = {e 1, e 2,..., e n } uma base de V. Dado um vetor u qualquer de V u se escreve de forma única como combinação linear dos vetores da base E. Mais precisamente, existe uma única n- upla (u 1, u 2,..., u n ) de números reais tal que u = u 1 e 1 +u 2 e 2 +...+u n e n. Os números reais u 1, u 2,..., u n chamam-se coordenadas do vetor u em relação à base E. Usaremos a notação (u) E = (u 1, u 2,..., u n ) para indicar as coordenadas do vetor u em relação à base E. Prove que (a) (u + v) E = (u) E + (v) E (b) (λu) E = λ(u) E ( ) 2 1 2. Determine as coordenadas do vetor em relação à base. 1 0 {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 1 1 1 1 1 1 B =,,, 0 0 0 0 1 0 1 1 3 Complementos 1. Considere dois polinômios, não nulos, a(x) e b(x). (a) Prove que se o resto da divisão de um desses polinômios pelo outro for não nulo, então esses polinômios são linearmente independentes. (b) Pode-se afirmar que se o resto dessa divisão for nulo os polinômios são linearmente dependentes? 2. Considere tres pontos A,B e C, não alinhados, do espaço euclidiano tridimensional E 3. Mostre que: (a) O conjunto S formado pelos vetores de V 3 cujos segmentos suporte são paralelos ao plano ABC ( inclua o vetor nulo nesse conjunto ) é um subespaço vetorial de V 3. 12

(b) Os vetores AB e AC de V 3 geram o subespaço S. 3. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 tais que a igualdade Ax = Bx é verdadeira qualquer que seja a matriz x M 3 1 (IR). Mostre que A = B. 4. Escreva um sistema linear homogêneo cujo espaço solução S seja o subespaço vetorial de IR 4 gerado pelos vetores (1, 1, 2, 1), (0, 1, 2, 1) e ( 1, 1, 0, 1), isto é, S = [(1, 1, 2, 1), (0, 1, 2, 1), ( 1, 1, 0, 1)]. Bases. Dimensão 5. É possível encontrar 2 subespaços S 1 e S 2 de IR 3, de dimensão 2, tais que IR 3 = S 1 S 2? 6. Considere os conjuntos S 1 e S 2 formados respectivamente pelas matrizes simétricas e anti-simétricas de ordem n. (a) Prove que S 1 e S 2 são subespaços de M n (IR) e dê as suas dimensões (b) Prove que M n (IR) = S 1 S 2 (c) Dada M M n (IR), determine A S 1, B S 2 tais que M = A+B. Questões de provas 7. (1 ō Prova de MAT-112 1996) Seja V um espaço vetorial e E = {e 1, e 2, e 3 } uma base de V. (a) Mostre que qualquer que seja o vetor u de V o conjunto G = {u, u + e 1, u + e 2, u + e 3 } é um conjunto de geradores de V. (b) O conjunto G pode ser linearmente independente? Justifique. 8. (1 ō Prova de MAT-112 1996) Seja V um espaço vetorial e E = {e 1, e 2, e 3 } um conjunto linearmente independente de V. (a) Sabendo que {e 1, e 2, e 3, u} é linearmente dependente qualquer que seja o vetor u de V, mostre que E é um conjunto de geradores. 13

(b) Qual a dimensão de V? Justifique. 9. Considere o subconjunto T de M 2 (IR) definido por S = {A M 2 (IR) : Traço(A) = 0} (a) Prove que T é um subespaço vetorial de M 2 (IR). (b) Ache uma base de T (c) Estenda a base do subespaço T para uma base de M 2 (IR). 14