Determinante e Matrizes Inversas FFCLRP - USP Departamento de Computação e Matemática 10 de março de 2019 e Matrizes Inversas
1 Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes 2 e Matrizes Inversas
Referência Bibliográfica: [1] Iezzi, G. & Hazzan, S., Fundamentos de Matemática Elementar - Sequências, Matrizes,, Sistemas, Vol. 4, Editora Atual. [2] Caroli,A., Callioli, C. & Feitosa, M. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, 17a. ed., São Paulo, Editora Nobel, 1986. e Matrizes Inversas
Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. e Matrizes Inversas
Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: e Matrizes Inversas
Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: Definição: Dados n objetos distintos a 1, a 2,..., a n, uma permutação detes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. e Matrizes Inversas
Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: Definição: Dados n objetos distintos a 1, a 2,..., a n, uma permutação detes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. Exemplo: 1 2 3 e 2 1 3 são permutações dos objetos 1, 2 e 3. e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, 1 3 2 possui 1 inversão, e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, 1 3 2 possui 1 inversão, 2 1 3 possui 1 inversão, e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, 1 3 2 possui 1 inversão, 2 1 3 possui 1 inversão, 2 3 1 possui 2 inversões, e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, 1 3 2 possui 1 inversão, 2 1 3 possui 1 inversão, 2 3 1 possui 2 inversões, 3 1 2 possui 2 inversões e e Matrizes Inversas
A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2)... 2.1. Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação 1 2 3 possui 0 inversões, 1 3 2 possui 1 inversão, 2 1 3 possui 1 inversão, 2 3 1 possui 2 inversões, 3 1 2 possui 2 inversões e 3 2 1 possui 3 inversões. e Matrizes Inversas
Definição: Seja A = (a ij ) n n uma matriz quadrada. Definimos o determinante de A, e denotamos por det(a) ou A, por det(a) = ρ ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn onde J é o número de inversões da permutação (j 1 j 2... j n ) dos números 1, 2,..., n e ρ indica que a soma é estendida a todas as n! permutações de 1, 2,..., n. e Matrizes Inversas
Exemplo: Determinante de 3a. ordem: Se A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. e Matrizes Inversas
Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. e Matrizes Inversas
Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. Determinante de 1a. ordem: Se A = (a 11 ), então det A = a 11. Exemplo: se A = ( 8), então det A = 8. e Matrizes Inversas
Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. Determinante de 1a. ordem: Se A = (a 11 ), então det A = a 11. Exemplo: se A = ( 8), então det A = 8. ( ) a11 a Determinante de 2a. ordem: Se A = 12, então a 21 a 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Exemplo: det A = 3 1 4 2 = 6 + 4 = 10 e Matrizes Inversas
a 11 a 12 a 13 Determinante de 3a. ordem: Se A = a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Exemplo: 1 3 4 5 2 3 1 4 2 = 49 e Matrizes Inversas
Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. e Matrizes Inversas
Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. e Matrizes Inversas
Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. Exemplo: Se A = [ ] 1 2, então: 3 4 e Matrizes Inversas
Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. [ ] 1 2 Exemplo: Se A =, então: 3 4 C 11 = ( 1) 1+1 4 = 4 C 12 = ( 1) 1+2 3 = 3 C 21 = ( 1) 2+1 2 = 2 C 22 = ( 1) 2+2 1 = 1 e Matrizes Inversas
Exercício: Calcular os cofatores de A = 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 e Matrizes Inversas
O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, e Matrizes Inversas
O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, - fixando a coluna j: det A = n i=1 C ij a ij ; e Matrizes Inversas
O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, - fixando a coluna j: det A = n i=1 C ij a ij ; - fixando a linha i: det A = n j=1 C ij a ij. e Matrizes Inversas
Exemplo: 6 1 0 2 3 4 5 2 3. e Matrizes Inversas
6 1 0 Exemplo: 2 3 4 5 2 3. Utilizando a 1a. linha : det A = 6 C 11 + 1 C 12 + 0 C 13 = = 6 ( 1) 1+1 3 4 2 3 + 1 2 4 ( 1)1+2 5 3 = 6 ( 17) + 1 (14) = 88. e Matrizes Inversas
Exercício: 1 2 3 4 0 1 2 5 3 4 1 0 6 5 0 2 Exercício: 1 2 1 1 2 1 4 3 3 0 0 2 4 3 2 5 e Matrizes Inversas
Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. e Matrizes Inversas
Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). e Matrizes Inversas
Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). e Matrizes Inversas
Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. e Matrizes Inversas
Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. O determinante de uma matriz que tem duas linhas iguais ( ou duas colunas iguais ) é nulo. e Matrizes Inversas
a 11 a 12... a 1n. b i1 + c i1 b i2 + c i2... b in + c in. a n1 a n2... a nn = a 11 a 12... a 1n. b i1 b i2... b in. a n1 a n2... a nn + a 11 a 12... a 1n. c i1 c i2... c in. a n1 a n2... a nn e Matrizes Inversas
det(ab) = det(a)det(b) e Matrizes Inversas
det(ab) = det(a)det(b) O determinante não se altera se somarmos a uma linha, outra linha multiplicada por uma constante. e Matrizes Inversas
Definição: Dada uma matriz A, a matriz formada pelos cofatores de A é chamada matriz dos cofatores de A e denotada por Ā ou A. 2 1 0 Exemplo: Dada A = 3 1 4, determinar Ā. 1 6 5 ā 11 = ( 1) 1+1 1 4 6 5 = 19. ā 12 = ( 1) 1+2 3 4 1 5 = 19. ā 13 = ( 1) 1+3 3 1 1 6 = 19. ā 21 = ( 1) 2+1 1 0 6 5 = 5. ā 22 = ( 1) 2+2 2 0 1 5 = 10. ā 23 = ( 1) 2+3 2 1 1 6 = 11. ā 31 = ( 1) 3+1 1 0 1 4 = 4. ā 32 = ( 1) 3+2 2 0 3 4 = 8. ā 33 = ( 1) 3+3 2 1 3 1 = 5. e Matrizes Inversas
19 19 19 Portanto, Ā = 5 10 11 4 8 5 e Matrizes Inversas
Definição: Dada uma matriz quadrada A n n, chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Notação: adj(a) = (Ā)t. 19 5 4 Para o exemplo anterior: adj A = 19 10 8 19 11 5 Para esta mesma A, det A = 19 ( verificar! ). e Matrizes Inversas
Agora, calculando A adj A, obtemos: e Matrizes Inversas
Agora, calculando A adj A, obtemos: 2 1 0 19 5 4 A adj A = 3 1 4 19 10 8 = 1 6 5 19 11 5 19 0 0 = 0 19 0 = 19 I 3 = det A I 3 0 0 19 e Matrizes Inversas
Agora, calculando A adj A, obtemos: 2 1 0 19 5 4 A adj A = 3 1 4 19 10 8 = 1 6 5 19 11 5 19 0 0 = 0 19 0 = 19 I 3 = det A I 3 0 0 19 Teorema: A adj A = (deta) I n. e Matrizes Inversas
Definição: Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B = B A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Notação: B = A 1. Uma matriz não invertível é dita singular. Exemplo: Se A = [ ] 2 3 então A 1 4 1 = [ 4/5 ] 3/5 1/5 2/5 e Matrizes Inversas
Observações: e Matrizes Inversas
Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. e Matrizes Inversas
Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. 2) Seja A uma matriz quadrada. Se existe B tal que BA = I, então A é invertível e B = A 1. e Matrizes Inversas
Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. 2) Seja A uma matriz quadrada. Se existe B tal que BA = I, então A é invertível e B = A 1. 3) Se existe A 1 então (A 1 ) 1 = A. e Matrizes Inversas
Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det A 0. E, A 1 = 1 adj A. det A e Matrizes Inversas
[ ] a b Exemplo: A = c d e Matrizes Inversas
[ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] 2 11 4 e Matrizes Inversas
[ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] 2 11 4 1 2 1 Exemplo: A = 0 1 2 1 1 1 e Matrizes Inversas
[ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] 2 11 4 1 2 1 Exemplo: A = 0 1 2 1 1 1 4 1 2 2 Exemplo: A = 3 1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1 e Matrizes Inversas