ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. 1. Se α é um ângulo interno de um triângulo equilátero, então π cos + α é igual a: A. 0,5 B. C. 0,5 D.. Qual dos seguintes pares é constituído por equações equivalentes em IR? A. 1 senx = e cos x = B. senx = 1 e cos x = 0 C. tg x = 1 e sen x = cos x D. tg x = 0 e cos x = 1. Considere os pontos A(,-1,0) e B(0,1,1) e o vector u ( k,,). O conjunto dos valores de k para os quais o ângulo que u faz com ] [ ] [ A.,4 B. AB é obtuso é: 4, + C. ], 4] D. [ 4,+ [. 4. Considere, num mesmo referencial, o plano α de equações x + y + z = 5 e a recta r definida pela condição x = y = z. Qual é a posição relativa da recta r e do plano α. A. r é perpendicular a α B. r e α são concorrentes, não perpendiculares C. r está contida em α D. r é estritamente paralela a α. PROFESSORA: Rosa Canelas 1 11º A1 004/005
5. Observe a figura. As equações do sistema seguinte representam os planos α, β e γ. x+ y+ z = 1 x y + z = 0 x + y + z = 0 Então, no espaço, a solução do sistema representa: A. Um ponto B. Uma recta C. rectas paralelas D. o conjunto vazio Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura está representado um jardim com a forma de um semicírculo com 6 m de diâmetro. No jardim há uma parte relvada, um canteiro com rosas e outro com orquídeas, como sugere a figura. orquídeas 1.1. Calcule, com aproximação às centésimas, a área de jardim destinada a: rosas relva 6º 6º relva a. relva. b. rosas. 6 m 1.. Os canteiros são separados uns dos outros por uma sebe. Qual deve ser a medida dos ângulos que na figura estão representados por 6º, se a sebe que separa os canteiros medir 9 m?. Numa praia, as barracas têm base quadrada, com 1,5 m de lado, e estão montadas em filas, alinhadas como sugere a figura ao lado. O referencial assinalado na figura é o.n., tendo como unidade o metro. Nesse referencial, os pontos A e C têm as seguintes coordenadas: A 0,0, e C,, 4 4. PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 004/005
a. Mostre que 4y 6z + 9 = 0 é uma equação cartesiana do plano ABC. b. Escreva uma equação cartesiana do plano que passa por D e é paralelo ao plano ABC. c. Escreva equações cartesianas da recta que passa em D e é perpendicular ao plano ABC. d. Determine a amplitude do ângulo B A C, apresente o resultado em graus e minutos.. Às 1 horas do passado dia 10 de Janeiro, houve uma explosão numa fábrica de produtos químicos. Em consequência dessa explosão ocorreu a contaminação do ar. Admita que, passadas t horas da explosão, a área em km da parte terrestre correspondente à zona contaminada é dada por A t 14t ; t 0, t+ () = [ 48 ] Utilize as potencialidades da sua calculadora para resolver as questões seguintes: a. Às 15 horas do dia da explosão, qual era a área terrestre da zona contaminada? b. Quanto tempo decorreu após a explosão até a área terrestre contaminada atingir 9 km? Apresente o resultado em horas e minutos. c. Admita que a região terrestre contaminada é circular, com centro no local da explosão. A Inês vive a km de distância do local da explosão. Abandonou a casa no dia 11 de Janeiro, às 1 horas. Numa composição matemática, fundamente o raciocínio que lhe permite concluir se a Inês abandonou a casa antes ou depois de o ar envolvente estar contaminado. Caso o tenha feito antes, determine a antecedência com que o fez. PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 004/005
COTAÇÕES Grupo I... 45 Cada resposta certa... +9 Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II...155 1.... 50 1.1.... 40 a.... 0 b.... 0 1..... 10.... 50 a.... 15 b.... 10 c.... 15 d.... 10.... 55 a.... 15 b.... 15 c.... 5 TOTAL... 00 PROFESSORA: Rosa Canelas 4 11º A1 004/005
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº proposta de resolução Grupo I 1. B. Se α é um ângulo interno de um triângulo equilátero, então π cos + α é igual a π π π cos + = sen =. C. Dos seguintes pares o que é constituído por equações equivalentes em IR é tg x = 1 e sen x = cos x cuja solução π comum é x = + k π,k 4 a P 1 senx = e cos x = não verifica porque as soluções da 1ª estão nos 1º e º quadrantes enquanto as da ª estão nos 1º e 4º quadrantes. senx = 1 e cos x = 0 não verifica porque a primeira tem uma solução por cada volta enquanto a segunda tem duas soluções por cada volta. tg x = 0 e cos x = 1 não verifica porque a primeira tem duas soluções por cada volta enquanto. a segunda só tem uma solução por cada volta. AB= B A =,,1 B. Dos pontos A(,-1,0) e B(0,1,1) resulta ser ( ) O produto escalar (,,1 ).( k,,) u k. e como o vector (,,) AB.u = = k+ 6 + = k + 8 para o ângulo que u faz com AB ser obtuso é preciso ser o produto escalar negativo. Ora ] [ k + 8 < 0 k < 8 k > 4 k 4, + 4. A. O vector normal ao plano α de equação x + y + z = 5 tem coordenadas (,,) e a recta r, definida pela condição x = y = z, tem a direcção do vector de coordenadas (1,1,1). r é perpendicular a α porque o vector director da recta é paralelo ao vector normal ao plano por terem coordenadas proporcionais. 5. D. A solução do sistema representa o conjunto vazio por os planos α, β e nenhum ponto em comum. x+ y+ z = 1 x y + z = 0 x + y + z = 0 γ não terem PROFESSORA: Rosa Canelas 5 11º A1 004/005
Grupo II 1. Na figura está representado um jardim com a forma de um semicírculo com 6 m de diâmetro. No jardim há uma parte relvada, um canteiro com rosas e outro com orquídeas, como sugere a figura. 1.1. a. 6º é a décima parte do círculo de raio m (60º) pelo que a área de jardim destinada a relva será ( π ) = 1,8π. 10 Com aproximação às centésimas é 5,65 m. orquídeas rosas relva 6º 6º 6 m relva b. a área de jardim destinada a rosas é a de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem m. Da observação da figura resulta que: 180 6 = 54º h cos54º h sen54º = = b sen54º b = = 6 sen54º b = 6sen54º A área do triângulo é 6sen54º cos54º A = = 9 sen54º cos54º Com aproximação às centésimas é 4,8 m. rosas h 54º 6º 6º 1.. Os canteiros são separados uns dos outros por uma sebe. Se a sebe que separa os canteiros medir 9 m isso quer dizer que o triângulo das rosas é equilátero e cada um dos seus ângulos internos mede 60º pelo que, cada um dos ângulos de abertura dos sectores que têm relva também mede 60º. 6 m b/. Numa praia, as barracas têm base quadrada, com 1,5 m de lado, e estão montadas em filas, alinhadas como sugere a figura ao lado. O referencial assinalado na figura é o.n., tendo como unidade o metro. Nesse referencial, os pontos A e C têm as seguintes coordenadas: A 0,0, e C,, 4 4. z A O B x y PROFESSORA: Rosa Canelas 6 11º A1 004/005
a. O plano ABC é paralelo ao eixo Ox pelo vamos considerar (1,0,0) e 1 AC = C A =,, 0,0,,, 4 4 = 4 4 como vectores concorrentes do plano e n x,y,z normal aos dois. determinar um vector ( ) ( ) ( ) 1,0,0. x, y,z = 0 x = 0 x = 0 x = 0 1 1 z,,.( x,y,z) 0 x y z 0 y z 0 y 4 4 = + + = + = = 4 4 n0,,. Uma equação do plano ABC será da forma y + z = D e Fazendo z = será ( ) como o plano passa em A 0,0, será 9 = D D= Uma equação cartesiana do plano ABC será então 9 y + z = 4y 6z + 9 = 0 Podíamos resolver o exercício verificando que os três pontos verificam a equação dada, porque pontos não colineares definem um e um só plano. Como C,, 4 4. A verifica: B verifica: C verifica: 4 0 6 + 9= 0 0= 0 4 0 6 + 9= 0 0= 0 4 6 + 9= 0 0= 0 4 A 0,0,, B, 0, e Como A, B e C são não colineares e pertencem a este plano, ele só pode ser o plano ABC. b. Um plano que passa por D e é paralelo ao plano ABC tem um vector normal com as mesmas coordenadas que o vector normal a ABC. E como 9 D,, uma equação do 4 4 plano será da forma 4y 6z = D paralelo a ABC e que passa em D é 4y 6z =. e 9 4 6 = D D=. Uma equação do plano 4 c. A recta que passa em 9 D,, e é perpendicular ao plano ABC tem a direcção do 4 4 vector (0, 4, 6). As equações cartesianas são: 9 y 4 z x = = 4 4 6 PROFESSORA: Rosa Canelas 7 11º A1 004/005
d. Para determinar a amplitude do ângulo B A C, vamos usar o produto escalar com os vectores AB e AC. AB = B A =,0, 0,0, =,0,0 e AB.AC cos( BAC) = logo AB AC 1 AC =,, 4 4 1 9,0,0.,, 4 4 cos 8 ( BAC) = cos( BAC) = 9 9 1 + + 16 16 4 16 E em graus e minutos BA C 50º14'. Às 1 horas do passado dia 10 de Janeiro, houve uma explosão numa fábrica de produtos químicos. Em consequência dessa explosão ocorreu a contaminação do ar. Admita que, passadas t horas da explosão, a área em km da parte terrestre correspondente à zona contaminada é dada por A t 14t ; t 0, t+ () = [ 48 ] Vamos utilizar as potencialidades da calculadora: a. Às 15 horas do dia da explosão tinham decorrido horas, a área terrestre da zona contaminada é A() que é 5,6 km. b. Para sabermos quanto tempo decorreu após a explosão até a área terrestre contaminada atingir 9 km vamos resolver a equação A(t) = 9. O resultado em horas e minutos é 5h 4m. PROFESSORA: Rosa Canelas 8 11º A1 004/005
c. A região terrestre contaminada é circular, com centro no local da explosão. A Inês vive a km de distância do local da explosão. Abandonou a casa no dia 11 de Janeiro, às 1 horas, isto é horas depois da explosão. A área contaminada horas depois da explosão é dada por A() e a menor área contaminada que atinge a casa da Inês é 4π (área de um círculo de raio ). Comparando os dois valores concluímos que a Inês saiu de casa a tempo porque 4π > A( ). Para sabermos a antecedência com que a Inês saiu de casa, vamos calcular o tempo de que dispunha, até a casa ser atingida, resolvendo a equação A( t) = 4π. Concluímos que a Inês saiu de casa cerca de horas e 17m antes de a casa ter sido atingida pela contaminação. PROFESSORA: Rosa Canelas 9 11º A1 004/005