CONROLO MEEC º semestre 208/209 ransparências de apoio às aulas teóricas Capítulo Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro António Pascoal odos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior écnico) sem autorização dos autores /Cap.2-ParteA
Projecto no domínio da frequência Diagrama de Bode da f.t.ca./s 2 K Controlador Sistema a controlar K > 0 2 C(s) s G(s) EXEMPLO frequência de cruzamento w c. 0 rad/ s argg(jwc ) 80º margem de fase FM 0º sistema marginalmente estável 2/Cap.2-ParteA
EXEMPLO Controlador Sistema a controlar K > 0 2 s Critério de Nyquist C(s) G(s) Contorno de Nyquist A pólo duplo x - A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico - $w* : G(jw*)C(jw*) Ù argg( jw*)c(jw*) 80º G(jw*)C(jw*) 0 sistema marginalmente estável jw * é um pólo em malha fechada 3/Cap.2-ParteA
EXEMPLO Controlador Sistema a controlar K > 0 2 s Root-Locus C(s) G(s) C(s) K s z z Estratégia de Controlo pólo duplo x efeito estabilizador (PD) o x 2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário sistema marginalmente estável Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo 4/Cap.2-ParteA
EXEMPLO Controlador Sistema a controlar exemplo K, z0.rad/s s z K 2 z s C(s) G(s) FM 90º sistema em c.f. estável - G M Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade 5/Cap.2-ParteA
Análise do compensador PD arg C(s) C(s) K s z z 90º 45º benefício de avanço de fase z w(rad/ s) compensador por avanço de fase sistema original Diagrama de Nyquist O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto - sistema compensado - nova margem de fase 6/Cap.2-ParteA
Compensador PD Compensador de avanço de fase s z C(s) K z p s z C(s) K z s p sistema realizável (com um pólo e um zero) Controlador Sistema a controlar K p z s z s p C(s) s 2 G(s) avanço de fase 7/Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase s C(s) K b s b æ K ö ç è b ø db lim C(jw) w b < Ganho estático K b zero - / o 90 pólo - /b x f max w max b 8/Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase f max? w max? Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE s C(jw ) K bs s jw K jwb jw argc(jw ) fc ( w) arctg( w) - arctg( wb) df c dw ( w) b - ( w) 2 ( wb ) 2 Cálculo de w max df c ( w) b 0 Û - 2 dw ( w) ( wb) Em escala logarítmica, equidistante das frequências de corte do zero e do pólo w max 2 0 Û b w 2 2 b 9/Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase w max b fmax? f max f c ( wmax ) arctg( wmax) - arctg( wmaxb) æ ö arctgç - arctg( b) ç è b ø f max æ ç- b arctg ç è 2 b ö ø f max æ- b arcsin ç è b ö ø 0/Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase f c ( w max ) Máximo AVANÇO DE FASE 90º b b < p x - b z - b 0 p >> z fc ( wmax ) 90º /Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase æ K ö ç è b ø db C(jw max )? K Porque é importante conhecer? b o 90 f max æ- b ö arcsin ç è b ø f max w max w max b b O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. Ao somar fase em w max, também se aumenta o ganho. De quanto? É o preço a pagar pelo avanço de fase 2/Cap.2-ParteA
Compensador por Avanço de Fase æ K ö ç è b ø db C(jw max ) K? C(jw ) K jw jwb o 90 f max b f max æ- b ö arcsin ç è b ø C(jw max w w max j ) K j b b w max w max b b C(j w max ) K b 3/Cap.2-ParteA
EXEMPLO Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K(s) amplificador 00 motor com carga s 00 s 36 s posição angular velocidade Objectivos a atingir. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) 0.025 o 3. Margem de fase FM» 48 4. Margem de ganho G M ³ 6 db 4/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar K(s) G(s) 00 s(s 36)(s 00) K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) 0. 025 e ramp ( ) s 0 lim sg(s)k(s) s 0 lim sg(s)k(s) ³ s 0 40 00K lim (s 36)(s 00) K 36 ³ 40 40 K ³ 440 escolha-se K 440 5/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 diagrama de Bode de KG(s) FM @ 34º w 0 db 29. 5rad/ s G M w p @ 0. 6 db 59.9rad/ s Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida 6/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist com K ~ (s) Contorno de Nyquist x x -00-36 x - 34º P0 N0 ZPN0 módulo 7/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 sistema original 3. Margem de fase Para K ~ (s) 0 db FM» 48 o FM @ 34º Compensador de avanço Aumento nominal de 48º - 34º 4º nova frequência de cruzamento No entanto é necessário dar FASE ADICIONAL figura não à escala. Apenas ilustrativa -80º sistema original 34º Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso aumento de fase Não basta um aumento de 4º 8/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 440 3. Margem de fase Para K ~ (s) FM» 48 o FM @ 34º Aumento nominal de 48º - 34º 4º Aumento total de fase Nominal Factor de Segurança 4º 0º 24º Determinação das características do compensador de avanço de fase avanço w max fmax 24º f max æ- b ö arcsin ç è b ø b 0.42 O parâmetro b define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador 9/Cap.2-ParteA
EXEMPLO b. 54 æ ç ç è ö b ø db 3. 77dB preço a pagar pelo avanço de fase Ganho estático do compensador unitário odo o ganho necessário já foi considerado fmax 24º w max? onde se coloca w max? w max b w max é a frequência a que o avanço de fase é maior Conhecendo b Escolhendo w max Calcula-se w max b 20/Cap.2-ParteA
EXEMPLO onde se coloca w max? 3.77dB w max f.t.c.a sistema compensado f.t.c.a sistema original -3.77dB wmax Frequência à qual o ganho de malha KG(s) s jw -3. 77dB w max b 0. 42 b 39 rad/ s b b w max 60. 2 rad/ s wmax 39 rad/ 25. 3rad/ s s 2/Cap.2-ParteA
EXEMPLO a projectar G(s) K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) K(s) K K ~ (s) K s b s b s 25. 3 K(s) 440 2. 38 s 60. 2 f.t.c.a. do sistema original*440 f.t. do compensador com ganho estático unitáro f.t.c.a. do sistema compensado K( s) 3427.2 s s 25.3 60.2 22/Cap.2-ParteA
EXEMPLO K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado G M. 5dB > 6 db o FM» 46 < 48º Se não for satisfatório, refaça os cálculos 23/Cap.2-ParteA
EXEMPLO K(s) 00 x 440 s(s 36)(s 00) FM» 34º FM» 46 o nova margem de fase Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico 24/Cap.2-ParteA
Compensador de avanço - Sumário Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador 25/Cap.2-ParteA
Compensador de Atraso de Fase K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) K ~ (s) a > a s s a O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário 0 db Diagrama de Bode de K ~ (s) -20log0 a Ganho estático zero - / pólo - /a x a 26/Cap.2-ParteA
Compensador de atraso Princípio de utilização irar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada. Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador Até uma década após o zero Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada. 27/Cap.2-ParteA
Compensador de Atraso de Fase K ~ (s) a s s a 0 db Diagrama de Bode de K ~ (s) -20log0 a a 28/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) controlador K(s) amplificador 00 motor com carga s 00 s 36 s posição angular velocidade Objectivos a atingir. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) / 62. 2 3. Margem de fase FM ³ 59. 2º 4. Margem de ganho G M ³ 2 db 29/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 a projectar K(s) G(s) 00 s(s 36)(s 00) K (s) K K ~ (s) K ~ ( 0 ) ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária e ramp ( ) / 62. 2 e ramp ( ) lim sg(s)k(s) s 0 lim sg(s)k(s) ³ 62. 2 s 0 62. 2 00K K lim ³ 62. 2 s 0 (s 36)(s 00) 36 K ³ 5839 escolha-se K 5839 30/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 5839 diagrama de Bode de KG(s) Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida? w 4. 7rad/ s FM 59 º, KG(jw) 20dB Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso? 3/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 a projectar KG(s) 00 K ~ (s) s(s 36)(s 00 ) x 5839 diagrama de Bode de KG(s) desejada FM 59. 2º 0º 69. 2º factor de segurança Porque é necessário o factor de segurança? FM @ 69. 2º para w 9. 78rad/ s KG(j w ) 9.78rad/s w 24dB O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s 32/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 Dimensionamento do compensador de atraso 0 db a 5. 84-20log 0 a -24dB Þ a 5. 84-24dB define o afastemento entre o pólo e o zero -90º Fase negativa preço a pagar pela diminuiçãode ganho Onde colocar o compensador? 33/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 Várias hipótess possíveis de colocação do compensador 0º 34/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 Estratégia de colocação do compensador de atraso Zero do compensador década abaixo da frequência de cruzamento desejada 0. 062 rad/ s a 0 db a 5. 84 0. 98rad/ s -24dB Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula -90º Fase negativa preço a pagar pela diminuiçãode ganho Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada 35/Cap.2-ParteA
EXEMPLO 2 a projectar G(s) K(s) 00 s(s 36)(s 00) Ks () KKs! () K s a s a s 0.98 Ks ( ) 5839 5.84 s 0.062 s 0.98 Ks ( ) 368.6 s 0.062 FM 64 º,GM 22dB especificações verificadas Magnitude (db) Phase (deg) 00 50 0-50 -00 0-90 -80-270 f.t.c.a. do sistema compensado f.t. do compensador f.t. do compensador Bode Diagram f.t.c.a. do sistema f.t.c.a. original*5839 do sistema original*5839 Frequency (rad/sec) System: sys Frequency (rad/sec): 0 Magnitude (db): -0.75 f.t.c.a. do sistema compensado System: sys Frequency (rad/sec): 0 Phase (deg): -6 0-2 0-0 0 0 0 2 0 36/Cap.2-ParteA