Física do Calor - 23ª Aula Prof. Alvaro Vannucci
Na última aula vimos exemplos de como efetuar a Permutação de um conjunto de n elementos envolvendo p situações (p estados) possíveis. Por exemplo, como saber de quantas maneiras se pode permutar 5 pessoas P1, P2, P3, P4, P5 (n = 5 elementos indistinguíveis) em uma fila indiana com 5 lugares (p = 5)? Obtivemos: P 5,5 = 5 4 3 2 1 = n! = 120 maneiras E no exemplo em que se determinou o número de anagramas que poderia ser formado com a palavra MADEIRA (possui 5 elementos distinguíveis e 2 indistinguíveis)? Se fosse desconsiderado o fato que há 2 elementos indistinguíveis, o número total de anagramas seria: 7 6 5! = 5040 ;
Isto porque, para se levar em conta a existência das duas letras A, indistinguiveis, temos 7 posições disponíveis para a primeira e 6 posições disponíveis para a segunda: 7 6 As outras 5 letras distintas (elementos distinguíveis) são permutadas entre as 5 posições restantes: 5! Porém, o total de possibilidades não pode ser dado por 7 6 5! por conta das 2 letras A que, sendo indistinguíveis, foram contadas duas vezes nas posições que acabam formando o mesmo anagrama (2ª - 5ª e 5ª - 2ª posições, por ex.) Então, uma divisão por 2 (2!) se fez necessária, resultando:! anagramas da palavra MADEIRA; onde 7 6 5! = 7!
Supor agora 6 bolas de bilhar - numeradas de 1 a 6 - que queremos colocar nas 6 caçapas de uma mesa de bilhar. De quantas maneiras podemos fazer isto? Pelo que já vimos, teremos 6 5 4 3 2 1 = 6! Agora, o que mudaria se tirássemos a bola de número 6 da mesa e a substituíssemos por uma outra bola número 5? Como as 2 bolas (n o 5) são agora indistinguíveis, caimos no exemplo já discutido, e uma divisão por 2! se faz necessária!
Ou seja, teremos 65 2 4! 6! 2 6! 2! possibilidades E se tirássemos também a bola de número 4 da mesa e a substituíssemos por uma outra bola número 5? Teríamos agora 3 elementos distinguíveis e 3 elementos indistinguíveis. Observe que as 3 bolas indistinguíveis (todas de número 5) resulta em 3! = 3 2 1 situações idênticas, que devem ser diminuídas do número total, supondo todas distinguíveis. Ou seja, teríamos 6!/3! possibilidades (resultados finais distintos). De forma mais geral, podemos escrever: C n, p n! p! ; onde n é o número total de elementos e p o número de elementos indistinguíveis
Finalmente, supor que na mesa de bilhar se tenha 6 bolas número 5, e 4 bolas número 2. 10! 10! Neste caso, a combinação resulta: 6! 4! 6!(10 6)! Este tipo de aplicação, que envolve a combinação de objetos indistinguíveis separados em dois grupos (p e n-p), nos será particularmente útil no campo da Mecânica Estatística. Isto porque será aplicado nas situações em que temos um certo número n de objetos indistinguíveis (partículas) que desejaremos alocar de uma certa maneira (em p estados disponíveis). C n De forma que a expressão geral p, n p das possíveis Combinações será: p!( n p)! n!
Ex.: Dez acidentados de um ônibus chegam em um hospital e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos (os outros ficariam em macas, no corredor do hospital). De quantas formas poderíamos escolher 5 pessoas para ficarem nos leitos? Veja que o problema trata-se de escolher as combinações onde n = 10 (número de elementos disponíveis ) e p = 5 (número de elementos a serem escolhidos ). Aplicando a expressão anterior: C n p n! p!( n p)! C 10 5 10! 5!(10 5)! 1098765! 5432(5!) 30240 252 120 Há, então, 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos.
Outro ex.: Supor que em uma empresa 15 funcionários se inscreveram para o time de futebol da casa, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher os 11 jogadores do time? Sendo n = 15 e p =11: C n p n! p!( n p)! C 15 11 15! 11!(15 11)! 1514131211! 11! 432 32760 1365 24 Notação: muitas vezes encontramos n p n! p!( n p)! n n p
Cálculo de PROBABILIDADE Sabemos que lançando uma moeda para o alto, a probabilidade de dar cara ou coroa é de 50% (ou ½ = 0,5). Tendo lançado a moeda 3 vêzes consecutivamente, e nas três vezes saiu cara, qual é a probabilidade de, no lançamento seguinte, sair novamente cara? Reformulando a pergunta: vou lançar uma moeda 4 vêzes, consecutivamente. Qual é a probabilidade de sair cara em todos os lançamentos? São questões diferentes! Resps: ½ e ½ ½ ½ ½ = 1/16
Ou seja, quando dizemos que a probabilidade é ½ (50%) isso não significa que, a cada 2 lançamentos, um vai ser cara e o outro vai ser coroa. O fato da probabilidade ser ½ (ou 50%) quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que, aproximadamente, metade deles dê cara, e a outra metade coroa. De forma geral, o cálculo da probabilidade de ocorrer um resultado (ou um conjunto de resultados) que satisfaça uma condição ou exigência E, é feito utilizando a expressão:
Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade do resultado ser um número par? Para que o resultado seja par devemos ter uma das possibilidades: Ou seja, 3 resultados favoráveis (2, 4, 6) de um total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 = 1/2.
Utilizando a expressão anterior: Considerações importantes: 1ª) Se p indicar a probabilidade de um dado evento ocorrer, entao q = 1- p indicará a probabilidade dele não ocorrer, de forma que p + q = 1 (normalização). 2ª) O cálculo de probabilidade que evento A ou evento B (independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) + P(B) 3ª) O cálculo de probabilidade que evento A e evento B (independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) P(B)
Ex. Uma empresa tem 30 funcionários, sendo que 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Qual a probabilidade de um desses empregados, escolhido ao acaso, ser canhoto e vá de ônibus para o trabalho? Calculando: P = P(A) P(B) = 10/30 25/30 = 5/18 = 27,8% Ex. Uma caixa contém 10 bolas sendo que 3 são azuis e 3 são vermelhas. Qual é a probabilidade de se tirar uma bola azul ou vermelha em uma tentativa? As bolas com estas cores são 3+3 (=6) em 10. Desta forma, a probabilidade de se tirar uma delas será 6/10 = 3/5, ou 60% Ou então: P(A) = 3/10 e P(B) = 3/10. Portanto, para tirar uma OU outra: P = 3/10 + 3/10 = 60%.
Probabilidade Binomial Um Experimento Estatístico possui 3 aspectos em comum: Possui mais de um resultado ( cara ou coroa, por ex.). Cada resultado possível pode ser especificado com antecedência ( cara ou coroa ). Cada resultado possui uma probabilidade específica dele ocorrer - ou não (probabilidade ½, no caso de cara ou coroa) Uma distribuição binomial descreve adequadamente Experimentos Estatísticos que possuem as seguintes características:
O experimento é realizado em n repetidas tentativas. Cada tentativa realizada fornece um de apenas dois resultados possíveis - que estaremos designando por sucesso (p) ou fracasso (q = 1- p). A probabilidade de sucesso (p) mantém-se a mesma durante todo o experimento. Cada nova tentativa é independente das tentativas realizadas anteriormente. Pergunta: qual é a diferença entre lançarmos uma moeda ao ar 10 vezes repetidamente e lançarmos 10 moedas idênticas (indistinguíveis) simultaneamente? Discutiremos posteriormente o conceito de ensemble, mas quanto a esta questão:
Supor uma moeda sendo lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? X O X O X O X O X O X O X O 10 sucessos P 32 possiveis 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Em termos de uma tabela: XXXOO XXOXO XXOOX XOXXO XOXOX XOOXX OXXXO OXXOX OXOXX OOXXX A expressão usualmente utilizada para cálculos de probabilidade como este é a da Probabilidade Binomial, ou Distribuição Binomial, dada por: P n, k n! k!( n k)! p k q nk Que corresponde à probabilidade (P) de se obter sucesso (p) k vezes em n tentativas.
No ex. da moeda cair cara 3 vêzes em 5 lançamentos, tem-se: n = 5 ; k = 3; p = ½ e q = 1 - ½ = ½; e portanto: P 5,3 5! 3!(5 3)! 1 2 3 1 2 53 543! 3! 2! Ex. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos (g,p,e). Agora temos: n = 6 ; k = 4; p = 1/3 e q = 1-1/3 = 2/3 : P 6,4 6! 4!(6 4)! 1 3 4 2 3 64 1 8 654! 4! 2 1 4 1 81 P n, k 4 9 5 16 n! k!( n k)! ; ou 20 243 p k q nk 31,3% ou 8,2%
Utilizando Tabelas e Gráficos Um lote de peças automotivas foi produzido pela fábrica com 30% delas defeituosas. Escolhendo aleatoriamente 5 peças para teste: a) quais as probabilidades de se retirar(em) 0, 1, 2, 3, 4 e 5 peça(s) defeituosa(s)? b) construa um gráfico da distribuição de probabilidade correspondente. Note que neste problema temos n=5 ; k=(0,1,2,3,4,5) ; p=0,3 Calculando para k = 0 : 5! 5,0 7 P 0,3 0 0, 5 0 1 0,168 0!(5 0)! 5! 5! 0, 168 Igualmente: P 5,1 = 0,360, P 5,2 = 0,309, P 5,3 = 0,132, P 5,4 = 0,028, e P 5,5 = 0,002 P n, k n! k!( n k)! p k q nk
b) Construindo o gráfico correspondente: 0 1 2 3 4 5 Peças Defeituosas (em 5 tentativas) Você esperava esta assimetria no formato? E se a probabilidade fosse ½ = 0,5?