Mesrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivaivos Pare 6: Inrodução ao Cálculo Diferencial Esocásico Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Tipos de Processos Esocásicos Qualquer variável cua mudança de valor ao longo do empo é incera é dia uma variável aleaória. Tempo discreo; variáveis discreas (árvores) Tempo discreo; variáveis conínuas Tempo conínuo; variáveis discreas Tempo conínuo; variáveis conínuas Mais realisa Podemos usar o arcabouço de cálculo que facilia a nossa vida para chegarmos em fórmulas fechadas Mas como há incereza, emos que ver o que muda nas conas Cálculo esocásico! Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1
Processos Markovianos Num processo de Markov movimenos fuuros numa variável depende apenas de onde esamos agora, não de oda a hisória que nos roxe aé aqui E(P +1 /P ) = E(P +1 / P, P -1, P -, ) Se pensarmos em ermos de árvores, um processo Markoviano esaria numa árvore recombinane. um processo não-markoviano esaria numa árvore nãorecombinane. Vamos assumir que o processo esocásico do preço de uma ação é Markoviano. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Hipóese dos Mercados Eficienes: Versão Fraca Se o mercado for eficiene em sua versão fraca, é impossível produzir consisenemene reornos ausados ao risco superiores com regras de negociação baseadas na rageória (hisórico) dos preços. Em ouras palavras, análise écnica não funciona. Um processo de Wiener respeia aende a versão fraca das expecaivas Se houver empo, veremos o porquê e a evidência empírica Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 4
Processo esocásico em empo conínuo: Exemplo Preço de uma ação hoe é $4 Variável conínua nua em empo discreo: Ao fim de um ano considera-se que ela erá disribuição de probabilidade φ(4,1) onde φ(µ,σ) é a disribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Perguna: Qual a disribuição de probabilidade do preço da ação ao final de anos? ½ ano? ¼ ano? ano? Tirando limie, definimos uma variável conínua em empo conínuo. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Variâncias & Desvios Padrões Em processos de Markov mudanças em períodos sucessivos de empo são independenes Isso significa que as médias e as variâncias são adiivas. Mas desvios padrões não são adiivos Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3
Processo de Wiener (ou Brownian Moion) Consideremos uma variável z cuo valor muda coninuamene A mudança num pequeno inervalo de empo é z Tal variável segue um precesso de Wiener (ou Brownian Moion) se: 1. z = ε onde ε e' φ(,1). Os valores de z para quaisquer períodos disinos (sem inerseção) de empo são independenes Propriedades do Processo de Wiener Média de [z (T ) z ()] é Variância de [z (T ) z ()] é T Desvio Padrão de [z (T ) z ()] é T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Processo de Wiener generalizado No processo aé aqui apresenado, a média da axa de drif (mudança esperada por unidade de empo) é zero e a variância é 1. Podemos generalizar... O processo de Wiener Generalizado em média não nula e variância diferene de 1. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 4
Generalized Wiener Processes Variável x segue um proceso de Wiener generalizado com drif a e a axa de variância de b enão: dx=a d+b dz Variação esperada média em x no inervalo de empo T: Variância da variação em x no inervalo de empo T: Desvio padrão da variação em x no inervalo T é: at b T b T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Processo Esocásico de Wiener Generalizado em Tempo Conínuo Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 5
Processo de Iô Vamos formalizar melhor a definição: Precessos de Iô Na realidade nem o drif nem a difusão precisam ser consanes no empo. Versão discrea do processo generalizado: X( k+1 )-X( k ) = µ( k+1, k ) k + σ( k+1, k ) [z ( k+1 ) z ( k )] X( k+1 )-X( k ) = µ( k+1, k ) k + σ( k+1, k ) z ( k ) Começando em = (processo é markoviano), emos: X ( k ) = X () + k 1 = µ (, X ) + k 1 = σ (, X ) z Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 11 Processo de Iô e Inegral de Iô Para chegar em empo conínuo: Tomamos o limie k A úlima expressão se orna: X ( ) = X () + µ (, X ) ds + σ (, X s= Ese úlimo ermo é a inegral de Iô. Precisamos saber como manipular a a inegral de Iô para apreçar derivaivos. Usualmene a noação uilizada para descrever al processo é: s= ) dz dx = µ (, X ) d + σ (, X ) dz s Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 6
Por que usar um processo de Iô e não um processo de Wiener para modelar a dinâmica do preço de uma ação? Impliciamene, se usássemos o processo de Wiener Generalizado, esaríamos forçando que a mudança no preço das ações permanecesse consane. Pelo menos a variação do preço da ação deve ser proporcional ao nível do preço daqui a um empo. Um exemplo do mais simples dos processos de Iô a serem ulizados: ds = µ S d+ σs dz Noe que o drif não é consane: Nem a difusão: µs σs Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 13 Obervação: Simulação de Mone Carlo de um processo de Iô Podemos discreizar o processo para enender o que ele significa. S = µ S + σsε Sea T = 1 ano e vamos dividir o ano em 1 inervalos. Suponha µ=.14, σ=.. Com os 1 inervalos: =.1 Podemos ober N raeórias para os processos soreando valores ε normais (,1) e usar em 34 Simulação de Mone Carlo 4 Simulações S =.14 S +. S ε 3 3 8 6 4 Tendência Traeória 1 Traeória Traeória 3 Traeória 4 18 16 14 1 1 3 6 9 1 15 18 1 4 7 3 33 36 39 4 45 48 51 54 57 6 63 66 69 7 75 78 81 Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 14 84 87 9 93 96 99 7
Cálculo Diferencial Esocásico e o Lemma de Iô OK, enão agora emos um modelo para o processo de uma ação (ou qualquer aivo) em empo conínuo. Bom por duas razões: Hipóese razoável para o processo de do preço da ações (choques que aleram o preço, como noícias sobre a firma e sobre a economia são conínuos e imprevisíveis). Respeira a hipóese dos mercados eficienes. Nos permie uilizar o insrumenal de Cálculo Diferencial Mas o Cálculo em que ser adapado para raar a pare esocásica.. Em paricular, sabendo a lei de movimeno de S(), como podemos achar a lei de movimeno de um derivaivo C(S(), ) que dependa do aivo S()? Usando os resulados do Lema de Iô. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 15 Expansão de Taylor Podemos usar a expansão de Taylor e para chegar a lei de movimeno de C(S(), ) C C C = S + S C + S S C + ½ S C + ½ S + Em cálculo usual, para pequenas variações odos os ermos de ordem superior (d, ds, dds, d 3, ds 3, ec..) poderiam ser ignorados. No enano agora em ds, há ermos esocásicos dw que não podem ser desconsiderados Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 16 8
Isomeria de Iô Em cálculo diferencial esocásico, não podemos ignorar os ermos aleaórios de ordem. Inuição: d em mordem de grandeza d dw() em ordem de grandeza dw() dw() em ordem de grandeza da variância de dw()! Ou sea, em ordem de grandeza d. Porano a regra que vamos usar será: d = d. dw = dw. d = dw = d Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 17 Lema de Iô Usando o fao que só podemos ignorar ermos cruzados e de ordem superior a, a expansão de Taylor fica: C dc = ds + d+ ½ ds S S Subsiuindo para a expressão de S() como um processo de Iô. ds = µ (, S ) d + σ (, S ) dz Subsiuindo na fórmula anerior, dc = S mas, pela ( µ (, d+ σ(, dw) + d+ ½ ( µ (, d+ σ(, dw) isomeria ( µ (, d+ σ(, dw) = σ (, d de Io, C S Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 18 9
Lema de Iô Chegamos assim na formula final do Lema de Iô: Em paricular, para o movimeno geomérico Browniano, ds. = µ S d + σs dz o Lema de Iô fica: dc = + µ (, + ½ σ (, d+ σ(, S S S C dw C dc = + µ S + ½ σ S d + σs dw S S S Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 19 Lema de Iô mulidimensional Se ivermos um processo que dependa de mais de um faor esocásico, dz(1), dz(), ec. Se supusermos ainda que a correlação enre dz(i) e dz() é ρ(i,) a isomeria de Iô será ausada para d = d. dw ( i) = dw ( i). d = i dw ( i) = d dw ( i) dw ( ) = ρ d i, i i, E enão usamos esa regra na expansão de Taylor mulivariada: dc = d + ds(1) + ds() +... S(1) S() C C + ½ ds(1) + ½ ds() +... S(1) S() C + ds(1) ds() +... S(1) S() Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1
Exemplos Primeiro vamos resolver para o preço do aivo supondo a formulação geomérica para a dinâmica do aivo mas supondo que não há o ermo esocásico: ds() = µs()d ou sea, T s= A forma geral da solução de um processo geomérico será exponencial como esa. Agora vamos usar os resulados do lema de Iô para provar o conrário. Que se o preço de um aivo segue uma disribuição log-normal al que S() = S()e αt+σw(t) onde W(T) é normal (,T) T ds( s) = µ S( s) ds s= S( ) = S() e µ T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Vamos definir X() = αt+σw(t) S( ) = S() e sabemos : mas, S() e Exemplos Ou sea, se emos ds() = µs()d+ σs()dw(), o resulado será: S(T) = S()e X(T) X ( ) dx ( ) = αd + σdw f f ds( ) = d + dx X X ( ) ds( ) = + S() e X ( ) ( αd + σdw ) 1 ds( ) = α + σ S( ) d + σs( ) dw Onde X(T) é normal N[ (µ-1/ σ )T, σ T ] Dizemos que S(T) é lognormal. Queremos saber ds() = f(x()).lema de Iô!! = S( ) f + 1/ ( dx ) X + 1/ S() e X ( ) σ d Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 11
Exemplos 1. O preço de um fuuro de ação vence ndo em T G = S e r ( T ) dg = ( µ r) G d + σg dz. G = ln S dg σ = µ d + σ dz Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 1