Escola Básica e Secundária de Velas Planificação Anual do 12º Ano Matemática A Ano letivo 2015 /2016
1º Período 2º Período 3º Período Nº DE BLOCOS PREVISTOS 39 32 24 Apresentação 0,5 1º Período 2º Período 3º Período - - Auto e heteroavaliação 0, 5 0, 5 0, 5 Atividades de fim de período - - - Atividades específicas de avaliação 4 3,5 2,5 Blocos de aulas com matéria 34 28 21 2
Tema I: Introdução ao cálculo das probabilidades Nº de Aulas Previstas (90 m): 26 Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades 1- Cálculo de Probabilidades Experiências aleatórias; Espaço de resultados; Acontecimento como subconjunto; Acontecimento elementar, composto, certo e impossível. Operações sobre acontecimentos. Acontecimentos contrários e incompatíveis. Acontecimento A implica B; Acontecimento diferença entre A e B; Conceito frequencista de probabilidade. Acontecimentos equiprováveis. Definição clássica de probabilidade ou Lei de Laplace. Conhecer terminologia das probabilidades. Determinar o espaço de resultados em experiências aleatórias. Definir acontecimento como subconjunto do conjunto de resultados. Operações com acontecimentos. Aplicar a definição frequencista de probabilidade. Aplicar a definição clássica ou de Laplace de probabilidade de resolver problemas de probabilidades usando a análise combinatória para efectuar contagens. Descrever raciocínios em probabilidades. Atividades ou estratégias que permitam consolidar os conhecimentos adquiridos no 9ºano sobre probabilidades. Referência a Pascal e Laplace. Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Resolução fichas de trabalho; Trabalhos de grupo/individuais; Recurso ao Excel e/ou calculadora Para facilitar a abordagem à Lei dos Grandes Números. Método expositivo participativo. Discussão de vários processos de resolução. Elaboração de pequenos textos onde sejam apresentados os raciocínios efectuados. Calendarização (Blocos 90 m) 4 3
2- Definição axiomática de probabilidades. Probabilidades condicionada. Acontecimentos independentes. Aplicar os axiomas das probabilidades. Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Definição axiomática de probabilidade e propriedades elementares. Definição de probabilidade condicionada e sua verificação da axiomática das probabilidades. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos; Acontecimentos independentes; Demonstrar teoremas envolvendo probabilidades. Resolver problemas aplicando teoremas de probabilidades. Resolver problemas envolvendo probabilidades condicionadas. Definir acontecimentos independentes. Resolução fichas de trabalho; Trabalhos de grupo/individuais; Método expositivo participativo. Discussão de vários processos de resolução. Elaboração de pequenos textos onde sejam apresentados os raciocínios efectuados. 7 Resolução de problemas envolvendo acontecimentos independentes; Resolução de problemas envolvendo probabilidade condicionada e acontecimentos independentes; Resolver problemas envolvendo probabilidade condicionada e acontecimentos independentes. 4
3-Problemas de contagem. Cálculo combinatório. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton Aplicar o princípio fundamental da contagem. Aplicar estratégias de contagem. Aplicar o conceito de factorial de um número natural Resolver problemas de probabilidade escolhendo uma Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Resolução fichas de trabalho; estratégia adequada à situação, aplicando: Trabalhos de grupo/individuais; Princípio fundamental da contagem; permutações; Método expositivo participativo. Análise combinatória; arranjos sem repetição; Discussão de vários processos de Factorial de um número natural; Permutações; Arranjos sem repetição; Arranjos com repetição; Combinações sem repetição; Triângulo de Pascal; arranjos com repetição; combinações sem repetição. Resolver problemas aplicando as propriedades do triângulo de Pascal; Aplicar o desenvolvimento do binómio de Newton na resolução de problemas. resolução. Elaboração de pequenos textos onde sejam apresentados os raciocínios efectuados. 9 Propriedades do triângulo de Pascal; Propriedades das combinações (sem repetição); Binómio de Newton. 5
4-Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades Definir variável aleatória; Variável aleatória; Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta Distribuição de frequências versus distribuição de probabilidades Média versus valor médio. Desvio-padrão amostral versus desvio-padrão populacional Distribuição binomial Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória com distribuição binomial Valor médio e variância da distribuição binomial Aplicação do modelo binomial A simetria da distribuição binomial Variáveis aleatórias continuas. Distribuição normal Distribuição normal estandardizada Determinar, em tabela e gráfico, a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória; Relacionar distribuição de frequências com distribuição de probabilidades; Relacionar média e desvio-padrão com valor médio e desvio-padrão populacional; Determinar o valor médio e o desvio-padrão de uma distribuição de probabilidades; Identificar uma distribuição binomial; Usar tabelas e calculadora gráfica para calcular o valor de uma probabilidade numa distribuição binomial; Identificar uma distribuição normal; Conhecer as características de urna distribuição normal; Usar tabelas da distribuição N (0,1); Estandardizar uma distribuição normal; Usar a calculadora gráfica para determinar probabilidades numa distribuição normal; Resolver problemas envolvendo distribuição binomial e distribuição norma. Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Resolução fichas de trabalho; Trabalhos de grupo/individuais; Método expositivo participativo. Discussão de vários processos de resolução. Elaboração de pequenos textos onde sejam apresentados os raciocínios efectuados. 6 6
SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado nos temas Alimentação saudável e A prevenção dos consumos nocivos e comportamentos de risco Tema II: Introdução ao cálculo diferencial Nº de Aulas Previstas (90 m): 36 Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização (Blocos 90 m) Funções exponenciais e funções logarítmicas Definição de função exponencial; Propriedades das funções exponenciais; Equações exponenciais; Transformações do gráfico de uma função exponencial; Aplicação das funções exponenciais na modelação de situações reais; Função exponencial de base e; Definição de função logarítmica; Logaritmos com bases especiais; Propriedades das funções logarítmicas; Transformações do gráfico de funções logarítmicas; Propriedades operatórias dos logaritmos; Equações exponenciais e logarítmicas; Resolução de inequações com exponenciais ou Inversa de uma função Identificar funções exponenciais. Conhecer as propriedades das funções exponenciais. Resolver equações exponenciais. Aplicar as transformações dos gráficos de funções a funções exponenciais. Aplicar as funções exponenciais na modelação de situações reais. Aplicar a função exponencial de base e na modelação de situações reais. Identificar funções logarítmicas. Conhecer as bases especiais 10 e e. Conhecer as propriedades das funções logarítmicas. Aplicar as transformações dos gráficos de funções às funções logarítmicas. Aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos. Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Resolver inequações com exponenciais e logaritmos. Definir a função inversa de uma função exponencial ou logarítmica. Resolver problemas em contexto real usando funções Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Resolução fichas de trabalho; Trabalhos de grupo/individuais; Método expositivo participativo. Atividades ou problemas que permitam conectar e relacionar os novos conhecimentos com os já adquiridos sobre funções. Tratamento mais rigoroso de conhecimentos já utilizados intuitivamente. Resolução de exercícios que permitam a compreensão e a utilização de procedimentos algébricos. Utilização da calculadora gráfica Apresentação de exemplos de funções que descrevem fenómenos 10 7
exponencial ou de uma logarítmica; Aplicação das funções exponenciais e logarítmica modelação de situações reais exponenciais e funções logarítmicas. da Física, Química, Economia, Geografia Limites. Cálculo de limites de funções e de sucessões. Noção intuitiva de limite Limites laterais; Definição de limite segundo Heine; Regras operatórias com limites Limites e infinitos. Cálculo de limites; Indeterminações; Limites de funções envolvendo exponenciais e logaritmos; Limites de sucessões (revisão). Calcular limites das funções por concretização da variável independente; Calcular limites laterais; Aplicar a definição de limite segundo Heine; Aplicar teoremas sobre limites no cálculo de limites; Calcular limites quando x Levantar indeterminações. Calcular limites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. Calcular limites de sucessões ; 7 3- Continuidade de uma função Continuidade de uma função num ponto; Continuidade lateral; Continuidade de uma função num intervalo; Operações com funções contínuas; Teorema de Bolzano - Cauchy Determinação das assimptotas do gráfico de uma função. Estudar a continuidade de uma função num ponto; Estudar a continuidade lateral de uma função num ponto. Estudar a continuidade de uma função num intervalo. Aplicar teoremas e propriedades sobre funções contínuas. Aplicar o Teorema de BoIzano - Cauchy. Determinar as assimptotas do gráfico de uma função. Resolver problemas usando continuidade. Resolver problemas aplicando o conceito de assimptota 7 8
do gráfico de uma função. 4- Derivadas Definição de derivada. Significado geométrico de derivada; Derivadas laterais; Referências a pontos nos quais a função não é derivável; Derivabilidade e continuidade; Função derivada; Derivada de uma função constante; Derivada de uma função afim; Derivada do produto de uma constante por uma função; Derivada da soma e da diferença de duas funções; Derivada de uma potência; Derivada de funções polinomiais; Derivada de um produto de funções; Derivada de um quociente de funções; Derivada de funções compostas; Derivada de funções exponenciais e logarítmicas; Função segunda derivada Definir derivada de uma função num ponto. Interpretar geometricamente o valor da derivada de uma função num ponto. Interpretar a derivada como taxa de variação instantânea de uma função num ponto. Interpretar a derivada como velocidade ou aceleração de um móvel num ponto. Determinar as derivadas laterais de uma função num ponto. Interpretar derivadas infinitas. Relacionar os conceitos de derivabilidade e de continuidade de uma função num ponto. Conhecer o significado de função derivada de uma função. Demonstrar regras de derivação (derivada da função constante, derivada da função afim, derivada do produto de uma constante por uma função, derivada da soma e do produto de funções). Aplicar regras de derivação. Derivar funções exponenciais e logarítmicas. Calcular a segunda derivada de uma função. Relacionar os gráficos de uma função da respectiva função derivada. Relacionar os gráficos de uma função e da respectiva função segunda derivada. 6 9
5- Aplicação das derivadas SE Função estritamente crescente e função estritamente decrescente (revisão); Extremos de uma função (revisão); Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função (revisão); Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função; Extremos relativos e primeira derivada de uma função Concavidade e segunda derivada de uma função Teste da segunda derivada Estudo de funções Problemas de optimização Determinar os extremos de uma função aplicando o conceito de derivada. Estudar a monotonia de uma função usando o conceito de derivada. Estudar o sentido das concavidades do gráfico de uma função usando a segunda derivada da função. Estudar analiticamente uma função (a calculadora é usada apenas para confirmação de resultados) Escrever o modelo matemático correspondente a uma situação real. Resolver problemas de optimização. 6 SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado no tema Atividade física 10
Tema III: Trigonometria. Complexos Nº de Aulas Previstas (90 m): 20 Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização (Blocos 90 m) 1- Introdução ao estudo da trigonometria. Razões trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão) Medidas de ângulos: o grau e o radiano; As razões trigonométricas num triângulo rectângulo As razões trigonométricas de ângulos especiais A calculadora gráfica e as razões trigonométricas Resolução de problemas envolvendo as razões trigonométricas. Usar o radiano como medida de ângulos. Fazer a conversão entre graus e radianos. Determinar o comprimento de um arco circular. Determinar a área de um sector circular. Resolver problemas usando comprimentos de arcos circulares ou áreas de sectores circulares. Usar o triângulo rectângulo para escrever as razões trigonométricas. Usar a calculadora para determinar ângulos ou razões trigonométricas. Deduzir as razões trigonométricas de: 30º, 45º e 50º Resolver problemas usando a trigonometria do triângulo rectângulo. Resolução actividades do manual. Fichas de apoio Resolução fichas de trabalho; Trabalhos de grupo/individuais; Método expositivo participativo. Recurso à calculadora gráfica no estudo das propriedades das funções trigonométricas Uso da calculadora gráfica Resolução de problemas que envolvam funções trigonométricas. Exposição teórica dos conteúdos. Abordagem histórica do aparecimento dos números 1 complexos. Apresentação de situações que explorem a ligação dos números 11
complexos à Geometria 2- Generalização da noção de ângulo. Razões trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão) Ângulo orientado Ângulo num referencial Generalização da noção de ângulo Definição das razões trigonométricas de um ângulo Linhas trigonométricas Sinal das razões trigonométricas Razões trigonométricas dos ângulos 0,90, 180º e 270 Redução ao 1.0 quadrante Representar um ângulo num referencial Indicar diferentes amplitudes para um lado origem e um lado extremidade de um ângulo. Usar as razões trigonométricas para um ângulo qualquer. Usar o sinal das razões trigonométricas. Conhecer as razões trigonométricas de ângulos de referência. Reduzir um ângulo ao 1º quadrante. 1 3- Funções trigonométricas como funções reais de variável real. Utilização das funções trigonométricas na modelação de situações reais. Funções trigonométricas como funções reais de variável real Gráficos de funções trigonométricas; Estudo intuitivo das funções trigonométricas; Transformações dos gráficos das funções trigonométricas Definir as funções trigonométricas como funções reais de variável real. Representar graficamente as funções trigonométricas. Conhecer propriedades das funções trigonométricas. Obter gráficos de funções trigonométricas a partir do gráfico de y = sinx e y = cosx. Utilizar as funções trigonométricas na moderação de situações reais. 1 12
Aplicação das funções trigonométricas na modelação situações reais Utilização da calculadora na modelação de funções gráfica é uma sinusóide 4 Equações trigonométricas. Fórmulas trigonométricas Equações trigonométricas Fórmula fundamental da trigonometria Fórmulas trigonométricas do seno, coseno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos Razões trigonométricas do ângulo 5 Derivada das funções trigonométricas Estudo intuitivo do sin x lim x 0 x ; Derivada das funções trigonométricas; Resolução de problemas envolvendo a derivada de funções trigonométrica. Resolver equações trigonométricas. (Revisão) Deduzir as fórmulas sin 2 a+cos 2 a=1 e tan a = sin a /cos a sendo a um ângulo qualquer. (Revisão) Deduzir as fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos. Verificar identidades trigonométricas aplicando fórmulas trigonométricas. Conhecer que sin x lim x 0 x = 1 Calcular limites aplicando o conhecimento de que sin x lim x 0 x = 1 Deduzir e aplicar as fórmulas das derivadas das funções y = sinx; y = cosx e y = tan x, Resolver problemas envolvendo a derivada de funções trigonométricas. 3 5 13
6 Números Complexos. Forma algébrica e forma trigonométrica. Evolução do conceito de número, O conjunto dos números complexos; Representação geométrica de um número complexo; Complexos conjugados e complexos simétricos; Operações com números complexos; O número i como operador da rotação de 90º; Raízes complexas de uma equação do 2. grau; Módulo e argumento de um número complexo; Forma trigonométrica de um número complexo; Operações com números complexos na forma trigonométrica; Construção geométrica das raízes de uma equação em C; Translação e rotação no plano de Argand. Identificar 1 como i, ou seja, a unidade imaginária. Determinar as soluções imaginárias de uma equação do 2 grau que seja impossível em IR. Conhecer o conjunto C Representar geometricamente um número complexo. Escrever n conjugado e o simétrico de um número complexo. Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois números complexos. Calcular potências de i. Reconhecer que multiplicar por i um número complexo equivale a rodar 90º a sua representação geométrica. Determinar as raízes complexas de uma equação. Calcular o módulo e o argumento de um número complexo. Escrever números complexos na forma trigonométrica e na forma algébrica. Multiplicar e dividir dois números complexos escritos na forma trigonométrica. Calcular uma potência de um número complexo escrito na forma trigonométrica. Calcular as raízes de índice n de um número complexo escrito na forma trigonométrica moderação de situações reais. 4 14
7 Números Complexos. Forma algébrica e forma trigonométrica. Operações com condições e com conjuntos (Revisão); Conjuntos definidos por condições envolvendo números complexos. Representar no plano complexo conjuntos definidos por condições. Escrever uma condição que represente um conjunto de pontos, definido no plano complexo. Interpretar condições em C tais como: Iz z1 =r Iz z1 = Iz z2 Im (z z1) = a Re (z z1) = b arg (z z1) = 5 15