Fatoração QR Antonio Elias Fabris Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Map 2210 Aplicações de Álgebra Linear Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 1 / 13
Projetores Um projetor é uma matriz quadrada P tal que P 2 = P Projetores podem ser não-ortogonais (posterior) Se v Im(P) então Pv = v Todo projetor P projeta sobre Im(P) na direção do Ker(P) Pv Im(P) e Pv v Ker(P) Pv Pv v v Imagem(P) Figura: Uma projeção obliqua Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 2 / 13
Projetores Complementares Se P é um projetor então I P é projetor I P é denominado projetor complementar de P I P projeta sobre o Ker(P) na direção da Im(P) De fato, Im(I P) = Ker(P) Ker(I P) = Im(P) Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 3 / 13
Subespaços Complementares Para um projetor P Ker(I P) Ker(P) = {0} Im(P) Ker(P) = {0} (Teorema) Um projetor P separa C m em dois subespaços C m = Im(P) Ker(P) Dizemos que P é o projetor sobre a Im(P) na direção do Ker(P) Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 4 / 13
Projetores Ortogonais Seja P um projetor Definição (geométrica): P é ortogonal se Im(P) Ker(P) Equivalente algébrica: Teorema: P é ortogonal P = P v Pv v Pv Imagem(P) Figura: Uma projeção ortogonal Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 5 / 13
Construção de Projetor Ortogonal via Base Ortonormal SVD reduzida fornece um projetor para colunas ortonormais ˆQ: P = ˆQ ˆQ Complemento I ˆQ ˆQ também ortogonal, projeta sobre o espaço ortogonal Im( ˆQ) (Caso Especial 1) Projetor ortogonal de posto 1 (fornece componente na direção q) P q = qq (Caso Especial 2) Projetor ortogonal de posto m 1 (elimina componente na direção q) P q = I qq Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 6 / 13
Construção de Projetor Ortogonal via Base Arbitraria Seja A C m n de posto máximo e v C n Seja y Im(A) projeção ortogonal de v. Então Seja x C n : y = Ax y v Im(A) a j (y v) = 0 j a j (Ax v) = 0 j A (Ax v) = 0 A Ax = Av A A é invertível x = (A A) 1 A v Então, a projeção de v é y = Ax = A(A A) 1 A v fornecendo o }{{} P projetor ortogonal P = A(A A) 1 A Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 7 / 13
Fatoração QR: Idéia Encontrar vetores ortonormais q j que sucessivamente geram os espaços gerados pelas colunas de A C m n a 1 a 1, a 2 a 1, a 2, a 3 Isto significa que (para matrizes A de posto máximo) q 1, q 2,..., q j = a 1, a 2,..., a j j = 1, 2,..., n que pode ser resumido na forma matricial como a 1 a 2 a n = q 1 q 2 q n } {{ } ˆQ r 11 r 12 r 1n r 22... r nn } {{ } ˆR Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 8 / 13
Fatoração QR Completa A C m n, m n Fatoração QR Reduzida: A = ˆQ ˆR A C m n, m n Fatoração QR Completa Acrescenta-se m n colunas ortonormais a ˆQ e m n linhas nulas a ˆR = A Q R Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 9 / 13
Ortogonalização de Gram-Schmidt Determinar novos q j ortogonais a q 1,..., q j 1 subtraindo-se componentes nas direções dos vetores anteriores: v j = a j (q 1a j )q 1 (q 2a j )q 2 (q j 1a j )q j 1 Normalizar v j para obter q j : q j = v j / v j Obtemos então a fatoração reduzida QR (A = ˆQ ˆR) com r ij = q i a j, (i j) e j 1 r jj = a j r ij q i 2 i=1 Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 10 / 13
Gram-Schmidt Clássico Aplicação direta da ortogonalização de Gram-Schmidt Algoritmo 1 Gram-Schmidt Clássico (Instável) Entrada: A = [a ij ] C m n Saída: Q = [q ij ] C m n, R = [r ij ] C n n 1: for j = 1 to n do 2: v j = a j 3: for i = 1 to j 1 do 4: r ij = q i a j 5: v j = v j r ij q i 6: end for 7: r jj = v j 2 8: q j = v j /r jj 9: end for Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 11 / 13
Existência e Unicidade (Existência) Qualquer A C m n (m n) possui fatorações QR completa e reduzida. (Unicidade) Cada A C m n (m n) de posto máximo tem uma única fatoração reduzida A = ˆQ ˆR com r jj > 0 Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 12 / 13
Solução de Ax = b via Fatoração QR Ax = b QRx = b Rx = Q b Método para a solução de Ax = b 1 Calcule uma fatoração A = QR 2 Calcule y = Q b 3 Resolva Rx = y para a determinação de x Fatoração QR é um método excelente para solução de sistemas lineares mas não é o método padrão Eliminação de Gauss é o algoritmo geralmente usado na prática pois o número de operações aritméticas deste é no máximo a metade das requeridas pelo método da fatoração QR. Análises de robustez versus eficiência entre estes algoritmos serão discutidas posteriormente no curso. Antonio Elias Fabris (IME-USP) QR 13 / 13