Prmero Exercíco da Lsta de Interpolação TOL 9 Busque uma expressão de segundo grau e outra de tercero grau que melhor aproxmam a função x 4 no ntervalo x. Analse e dscuta seus resultados confrontado-os grafcamente Solução no MATHCAD: Mudança de varável: x [, ] para z [-, ] Xz ( ) z 5 X( z) 4 Zx ( ) x 5 P 4 ( z) expand z 4 54z z z 65 C P 4 ( z) coeffs 65 54 Aproxmação de Tercero Grau a) Smples Truncamento P t ( z) C z E t ( z) P t ( z) MSE t t ( z) d ER t ( z) E t ( z) b) Telescopagem Tn 4 ( z) z 4 z P ( z) P 4 ( z) E ( z) c) Polnômo de Jacob r4.66594.99455.99455.66594 Raízes de P 4 (,) (z) E ( z) C Tn 4 4 ( z) MSE ( z) d P ( z) 54z 4z Pn 4 ( z) z z r4 499 D Polnômo Nodal P ( z) coeffs ER ( z) E ( z) 499 4 54 dp 4 ( z) d z Pn 4 d ( z) L ( z ) z Pn 4 ( z) r4 dp 4 r4 Interpoladores de Lagrange P J ( z) L ( z ) f r4 P J ( z) collect 54.z 49.4574576z.z 6.574577 E J ( z) P J ( z) MSE J J ( z) d ER J ( z) E J ( z) E t ( ) E t ( ) MSE t 79 E ( ).5 E ( ).5 MSE.444 E J ( ).54 E J ( ).54 MSE J.7
w Erro Absoluto Erro Relatvo % fw P t w P w P J w 4.5.5 w E t w E w E J w 6 4 ER t w ER w ER J w.5.5.5.5 w w 6 4 P t ( Zx ( )) collect x x x 65 P ( Zx ( )) collect x 4x 4x P J ( Zx ( )) collect 9.999999999999999999 x 4.5745745x 4.57457446x 49.574577 Aproxmação de Segundo Grau a) Smples Truncamento P t ( z) C z E t ( z) P t ( z) MSE t t ( z) d ER t ( z) E t ( z) b) Telescopagem Tn ( z) z 4 z E ( z) D Tn ( z) E ( z) MSE ( z) d ER ( z) E ( z) P ( z) P ( z) D Tn ( z) c) Polnômo de Jacob P ( z) 4z 95z 499 E P ( z) coeffs 499 95 4 r.7745966694.7745966694 Raízes de P (,) (z) Pn ( z) z r Polnômo Nodal dp ( z) d z Pn d ( z) L ( z ) z Pn ( z) r dp r Interpoladores de Lagrange P J ( z) L ( z ) f r P J ( z) collect 9.5999999999946z.99999999959564z 65. E J ( z) P J ( z) MSE J J ( z) d ER J ( z) E J ( z)
E t ( ) 6 E t ( ) 459 MSE t 46.4 E ( ) 45.5 E ( ) 4.75 MSE 9.57 E J ( ) 4.4 E J ( ).6 MSE J 674.79 Erro Absoluto Erro Relatvo % 4 fw P t w P w P J w.5.5 E t w E w E J w ER t w ER w ER J w.5.5.5.5 w w P t Zx ( ) w ( ) collect x x 75 P ( Zx ( )) collect 59x 955x 9 P J Zx ( ) ( ) collect 55.999999999969x 946.67959x 47.547 Segundo Exercíco da Lsta de Interpolação Aproxmação de Menor Grau da Exponencal - E < -. Aproxme a função e x no ntervalo: x + por um polnômo de menor grau em x, em que se assegura que o módulo do erro seja menor do que. -. CONSIDERANDO A NORMALIZAÇÃO : z = x- f ( z) ee z Por aproxmações das potêncas de y superor a por polnômos de Chebyshev e 46 7 7 Erro parcela Erro 9 56 7 6 5 6 4 parcela.6 e 7.49 7 z z 4 z 5 4z z z 4 5 6 5z 4z z 5z 6 7 64 56z 5 44z z 6z 9 56 z c 777 77 4759 47456 46 49 764 P ( z) P ( ).7 c z Erro maxmo = f() - P () = (P ()+Erro parcela ) - P () Erro maxmo Erro parcela Erro parcela P ( ) Erro maxmo.9 Módulo do Erro Máxmo maor do que o admssível
Por aproxmações das potêncas de y superor a 4 por polnômos de Chebyshev e 46 9 Erro parcela Erro 9 56 7 6 5 6 parcela 5.9 4 4577 z z z 4 54z z z 4576 z 4 5 6 4759 6z 4 z 5z 4z z 5z 47456 6 7 64 z 4 z 56z 5 4 4z C z 6z 46 9 56 49 764 9 Erro 4 maxmo Erro parcela Erro parcela P 4 ( ) exp ap ( x) P 4 ( ) P 4 ( x ) collect 75494x 4 6799 P 4 ( z) 4 C z P 4 ( ).7769 Erro maxmo. Módulo do Erro máxmo menor do que o admssível 45557x 764494 746x 494656 6569959x 6794774 644 5764766 Ex ( ) e x exp ap ( x) Ex ( ) dx. 6 E ( ).4 E ( ) 4.7 4 x erro( x) e x exp ap ( x) x e exp ap x 6 4.5.5 x errox Erro maxmo Erro maxmo 4 ε errox max( ε). ε. Erro maxmo. 4.5.5 x Tercero Exemplo da Lsta de Interpolação Polnomal Hougen & Watson sugerem a expressão empírca abaxo para o cálculo do calor específco 6 molar do gás ntrogêno : CP 6.. T.4 T, onde: C p : cal/gmol/k e T: Kelvn. Na faxa de a K, o erro máxmo do calor específco calculado por esta expressão é de. %. a) determne a aproxmação lnear de C P que mnmza o máxmo do erro adconal na faxa de a K; b)calcule o erro percentual máxmo da aproxmação proposta em a). C P ( T) 6.. T.4 6 T 4
Aproxmação Lnear do calor específco do Ntrogêno Prmero Método : mnmzação da ntegral do quadrado do erro c c 6.. Mnmze( Jc) c T 7.475 7.5 4 Jc ( ).66 J( c) T y C P T Y c pl T erro ET c pl ( T) c c T C P ( T) c c T T d E( T) C P ( T) c pl ( T) y Y..6.4.y..9y 7. 7.6.4. T.4. erro..4.6.4. Erro relatvo (%) T m erro max( m).5 ER ER Y.y Y.9y ER ER P P ER ER max( P).5 max( P).96 mn( P).455 mn( P).6.4. T Segundo método: aproxmação de T pela melhor reta Tz ( ) ( z) Tz ( ) collect z z Telescopagem: z collect z 7 com erro: c pt ( T) 6.. T.4 6 T 7 collect.75t 7.5 E( T) C P ( T) c pt ( T) ET ( ) dt.6 T y C P T Y c pt T erro ET.4 6.4 Y ER ER.y 5 Y.9y
y Y..6.4.y..9y 7. 7.6.4. T erro.6.4...4.6.4. T m erro max( m).4 max( m) C P ( ).55 ER ER P P ER ER max( P).7 mn( P).6 max( P).776 mn( P).66.4. T Quarto Exemplo da Lsta de Interpolação Polnomal A varação do coefcente de expansão térmca do alum íno na faxa de a o C é dada por: 4 6 o k ( T ). T.9 T com T : C. a) aproxme k(t) por uma constante, na mesma faxa de a o C, de modo que o valor do erro máxmo seja mínmo; b) Calcule o valor médo de k(t) k k ( T ) dt e sua méda artmétca (na mesma faxa de temperatura) e compare e dscuta todos estes valores sugerndo que valor é o mas adequado!. π Razes_Chebshev( na b ) θ n for j n r cos[ ( j ) θ] r x a nj x r b Lagrange( nx y X) Y for n p for j n X x j p p f j x x j Y Y py a b n x Razes_Chebshev( na b ) x ( ) kt ( ). 4.9 6 T T 6 Y
n y kx j j X a ( b a) j y apj YX y j exj kx j YX ( ) Lagrange( nx y X) y exj y apj y exj y apj y 4 6 X j X j x 4 6 X j X j x kt ( ) dt k medo k medo. e y j exj k medo k ( ) k( ) k art k art.45 e y j exj k art k mn y k mn.5 e y j exj k mn max( e).6 max( e).45 max( e).6 kt ( ) k medo dt 4.7 7 kt ( ) k art dt 4.7 7 kt ( ) k mn dt 4.7 Qunto exercíco da Lsta de Interpolação Polnomal Nas Tabelas abaxo apresentam-se os valores da condutvdade térmca do CO e da vscosdade do etleno glcol líqudo a váras temperaturas: T ( o F) k (BTU/hr/ft/ o F) T ( o F) (lb/ft/hr).5 4... 9.. 57..6 5.57 Determne, em cada caso, o polnômo nterpolador de menor grau possível que assegure um erro relatvo nferor a. % na faxa tabelada de T. Observação: a dependênca polnomal de com T é mas adequadamente expressa por ln(). 7
(a) Condutvdade Térmca do CO_ T 9 57 k.5... k T (.9... ) K T (.9... ) n m x T y k m x T y k m m m m K K Lagrange nx y T E e E k E T (.49 ) max( e).49 ERRO % MÁXIMO n (b) Vscosdade do Etleno glcol a váras temperaturas 4 T x T T y z z μ 4..5.6 5.57 T z ln μ z 5.49 4.4.4.54.77 Y 4 Y exp Lagrange nx y T E ε E μ Y T ( 9.57..6.6 4.96 ) max( ε).4 ERRO % MÁXIMO n x T T T 4 z y Y z Y exp Lagrangenx y T E ε E μ z 4 max( ε).46 ERRO % MÁXIMO Y T ( 4..59.456 5.57 ) n 4 x T T T T 4 z z Y y Y exp Lagrange nx y T z E ε E μ z 4 max( ε).9 ERRO % MÁXIMO Y T ( 4..775.6 5.57 ) X Y exp Lagrange nx y X k 4 Y μ k X T k
Sexto exercíco da Lsta de Interpolação Polnomal A tabela abaxo mostra a dependênca da pressão parcal do vapor de amôna com a temperatura a dferentes concentrações: Concentração percentual molal da amôna Temperatura ( o F) 5 5 6.6.4.5 5.55.65..5.4 5.5 9.6.6.6.95 4.5 9.4 4...6 4.9 9.9.49.54 45.7 64.7 7.5.65 44. 6.6.7.6 7.9 4.47.9. 56.4.4 9. 66.67 4. 69.4 9.6 5.6 por nterpolação lnear nas duas varáves ndependentes [temperatura e concentração] calcule as pressões parcas da amôna nos seguntes casos: T [ o C] 6.5 6.5 6.5 6. 7.5 7.5 Concentração Molal [%]. 6.7 5.. 7.6 5. T 6 4 X 5 5 P.6.5.95.9 7.5 7.9 9..4.4 4.5 9.9.65 4.47 66.67.5 5.5 9.4.49 44..9 4. 5.55 9.6 4..54 6.6. 69.4.65.6. 45.7.7 56.4 9.6..6.6 64.7.6.4 5.6 θ 6.5 6.5 6.5 6 7.5 7.5 C. 6.7 5 7.6 5. 9
P nterpolado ( θc ) 6 j 5 for n 6 f θ T n for f n break n 5 C X n j n break y T y T ΔT y y x X j x X j ΔX x x for for n m A P nm njm y θ α ΔT θ y α ΔT x C β ΔX C x β ΔX Y Y j 5 YY P nterpolado θ C α β A j j YY T ( 4.66 6. 5.694.6 94.5 66. )