MAT105 - Fundamentos de Matemática Elementar I Prof. Dr. Diogo Machado (diogo.machado@ufv.br) 1o semestre de 2016 Universidade Federal de Viçosa - UFV Departamento de Matemática
Um dos mais importantes conceitos da Matemática é o conceito de conjunto. Na Matemática atual, podemos dizer que a noção de conjunto constitui a mais fundamental das idéias. A partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser expressos. Mesmo se tratando de um conceito de tamanha importância, a noção de conjunto pode ser considerado a mais simples das idéias matemáticas. A noção matemática de conjunto é bem alinhada com a noção que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção. Há três noções que serão aceitas sem uma definição formal de seu significado (noções primitivas): a) conjunto; b) elemento; c) pertinência entre elemento e conjunto;
Alguns exemplos de conjuntos: 1) conjunto das vogais 2) conjunto dos números ímpares positivos 3) conjunto dos estados brasileiros que estão localizados na região sudeste 4) conjunto das estações climáticas do ano Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado de elemento. Nos exemplos acima, temos os elementos: 1) a,e,i,o,u 2) 1,3,5,7,9,11,... 3) Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo 4) Inverno, Outono, Primavera, Verão
Não existe restrições quanto à escolha dos elementos de um conjunto. Dessa forma, podemos conceber um conjunto que seja formado por um número real, uma bola de futebol e um automóvel. Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Como por exemplo, o conjunto dos clubes que disputam um determinado campeonato. Este é um conjunto formado pelas equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores. Não vamos admitir a possibilidade de um conjunto ser elemento dele mesmo. É comum indicar os conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas de nosso alfabeto. Se um objeto p é elemento de um conjunto U, dizemos que p pertence a U e denotamos essa relação por p U. Caso contrário, dizemos que p não pertence a U e escrevemos p / U.
Para descrever um conjunto é comum usar qualquer dos três procedimentos a seguir: (1) Descrever seus elementos por uma sentença. Por exemplo:. conjunto dos números naturais;. conjunto das vogais; (2) Listar seus elementos. Por exemplo:. {0,1,2,3,4,5,... };. {a,e,i,o,u}; (3) Descrever seus elementos por meio de uma propriedade. Um determinado conjunto A, cujos elementos são caracterizados como aqueles objetos que tem uma determinada propriedade P, pode ser descrito como A = {x x tem a propriedade P}. Lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P. Exemplos:. {x x é número natural};. {x x é vogal};. {x x é Estado da região sudeste};
Em algumas ocasiões, é comum considerarmos que os elementos com o qual estamos trabalhando pertença a um determinado conjunto U, chamado conjunto universo. Por exemplo, ao se realizar um estudo sobre as raízes reais de equações do 2o grau, é comum considerarmos o conjunto universo como sendo o conjunto dos números reais. Se quisermos explicitar o conjunto universo U em questão, então ao descrevermos um conjunto A por meio de uma propriedade P, devemos fazer da seguinte maneira: A = {x U x tem a propriedade P}. Lê-se: A é o conjunto dos elementos x pertencentes a U tal que x tem a propriedade P. Um conjunto é dito conjunto unitário quando possui um único elemento. Chamamos de conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. Vamos denotar o conjunto vazio pelo símbolo:. O conjunto vazio pode ser definido por meio de qualquer propriedade contraditória. Por exemplo:. = {x x x};. = {x x > 10 e x < 5};
Relação de Inclusão: Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A for também elemento de B, diz-se que A está contido em B. Notação: A B. Exemplos: (i) {a, b} {a, b, c, d}; (ii) {a, b} {a, b}; (iii) Considere os conjuntos N e Z definidos, respectivamente, por N = {0, 1, 2, 3,...} (Conjunto dos números naturais); Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} (Conjunto dos números inteiros). É fácil observar que N Z. Quando A B, podemos escrever B A. Além disso, também podemos dizer:. A é subconjunto de B;. A é parte de B;. B contém A.