Eletromagnetismo II Prof. Dr. R.M.O Galvão - Semestre 05 Prearo: Diego Oliveira Aula 4 Disersão Ótica em Meios Materiais Em Eletromagnetismo I discutimos como um camo elétrico externo é alterado em um meio material ela olarização das cargas ligadas (em átomos e moléculas). O modelo físico básico é que, na resença de um camo elétrico, uma molécula se olariza, com as cargas ositivas se deslocando na direção do camo e as negativas no sentido contrário, até que uma condição de equilíbrio seja alcançada. Nesta situação, a força elétrica devido à searação de cargas contrabalança a força do camo externo e um diolo local é formado, de magnitude onde d é a searação média entre cargas ligadas. Portanto, ara distâncias muito maiores que as dimensões tíicas de uma molécula, sua olarização dará origem a um camo de diolo dentro do material. Se a densidade de moléculas for N, o vetor olarização é definido como P = N = N q d e o vetor deslocamento elétrico como D = ɛ 0 E + P
O quanto o material se olariza na resença de um camo elétrico deende de suas características intrínsecas e, em eletrostática, e ara camos elétricos muito intensos, é comum suor que a olarização varia linearmente com o camo, isto é, P = ɛ 0 χ E onde χ é uma grandeza adimensional, denominada suscetibilidade elétrica do meio. Com esta hiótese, temos que D = ɛ 0 ( + χ) E = ɛ 0 ɛ r E onde ɛ r = + χ é a constante dielétrica relativa do meio. ɛ r = ɛ/ɛ 0. Esta curta revisão resume o modelo físico utilizado ara descrever o camo eletrostático em meios materiais. No entanto, naturalmente não eseramos que este modelo continue válido ara camos elétricos variando com o temo. Isto orquê quando o camo elétrico começa a variar, a resosta da molécula a esta variação não é instantânea. A molécula se alonga com um temo característico rório, se comortando, em mais baixa ordem, como um oscilador harmônico com uma frequência de vibração rória, que vamos reresentar or ω 0. Como os diolos elementares reresentando as moléculas olarizadas deendem da searação efetiva entre as cargas, é necessário determinar como esta searação varia com o temo. É isto que faremos a seguir utilizando um modelo clássico ara a molécula olarizada or um camo elétrico que varia com o temo. Modelo de Drude-Lorentz Vamos suor que uma onda eletromagnética lana E = E 0 e i ( k r ωt) esteja se roagando em um meio material. Consideremos que esta onda esteja na faixa ótica, de forma que seu comrimento de onda seja muito maior (ordens de grandeza) que as dimensões moleculares do meio. Sob esta condição, vai atuar sobre a molécula uma força eriódica dada or F E = qe 0 e iωt onde absorvemos a fase e i k. r em E 0, já que r é a osição da molécula que consideramos fixa. Esta força elétrica oscilante fará com que as cargas ositivas e negativas da molécula os-
cilem em sentidos contrário. Mas naturalmente entre elas há uma força atrativa interna tentando restaurar a osição de equilíbrio. No modelo de Drude-Lorentz esta força é modelada como a força restauradora de um oscilador harmônico. Este modelo é aroriado or que, em estado de equilíbrio, as cargas devem estar em um minimo do otencial molecular, ou seja, onde sua rimeira derivada é nula e a segunda ositiva. Como sabemos de mecânica clássica, nessas condições odemos analisar equenas oscilações no entorno do equilíbrio aroximando o sistema como um oscilador harmônico. Assim, no modelo de Drude-Lorentz a força restauradora é modelada como (o índice lig significa carga ligada ) F li g = kx = mω 0 x onde k é a constante de elasticidade da molécula, m a massa efetiva da carga que está oscilando em torno da osição de equilíbrio e ω 0 a frequência natural de oscilação da molécula. Finalmente, quando as cargas da molécula oscilarem no camo externo, elas serão aceleradas ou desaceleradas. Como veremos na sequência deste curso, cargas aceleradas emitem radiação e, ortanto, erdem energia. No modelo de Drude-Lorentz esta erda de energia é reresentada or uma força de amortecimento. F amor t = mγv = mγ dx dt Com esses três ingredientes, odemos escrever a equação de movimento ara carga efetiva do diolo molecular que está oscilando na resença do camo externo, m d x dt = qe 0e ( iωt) γm dx dt mω 0 x onde x reresenta a searação entre as cargas efetivas ositiva e negativa do diolo. Dividindo todos os termos or m e rearranjando, temos d x dt + γdx dt + ω 0 x = q m E 0e iωt A solução desta equação é simlesmente x(t) = x 0 ex( iωt), ou seja, [ ω iγω + ω ] 0 x0 = q m E 0 3
ou x 0 = q/m ω 0 ω iγω E 0 Tendo a exressão ara a variação temoral entre as cargas do diolo, odemos determinar o momento diolar (t) = qx(t) (t) = q/m ω 0 ω iγω E 0e iωt Suondo que todas as moléculas sejam de um só tio e que sua densidade seja N, odemos finalmente determinar a exressão do vetor olarização. P = N P(t) = N q/m ω 0 ω iγω E 0e iωt ou, escrevendo na forma vetorial, P(t) = ɛ 0 χ E(t), onde a suscetibilidade deendente da frequência é definida como χ(ω) = ω ω 0 ω iγω ; ω N q mɛ 0 A frequência ω é denominada frequência de lasma do meio. Substituindo a exressão do vetor olarização ara o vetor deslocamento elétrico, obtemos ω D = ɛ 0 ɛ r E; ɛ r = + χ = + ω 0 ω iγω Portanto, devido ao amortecimento, a constante dielétrica será comlexa. Multilicando o segundo termo na exressão ɛ r elo comlexo conjugado do denominador, temos ɛ r = Re[ɛ r ] + i Img [ɛ r ]; Re[ɛ r ] = + ω (ω 0 ω ) (ω 0 ω ) + γ ω Img [ɛ r ] = γω (ω 0 ω ) + γ ω Antes de rosseguir, vamos ver o efeito de ɛ r ser comlexo na roagação de uma onda 4
elo meio. Recordando o que a equação de onda ara o camo elétrico é E µɛ E t = 0 temos que a sua solução é dada or E( r, t) = E 0 e i ( k r ωt), onde ( k µɛω ) E = 0 k = µɛω Mas agora, ɛ = ɛ 0 ɛ r será comlexo! Portanto, como no caso de roagação em meios condutores, a constante de roagação será comlexa, ou seja, escrevendo k = k ˆk temos k = α + iβ; k = α β + iαβ = µɛ 0 [Re[ɛ r ] + i Img [ɛ r ] Problema: Mostre que o resultado a seguir está correto. Seguindo exatamente o mesmo rocedimento que o adotado no estudo de ondas em meios condutores, obtemos ( ) µɛre[ɛ r ] Img [ɛr ] α = ω + + Re[ɛ r ] / e ( ) µɛre[ɛ r ] Img [ɛr ] β = ω + + Re[ɛ r ] / Como no caso de roagação de ondas em meios condutores, a constante de decaimento β rovocará um amortecimento da onda. Mas, neste caso, o amortecimento não é causado 5
elo efeito Joule ( j = σ E) como nos condutores, mas sim ela erda de energia nos diolos elementares oscilantes. Por outro lado, a arte Re[ɛ r ] vai determinar a velocidade de fase da onda se roagando no meio, através do coeficiente α, isto é v f = ω α Em articular, se Img [ɛ r ] Re[ɛ r ], odemos escrever ou α ω µɛre[ɛ r ] [ ( + + α ω [ µɛre[ɛ r ] + 8 v f µre[ɛr ] ( ) Img [ɛr ] )] Re[ɛ r ] ( ) Img [ɛr ] ] Re[ɛ r ] Como o índice de refração do meio é definido or temos que n = c v f n Re[ɛ r ] No entanto, nem semre odemos considerar Img [ɛ r ] Re[ɛ r ], rincialmente ara frequências róximas da frequência de ressonância da molécula, ω ω 0. Para ver isto, vamos fazer os gráficos de Re[ɛ r ] e Img [ɛ r ] ara frequências róximas de ω 0. Para melhor ver o comortamento das curvas, notamos que nestas condições (ω ω 0 ) odemos escrever ω 0 ω = (ω 0 + ω)(ω 0 ω) ω 0 (ω 0 ω) Então, neste limite, temos Re[ɛ r ] = ω ω 0 (ω 0 ω) (ω 0 ω) + γ /4 ; Img [ɛ r ] ω ω 0 γ/ (ω 0 ω) + γ /4 6
Re@Εr D- Fazendo os gráficos de Re[²r ] e I mg [²r ] em função de ω, obtemos a figura a seguir M Ω0 Ω0 - Ω Γ Ω0 + Γ Portanto, exatamente na ressonância, Re[²r ] =, como no vácuo, mas o amortecimento é máximo, ou seja, I mg [²r ] = M = ω ω0 ω0 γ Então, na ressonância ³ / α ω=ω0 = ω µ² + +M e β ³ / + + M ω=ω0 = ω µ0 ²0 Portanto, embora na ressonância Re[²r ] =, a velocidade de fase, v f = mas é dada or ³ / vf = c + +M e a absorção da onda é máxima. 7 ω α não é igual a c,
Por outro lado, notamos que nas regiões ω < ω 0 γ/ e ω > ω 0 +γ/ a arte Re[ɛ r ] cresce com a frequência enquanto que, na região ω γ/ < ω < ω 0 + γ/, ela decresce com a frequência. Como o índice de refração deende de Re[ɛ r ], temos nas duas rimeiras regiões n cresce com ω enquanto que decresce coma frequência na região intermediária. Portanto, suondo que um feixe de lux branca incidindo na interface do meio, vindo do ar, com ângulo de incidência θ, temos que o ângulo de difração, sen θ = sen θ /n será menor ara as comonentes de mas alta frequência da luz (ultravioleta) do ara as de menor frequência (infravermelho). Esta situação é denominada de disersão convencional. Por outro lado, o inverso ocorre com o intervalo ω 0 γ/ < ω < ω 0 + γ/, que é denominada região de disersão anômala. Problemas:. Mostre que o máximo e mínimo de Re[ɛ r ] ocorrem em ω 0 ± γ/ e que esses ontos corresondem exatamente aos ontos de meia altura da curva γ(ω), de modo que a largura desta curva é γ.. Calcule a velocidade de fase da onda, v f, e o fator de amortecimento na ressonância, ω = ω 0 em condições tais que M. 3. Para materiais transarentes, as ressonâncias ocorrem tiicamente no ultravioleta. Desta forma, na faixa do visível, odemos considerar ω ω 0. Neste caso, mostre que a exressão aroximada ara o índice de refração é dada ela exressão de Cauchy, n = + A ( + Bλ ) ; A e B constantes 8