PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 quadrado do segundo termo primeiro termo 2 x (primeiro termo) x (segundo termo) quadrado do primeiro termo segundo termo Quadrado da diferença de dois termos (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b) (a b) = a 2 b 2 quadrado do segundo termo Cubo da soma (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Cubo da diferença cubo do segundo termo quadrado do primeiro termo 3 x (primeiro termo) x (quadrado do segundo termo) 3 x (quadrado do primeiro termo) x (segundo termo) cubo do primeiro termo (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 1) Efetue as operações e reduza os termos semelhantes a) (2x + 1) 2 + 2x(x 1) 2 c) (4ay 1) 2 4(ay 1) 2 b) (ab + 1) 2 + ab(ab + 2) 2) Efetue as operações indicadas. a) ( x a + a x ) (x a a x ) (x2 a 2 a2 x 2) b) (1 x + x)2 (x 1 x )2 1 5
3) As áreas destes retângulos podem ser calculadas, se for aplicado o produto notável. Calcule essas áreas em cm para os dados de cada item. a) 3x 1 = 5 c) (x 4) (x + 4) = 0 b) (y + 1) (y 1) = 3 d) (a + 3) (a 3) = 7 e b = a 1 4) Calcule os produtos notáveis a) (a + 3) 3 (a + 1 2 )2 c) (x 2 1 2 )3 (x + 1 2 )3 b) (2x + 3) 3 + (x 3) 2 d) (3 + 4y) 3 + (5 2y) 3 5) Calcule o volume, em centímetros cúbicos, deste paralelepípedo (ou bloco). para ( 1 4 + x) (1 4 x) = 1 2 NÚMEROS COMPLEXOS Quando alguma equação exige uma raiz quadrada de um número negativo, a solução é impossível dentro do conjunto dos números reais (R). Por isso, os matemáticos idealizaram um número imaginário (i). A partir deste, surgiram novos números, constituindo o conjunto dos números complexos (C). 2 5
Unidade imaginária Chamamos unidade imaginária ao número i tal que: i 2 = 1, ou seja, i = 1 1) Resolva as equações em C. a) x 2 4x + 5 = 0 c) 2x 2 + 5x + 4 = 0 b) x 2 + 2x + 5 = 0 d) 4x 2 8x + 7 = 0 2) Calcule. a) ( 7i) 2 c) (1 i) 2 b) (3i) 2 d) ( 2 3 + 3i)2 Forma Algébrica Todo número complexo pode ser escrito na forma z = a + bi, com a, b R, denominada forma algébrica. O número real a é denominada parte real de z, e o número real b é denominado parte imaginária de z. a = Re(z) R z = a + bi { b = Im(z) R Exemplos: a) z = 5 2i { a = 5 b = 2 b) z = 10i { a = 0 b = 10 c) z = 3 { a = 3 b = 0 Se a 0 e b 0, é número imaginário. Se a = 0 e z = bi, é número imaginário puro. Se b = 0 e z = a, é número real 3) Determine o valor de m e n para que o complexo z = (m 2 4) + (n 3 27)i seja um imaginário puro. Igualdade de números complexos Dois números complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. a + bi = c + di { a = c e b = d 3 5
4) Determine a e b de modo que a + bi = 3 + 2i. 5) Determine x e y de modo que (2x + y) + 6i = 5 + (x + 4y)i Conjugado de um número complexo Sendo z = a + bi, define-se como complexo conjugado de z o complexo z = a bi. Obtemos o conjugado de um número complexo trocando o sinal do coeficiente da parte imaginária. Exemplos: z = 2 3i z = 2 + 3i z = 8i z = 8i z = 4 z = 4 Operações com números complexos Adição e Subtração Dados dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, temos por definição: a) z1 + z2 = (a + c) parte real + (b + d)i parte imaginaria b) z1 z2 = (a c) parte real + (b d)i parte imaginaria 6) Efetuar: a) (2 + 3i) + (6 + 4i) b) (6 + 5i) (2 + 3i) 7) Determinar o número complexo z tal que 5z + z = 12 + 16i. Multiplicação Multiplicando dois números complexos de acordo com a regra da multiplicação de binômios e sabendo que i 2 = 1, temos: 8) Efetuar: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci bd (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i a) (2 + 4i) (1 + 3i) b) (3 2i) 2 9) Determinar x de modo que (3x i) 2 seja um número imaginário puro. 4 5
Divisão Dados os complexos z1 e z2 com z2 0, podemos fazer z 1 denominador da fração pelo conjugado do denominador. 10) Calcule os quocientes: a) 2 i 2 + i 11) Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter z 1. Potências de i z 1 = z 1 z 2 z 2 b) 4 2i 3i multiplicando o numerador e o Calculando-se as potências de expoentes naturais de i, observa-se que os resultados se repetem com um período de quatro, isto é: i 0 = 1 i 4 = i 2 i 2 = ( 1) ( 1) = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = 1 i = i i 5 = i 4 i = 1 i = i i 6 = i 5 i = i i = i 2 = 1 i 7 = i 6 i = 1 i = i Portanto, para calcular o resultado de uma potência inteira de i, divide-se o expoente por 4 e toma-se o resto da divisão como novo expoente de i. 12) Efetue: a) i 431 b) 1 Observações: i 35 O inverso do número complexo z 0 é 1 z Dados os números complexos z1 e z2, valem as seguintes propriedades: P1 = z 1 + 2 = z 1 + z 2 P2 = z 1 2 = z 1 z 2 P3 = z n = (z ) n 5 5