Uma bola rola sobre o telhado de uma casa até cair pela beirada com velocidade v 0. Sendo a altura do ponto de onde a bola cai iuala H e o ânulo de inclinação do telhado, com a vertical, iual a θ, calcule: a) O tempo necessário para a bola atinir o chão; b) A distância horizontal, a partir da casa, onde a bola atine o chão; c) A equação da trajetória do movimento; d) A velocidade com que a bola atine o chão. Dados do problema velocidade inicial da bola: v 0; altura da borda do telhado: H,; ânulo de inclinação do telhado: θ. Esquema do problema Adota-se um sistema de referência no ponto de onde a bola cai do telhado com o eio O apontando para a direita e Oy para baio, a aceleração da ravidade está apontada para baio e o ponto de onde a bola cai do telhado está em ( 0, y 0) = (0, 0), conforme a fiura 1. fiura 1 O movimento pode ser decomposto ao lono dos eios e y. A velocidade inicial v 0, com que a bola rola do telhado tem componentes nas direções e y v 0 =v 0 senθ v 0 y =v 0 cosθ fiura onde a componente em é proporcional ao seno e em y ao co-seno, ao contrário do que se faz usualmente, isso porque o ânulo θ foi medido em relação ao eio-y. Da decomposição do movimento vemos que na direção não há aceleração aindo sobre a bola, então ela está em Movimento Uniforme (M.U.) e seu movimento é reido pela equação S =S 0 v t como no movimento uniforme v =v 0 é constante podemos substituir v pelo valor de (I) e S 0 =0 S =0v 0 senθ t (I) (II) 1
S =v 0 senθ t (III) Na direção y a bola está sob a ação da aceleração da ravidade, portanto está em queda livre que é reido pelas equações =S 0y v 0 y t t v y =v 0y t substituindo v 0y pelo valor dado em (II) e S 0y =0 =0v 0 cosθ t t =v 0 cos θ t t v y =v 0 cosθ t (IV) (V) com constante (a aceleração da ravidade é positiva pois está na mesma direção que a orientação do referencial). Assim pela fiura 3 vemos que no movimento ao lono da direção temos que para intervalos de tempos iuais temos intervalos de espaços iuais ( 1 = = 3 = ) Na direção y temos que no instante que a bola cai da beirada do telhado a velocidade v y começa a aumentar, assim para intervalos de tempos iuais temos intervalos de espaços cada vez maiores ( y 1 < y < y 3 < y ) Solução a) O intervalo de tempo para a bola atinir o chão será obtido da epressão (IV) com a condição de que no chão a altura é a mesma da beirada do telhado =H então temos que H=v 0 cos θ t t t v 0cos θ t H=0 fiura 3 esta é uma Equação do.º Grau onde a incónita é o valor de t desejado Δ=b a c = v 0 cosθ H = v 0cos θ H t= b± Δ a = v 0 cosθ± v 0 cos θ H = v 0 cos θ± v 0 cos θ H onde a raízes serão t 1 = v 0 cosθ v 0 cos θ H e t = v 0 cos θ v 0 cos θ H desprezando a seunda raiz que tem valor neativo (t < 0) o tempo para a bola atinir o chão será t= v 0 cosθ v 0 cos θ H
b) O intervalo de tempo calculado acima, para a bola cair até o chão, é também o tempo que ela levará para ir da oriem até o ponto D ao lono do eio, então substituindo a resposta do item anterior na epressão (III), obtemos v 0 senθ v 0cosθ v 0 cos θ H v 0cosθsenθv 0 senθ v 0 cos θ H v 0cos θsenθ v 0 cos θv 0 sen θ H v 0cos θsenθ v 0 cos θsen θ H Lembrando da propriedade da trionometria que nos dá o seno da soma de arcos, temos que senab =sena cosbsenb cosa e sendo a = b = θ podemos escrever (VI) senθθ=senθ cosθsenθ cosθ senθ=senθ cosθ cosθ sen θ= senθ elevando a epressão (VII) ao quadrado de ambos os lados da iualdade, obtemos cosθ senθ = senθ cos θ sen θ= sen θ (VII) (VIII) substituindo as epressões (VII) e (VIII) em (VI), temos v 0 senθ v 0 v 0 sen θ H v 0 senθ sen θ8 H v 0 senθ 1 v 0 sen θ8 H v 0 senθ v 0 sen θ8 H c) Para obter a equação da trajetória indicada na fiura 1 temos que ter y com função de, ou y =f, usando as equações (III) e (IV) para os movimentos em e y, temos o sistema isolando o tempo na primeira equação temos S = v 0senθ t = v 0 cosθ t t t = S v 0 senθ 3
substituindo este valor na seunda equação obtemos S = v 0 cosθ v 0 senθ S v 0 senθ = cosθ senθ S v 0 sen θ S da trionometria temos que t θ = sen θ cosθ 1 t θ = cosθ senθ, então = 1 tθ S v 0 sen θ S Fazendo a associação mostrada abaio com uma Equação do.º rau do tipo y =a b c = v 0 sen θ S 1 tθ S 0 y = a b c vemos que obtivemos uma função do tipo y f ( S ) S = com o coeficiente a > 0 o que indica que a nossa trajetória é uma parábola de boca apontando no mesmo sentido do eio y positivo (neste caso para baio ao contrário do que usualmente acontece). d) Quando a bola atine o chão sua velocidade tem componentes nas direções e y (fiura ). A velocidade na direção é dada pela epressão (I) e a velocidade na direção y é obtida da epressão (V) onde se substitui o tempo pelo valor encontrado no item (a) v y =v 0 cosθ v 0cosθ v 0 cos θ H v y =v 0 cosθ v 0 cosθ v 0 cos θ H v y = v 0 cos θ H A velocidade da bola será dada pela soma vetorial v = v v y O módulo pode ser obtido aplicando-se o Teorema de Pitáoras v = v v y v = v 0 senθ v 0 cos θ H v = v 0 sen θv 0 cos θ H fiura colocando v 0 em evidência do lado direito da iualdade 1 v = v 0 sen θcos θ H lembrando da trionometria que sen θcos θ=1, temos finalmente
v = v 0 H 5