Aula 1 Convecção Natural UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez
Considerações Gerais A convecção natural tem lugar quando há movimento de um fluido resultante de forças de impulsão. A impulsão tem lugar num fluido onde há gradientes de densidade e uma força mássica (por exemplo, força gravítica) proporcional à densidade. Em transmissão de calor, os gradientes de densidade são devidos a gradientes de temperatura e a força mássica é a força gravítica. Gradientes de temperatura estáveis e instáveis.
Escoamentos sem superfície adjacente (esteira, jato, mistura) Ocorre num meio (em princípio, infinito), em repouso (velocidade nula longe da origem do escoamento). Plumas e jatos com impulsão: Escoamentos com superfície adjacente (camada limite) Escoamento de camada limite numa superfície quente ou fria induzido por forças de impulsão. T s T
Placas verticais Desenvolvimento da camada limite numa placa vertical aquecida Escoamento ascendente com velocidade máxima dentro da camada limite e velocidade nula na superfície da placa e na extremidade (y = δ). Quais as diferenças relativamente a convecção forçada? Quais as diferenças relativamente a uma placa arrefecida (T s < T )?
Equações de conservação Camada limite laminar Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x (escoamento laminar) u v g x y x y u u 1 p u p p x x dentro da camada limite fora da camada limite p x g 1 1 T p T T p u x y y u u g u v u v g T T x y y u u u
Equações de conservação Camada limite laminar Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x (escoamento laminar) u g T T x y y u u u Forças de inércia Força de impulsão Força viscosa Dado que u (x,y) depende de T (x,y), a solução desta equação tem de ser obtida juntamente com a solução para a equação de camada limite da energia T (x,y). u x y y T T T 1 1 p 1 T p RT T As soluções estão acopladas.
Equações de conservação Similaridade Adimensionalização das equações u u* u o x x* v v* u o y y* T T T* T T s u * u * g T T 1 u * s u * v * T * x * y * uo Re y * Gr u * v * x * y * Re Pr y * T * T * 1 T * u 3 g Ts T o g Ts T u o u * v * T * Re u * u * Gr 1 u * x * y * Re Re y *
Equações de conservação Similaridade Parâmetros adimensionais relevantes Número de Grashof: 3 T T Forças de impulsão g s Gr ~ 1 T p Forças viscosas : dimensão característica da superfície Coeficiente de expansão térmica da superfície (propriedade termodinâmica do fluido) íquidos: b Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt. Gás perfeito: b = 1/T (K) Número de Rayleigh: Ra Gr Pr 3 g T T s
Equações de conservação Similaridade Quando os efeitos da convecção forçada e natural são comparáveis temos a seguinte análise: Em resumo: Gr - Para 1 tem-se Re Nu f Re,Pr Gr Re 1 - Para tem-se Nu f Re,Gr,Pr - Para Gr tem-se Re 1 Nu f Gr,Pr
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade O sistema de equações deduzido anteriormente: Pode ser resolvido usando condições de contorno na forma:
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade Solução das equações envolve uma transformação de variáveis com o uso do seguinte parâmetro de similaridade: y Gr x x 4 E a representação dos componentes de velocidade em termos de uma função corrente: 1/4 1/4, 4 Gr x y f x 4 Com a definição para a função corrente, o componente de velocidade na direção x pode ser expresso como: 1/4 1/4 ' 1 ' 1 Grx x 4 Gr u x f Gr f y y 4 x 4 x
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade Definindo uma temperatura adimensional: df 1/ T T f x Grx u T d T T s As três equações diferenciais parciais originais podem então, ser reduzidas a duas equações diferenciais ordinárias: f 3 ff f T 0 T 3Pr ft 0 A condição de contorno transformada necessárias para a solução das equações de momento e de energia tem as formas:
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade A integração numérica das equações conduz aos seguintes resultados para f (η) e T*: Espessura da camada limite hidrodinâmica 5 para Pr 0.6 1/4 Pr 0.6 : 5 Grx x 7.07 x x 1/4 4 Gr x 1/4
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade Uma correlação de transferência de calor também pode ser obtida. Da lei de resfriamento de Newton: Usando a lei de Fourier para obter q s e expressando o gradiente de temperatura na superfície em termos de η e de T*, tem-se que: Onde: g 1/ 0.75 Pr Pr 0 Pr 1/ 0.609 1.1 Pr 1.38 Pr 1/4
Convecção natural laminar numa superfície vertical: Método de Similaridade O coeficiente convectivo médio em uma superfície de comprimento, fica: Integrando, tem se que: Ou substituindo a equação O número de Nusselt médio é dado por: Nu 4 3 Nu
Efeitos da turbulência Instabilidades podem causar a transição para escoamento turbulento. A transição na camada limite de convecção natural depende da magnitude relativa das forças de empuxo e das forças viscosas no fluido. É comum correlacionar a sua ocorrência em termos do número de Rayleigh, que é simplesmente o produto do número de Grashof e número de Prandtl. Para placas verticais, o número de Rayleigh crítico é:
Correlações empíricas: Convecção natural em escoamentos externos As correlações mais adequadas para a maioria dos cálculos de engenharia tem a forma: Escoamento aminar e Escoamento Turbulento e Note: a condição de contorno a temperatura definida na superfície da placa, T s. e
Correlações empíricas: Convecção natural em escoamentos externos Placa vertical Correlação para todo o intervalo de Ra proposto por Churchill e Chu: 1/6 0.387 Ra Nu 0.85 4/9 9/16 1 0.49 / Pr Uma precisão ligeiramente superior para escoamento laminar pode ser obtida por: 1/4 0.670 Ra 9 Nu 0.68 ; Ra 4/9 10 9/16 1 0.49 / Pr Estes resultados são também podem ser válidos para cilindros verticais com altura desde que seja muito menor que D, ou seja, quando: D 35 1 4 Gr