Matemática A 10 O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:
Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida 1 Considere, num referencial on xoy, os pontos A (, 3), B ( 6, 3) e ( 0, 17) Atendendo à unidade do referencial, a área do triângulo [ ABC ] é igual a: (A) 0 (B) 110 (C) 14 (D) 8 C Na figura ao lado, estão assinalados segmentos de reta orientados que representam os vetores a, b e c Tomando como unidade a medida do lado de cada quadrícula, em qual das opções seguintes está representada a norma do vetor a + b + c? (A) 1 (B) (C) 4 (D) 6 3 Num referencial on xoy, as retas r e s, definidas pelas condições ( ) ( ) ( ) ( ) r : y = m 1 x + e s : x, y = 0, 3 + k, m, k R, são paralelas, para um certo número real k, diferente de zero Qual é o valor de m? (A) 3 (B) 1 (C) (D) 3 4 Em qual das seguintes opções se tem um par de vetores colineares? (A) ( 6, ); ( 3, 1) (B) ( 3, ); ( 6, 4 3) (C) (, 0 ); ( 0, ) (D) ( 1, ); ( 1,1) Considere, num referencial on Oxy, a circunferência de equação ( ) ( ) a circunferência de centro no ponto de coordenadas ( 4, 3 ) e raio A interseção das duas circunferências é: x 1 + y + = 9 e (A) o conjunto vazio; (C) um ponto; (B) uma circunferência; (D) um par de pontos
Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias 6 Considere, num referencial ortonormado (, 1, ) C ( 8, 10) O e e, os pontos A ( 0, 4), ( 6, ) B e 61 Prove que os três pontos definem um triângulo 6 O triângulo [ ABC ] está inscrito numa circunferência Determine as coordenadas do centro dessa circunferência 63 Determine a equação reduzida da reta r, paralela à reta AB e que contém o ponto C 64 Calcule AB u, sendo u = e 1 + e 7 Considere, fixado um plano munido de um referencial cartesiano, o paralelogramo [ RITA ] A T R A figura não está desenhada à escala I Sabe-se que: o ponto R tem coordenadas (, 3) ; o ponto I tem coordenadas (, 1) ; o ponto T tem coordenadas ( 4, 4) Determine: 71 as coordenadas do ponto A; v ; 7 um vetor w de norma 1 colinear com o vetor ( 1, ) 73 a mediatriz do segmento [ RI ] 3
8 Considere, num plano munido de um referencial on xoy a circunferência de equação x + y = Sabe-se também que: a reta r interseta a circunferência nos eixos coordenados nos pontos A e B; a reta s é paralela ao eixo Ox e tangente à circunferência no ponto D; as retas r e s intersetam-se no ponto C 81 Considere o ponto P de coordenadas ( 1,1) Mostre que o ponto P pertence à circunferência 8 Seja u = OP e seja Q = P + u Determine as coordenadas do ponto Q e refira, no contexto do problema, o significado de [ PQ ] 83 Determine as coordenadas dos pontos A, B e C 84 Justifique que a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares 8 Escreva uma equação vetorial da reta r 86 Defina por uma condição a região sombreada da figura FIM COTAÇÕES Grupo I 1 3 4 Total 8 8 8 8 8 40 Grupo II 61 6 63 64 71 7 73 81 8 83 84 8 86 Total 14 16 10 1 1 16 1 10 10 16 10 10 1 160 4
Proposta de resolução Grupo I b a 1 A [ ] =, com: ABC ( ) b = abcissa de A abcissa de B = 6 = 11 = 11 ( ) a = ordenada de A ordenada de C = 3 17 = 0 = 0 11 0 Então, A = = 110 Resposta: (B) Resposta: (A) 3 Declive reta r : m 1 Declive reta m s : m m 1 = m = m m = Resposta: (C) 4 3 3 1 3 3 3 3 = = = = 6 4 3 6 3 6 3 6 6 Resposta: (B) C ( 1, ) ; r = 3 d ( C C ) ( ) ( ) 1 1 1 C ( 4, 3 ) ; r = ( ) Resposta: (A), = 1 4 + 3 = 34 d C, C > r + r 1 1 61 AB = B A = ( 6, ) ( 0, 4) = ( 6, ) BC = C B = = ( 8, 10) ( 6, ) ( 14, 8) Como os vetores AB e BC não são colineares mesma reta pelo que definem um triângulo Grupo II 14 8, os pontos A, B e C não pertencem a uma 6
6 A interseção das mediatrizes dos lados do triângulo é o centro da circunferência (circuncentro) Mediatriz de [ AB ] : ( x 0) ( y 4) ( x 6) ( y ) + = + + x + y y + = x + x + + y y + 4y = 1x + 4 y = 3x 6 Mediatriz de [ AC ] : 8 16 1 36 4 4 ( x 0) ( y 4) ( x 8) ( y 10) + = + x + y y + = x x + + y y + 1y = 16x + 148 4 37 y = x + 3 3 8 16 16 64 0 100 y = 3x 6 4 37 4 37 y = x + 3 6 = + 3 3 x x 3 3 ( ) y = 3 11 6 y = 7 x = x = 11 x = 11 O centro da circunferência tem coordenadas ( 11, 7) 63 Declive de 4 1 AB : m = = 6 0 3 1 10 = 8 + b b = 3 3 1 Equação reduzida da reta r : y = x + 3 3 64 u = (, 1) AB = B A = = AB u = = AB u = 4 + 3 = = ( 6, ) ( 0, 4) ( 6, ) ( 6, ) (, 1) ( 4, 3) ( ) ( ) 71 A = R + IT IT = T I = = ( 4, 4) (, 1) (, 3) A = (, 3) + (, 3) = ( 7, 6) Assim, A ( 7, 6) 7 w = kv w = k ( 1, ) = ( k, k ) w = k + k = k + 4k = k ( ) 6
Como w = 1, tem-se que: k = 1 k = 1 Então, Assim, w = v ou 1 k = w = v w, ou k = ± w, 73 ( x ) ( y 3) ( x ) ( y 1) + + = + + x + x + + y y + = x + x + + y y + 10 6 9 4 4 1 4y = 6x 9 3 9 y = x + 4 81 ( ) 1 + 1 = 1+ 1 = = Proposição verdadeira Assim, P pertence à circunferência 8 OP = P O = ( 1, 1) u = ( 1, 1) = (, ) Q = ( 1, 1) + (, ) = ( 1, 1) [ PQ ] é um diâmetro da circunferência 83 A( 0, ), B (, 0) Equação reduzida da reta AB e que contém o ponto C: y = x ca 0 ( ) m = = 1; b = 0 O ponto C é o ponto de interseção das retas y = e y = x y = x = x x = y = y = Assim, C (, ) 84 A reta r tem declive 1, tal como a reta y = Assim, a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares 8 Por exemplo, ( ) ( ) ( ) x, y = 0, + k 1, 1, k R x (bissetriz dos quadrantes ímpares) 86 x y y y x y x + > 0 0 7