Resluções das atividades adicinais Capítul Grup A. alternativa E Sabems que: tg 0 tg 0 sen 0 sen 0 cs 0 cs 0 Dessa frma: + +. alternativa E Tems: sen + cs + cs cs Cm ;, cs < 0. Lg cs. Entã: sen sen cs ; 7 cs cs sen ; sen tg cs Assim, y 7 7 + 7. 9 00.. alternativa A Tems: sen 8 tg cs sen + tg + cs
sen tg cs ( ) + 7. alternativa D senθ Cm tgθ senθ csθ sen θ 9cs θ cs θ Pela relaçã fundamental da trignmetria: sen θ+ cs θ 9cs θ+ cs θ 0 cs θ cs θ csθ ± 0 Cm 0 < θ<90, entã: csθ 0 0. 0 0 8. alternativa D Tems: sen cs sen cs Pela relaçã fundamental da trignmetria: + cs cs + cs cs sen cs ± Segue que sen ± cs u cs Dessa frma: e sen e sen. cs cs sen + sen + sen cs +. Cm tg, lg: 9 + 9
9. alternativa D Tems: sent tgt sen t cst cst sen t cs t Pela relaçã fundamental da trignmetria: sen t + cs t cs t + cs t cs t cs t cst Assumirems só psitiv, pis t 0; ; entã: 0 sen t Dessa frma: 0 sen t sent cst 0. alternativa E Tems: < < sen < sen < sen, pis nesse interval a funçã sen é decrescente. sen < sen( + ) < sen sen < sen( + ) < sen 0 < sen( + ) <. I. Verdadeir. sen 0 sen( + 0 ) sen sen 8 II. Fals. tg tg + > 0, pis 0 < <. 7 7 7 III. Fals. sen sen sen + sen IV. Fals. Im( tg ) R V. Verdadeir. 0 < tg 0 tg < tg 0 tg < Multiplicand pr cs, terems: 0 sen < cs. alternativa B Tems: 80 < 0 < tg 80 < tg 0 < tg 0 < tg 0 <
Cm nesse interval cssen é negativ, tems: cs 0 < sen 0 < 0 Prtant: cs 0 < sen 0 < tg 0. alternativa D I. Crreta. tg 9 tg( 80 88 ) tg 88 II. Incrreta. tg 78 < 0 e tg 88 > 0 III. Crreta. tg( 70 ) tg( 90 ) tg 88 IV. Crreta. tg( 7 ) tg( 70 + ) tg( 90 + ) tg 9 tg 88. alternativa A Sejam a e b as medidas ds catets d triângul retângul. Send assim, cm α e β sã s ânguls aguds, tems: tgα a b e tgβ b a. Dessa frma: lg ( tgα) + lg ( tgβ) lg ( tgα tgβ) a b lg lg 0 b a. alternativa D Cm 0 < θ <, tems que senθ >0. senθ tg θ senθ( sen θ) sen θ sen θ senθ sen θ + senθ 0 Lg, senθ u senθ. Cm senθ e senθ >0, cncluíms que senθ.. Send θ ângul d vértice, nde 0 < θ<, tems que tgθ sen θ senθ, pis n interval senθ > 0. cs θ Entã: senθcsθ sen θ θ θ
Cm a sma ds utrs ânguls é dada pr cs cs. 7. alternativa A + tg cs cs + sen cs cs cs, Lg, uma das sluções é, que pertence a interval 7 9 ;. 8. tg sen cs sen + cs 0 ( sen + cs ) 0 sen + sen cs + cs 0 sen + k + k 7 S,,, 9. alternativa A 0 θ tgθ θ < 0. tg + tg + + k V 7,,, + k. alternativa B tg tg + + tg tg tg tg + tg 0 tg u sluções entre [; 0 ]. tg +
. alternativa B tg( + y) tg + tg y tg tg y + tg y ( tg y) tg y 0,. alternativa C tg + tg + tg tg tg tg tg tg tg. alternativa E Send α ângul da base, ângul d vértice será 80 α. senα csα α ] 0 ; 90 [ sen( 80 α) sen α cs( 80 α) 8 tg( 80 α ) 7 7 8. alternativa C tg tg tg. alternativa A sen 8 8 < < tg 9 + tg + cs 9 8 8 tg tg + tg tg 7
7. alternativa C FR tg 0 + QR FR tg(0 + ) QR QR FR + FR ( + QR ) + FR QR 8. alternativa A I. Verdadeira. sen + cs cs 7 Lg: sen + sen + 7 sen + cs 7 7 II. Verdadeira. sen cs sen cs sen Cm sen, para td R, sen é n máim. III. Verdadeira. tgα + tgβ + tgγ tgα tgβ tgγ tgβ + tgγ tgα tg( β + γ) tgβ tgγ Cm β + γ 80 α, tgα tg( β + γ) tgα tg( 80 α), que é sempre verdade. 9. a) μtg T T b) μ tg 8 T T 8 8 7
0. Períd da funçã: T T y _ 0. alternativa C sen 0 cs 0 ( tg 0 + ctg 0 ) sen 0 + cs 0 sen 0 sen 0 + cs 0 sen 0 cs 0 sen 0 Pela relaçã fundamental da trignmetria: sen 0 sen 0 + cs 0 sen sen sen cs sen cs, lg: sen 0 cs 0 sen 0 sen 0 + cs 0 Lg, sen 0 cs 0 sen 0 sen 0 sen 0 sen 0. sen 0. alternativa C tg + ctg sen cs + cs sen sen + cs sen cs 8
sen cs. Cm sen sen cs, tems: sen sen. alternativa E cs sen cs (cs + sen ) cs + cs sen + sen cs ctg sen. alternativa D sen cs + sen tg cs + sen cs cs + sen sec cs cs Cm sec + tg, tems: 9 + tg tg 8 tg ±, mas está n º quadrante, lg tg. Querems ctg : ctg ctg tg ctg.. alternativa B T h A 8 O d 8td h N triângul TOP: tg h d d 8 + d 7 N triângul TAP: ctgθ h Cm h d, tems: 8 + h 7 8 + h 7h h 8 metrs. h P 9
Grup B. alternativa D tg sen cs sen cs sen sen sen sen u sen. Cm < < (º quadrante), tems que sen. 7. alternativa D Tems tg 07, sen cs sen Substituind na relaçã fundamental, tems cs. cs + cs cs. Cm 0;, cs > 0 e prtant cs. Lg sen. Entã sen( + ) sen cs + cs sen + 07,. 8. y V A _ _ O P _ Cnsiderand segment VP, perpendicular a ei O, tems: N triângul VOP: senα VP VO senα VP, pis VO é rai d cicl trignmétric; 0
OP analgamente, csα csα OP; VO α VP α senα n triângul VAP: tg tg + OP + cs α. 9. alternativa B D cicl trignmétric, sabems que: sen 90 sen 89 cs 90 0 cs 89 0 sen 89 tg 89 e, para ânguls próims a 90, a funçã tg cs 89 assume valres arbitrariamente alts. Lg, csθ < senθ < tg θ. 0. alternativa A sen( α) sen csα senα cs a tg( α) cs( α) cs csα + sen senα csα Cm senα a, pela relaçã fundamental da trignmetria: a cs α a tg( α) ( a ). alternativa D A { R / f( ) g( )}. Tems: sen tg cs sen sen, cm cs 0 + tg sen + cs sen sen cs cs sen + cs sen sen cs sen, cm cs 0. A { R cs 0}. alternativa B Tmand α. Lembrand que sen + cs para td real, tems: sen cs (sen cs ) (sen + cs ) sen cs
sen ( sen ) sen 8 Lg cs sen 8 8 e assim tg sen cs 8. Cm 0 < α <, tems tgα. 8. alternativa C I. Falsa. Cm < <, tems que sen < 0, cs < 0 e tg > 0, lg sen cs tg > 0 e, prtant sen cs tg + > 0. II. Verdadeira. sen + cs 0 sen cs Para + k, k z, tems que tg. Lg + k. Cm [ ; ], V 7,. III. Verdadeira. Sabems que um triângul de lads, eéretângul. Chamand de α e β s ânguls menres, tems que: sen( α β) senα csβ senβ csα sen( α β) sen( α β) 9 7. alternativa A sen 0, 8 tg 0, sen + tg 0, 8 0, 0,. sen cs sen, cs 0 cs tg tg sen cs tg + tg ( ) tg tg + 0 tg u tg ; cm 0 ; tg.
. alternativa D sen cs cs 9 8cs + 9cs cs 9cs + 0 cs sen tg 7. alternativa D y y 8 y + tgα 0 8 tgα 0 0 tgα 0 α tgα 0 8. alternativa C Tems tg tg( ) tg tg + tg tg tg tg + tg tg tg + tg + tg tg. Lg y tg. 9. Cm tg u etgvsã raízes da equaçã a + b + c 0( a 0), entã: b tg u + tg v a c tg u tg v a tg u + tg v Ainda, u + v tg( u + v) tg u tg v b a c a 0. AC 8; BCA α b a a c b a c c a + b a tgα tg α 8 CD tgα tg α CD
. BAD α tgα BD AD BD tg α AD tgα α tgα tgα tg α tgα, cm 0 < α < 90. alternativa A tg, d tg tg, D ( + ) m tg, tg, tg,. Os ânguls α, β e γ sã psitivs e menres d que 80. a) Para ânguls aguds, a tangente é psitiva e estritamente crescente e, para ânguls btuss, a tangente é negativa. Supnd que esses três ânguls tenham tangentes maires u iguais a e sabend que tg 0, cncluíms entã que 0 < α < 90, 0 < β < 90 e 0 < γ < 90, que implica α + β + γ > 0 + 0 + 0 80. Mas iss é um absurd, prque sabems que α + β + γ 80. Lg as tangentes ds ânguls interns de um triângul nã pdem ser, tdas as três, maires u iguais a. b) D item a, tems que a tangente de pel mens um ds ânguls, digams α, é menr d que. Cm as tangentes devem ser inteirs psitivs, tems que tgα. Assim, nas cndições dadas: α + β + γ 80 tg( β + γ) tg( 80 α) tgβ + tgγ tgβ tgγ ( tgβ )( tgγ ) ( tgβ e tgγ ) u ( tgβ e tgγ ) tgα tgβ + tgγ tgβ tgγ ( tgβ e tgγ ) ( tgβ e tgγ ) Lg s valres das tangentes sã, e.
sen cs. tg + ctg + cs sen sen + cs sen cs sen sen. alternativa A tg + sec cs ctg + cssec sen n Cm cs, entã sen n sen n. Lg, a epressã n sen cs n n ( n ) n n ( n ) sen cs. ( n ) n. alternativa B Se α, β e θ estã em PA, entã α β γ e θ β + γ. Lg, sen ( β γ) + sen β + sen ( β + γ) cs( β γ) + csβ + cs( β + γ) senβcsγ+ senβ + senβcsγ csβcsγ+ csβ + csβcsγ nde csγ. senβ( cs γ + ) csβ( cs γ + ) tgβ, 7. Se tg < 0 e cs < 0, entã sen > 0. Pela relaçã fundamental, tems que sen. Reslvend a epressã: ctg cs cs + tg sen (sec ) sen 8 8 7
8. alternativa D y T _ sen B A TB ctgα TB A ( sen senα α) 0 sen ctgα