Resolução Computacional de Problemas Matemáticos Semana da Matemática 2016 CEUNES/UFES Novembro de 2016 Lúcio S. Fassarella (DMA & PPGEEB/UFES) & Géssica Martins (PPGEEB/UFES) 0 Preâmbulo Este minicurso focaliza a resolução de problemas matemáticos através da elaboração de algoritmos, tendo em vista ensinar aos participantes essa possibilidade e despertar nos estudantes de licenciatura ou professores de Matemática o interesse por desenvolver e aplicar uma metodologia de ensino baseada nesta ideia. O ensino da Matemática tem sido desa ador, desde sempre. Diversas circunstâncias colaboram para essa situação, mas acreditamos que das principais são: professores com carência de conhecimento e/ou metodologia de ensino adequados e alunos carentes de motivação, perspectivas ou mesmo interesse pelos estudos em relação a outras ocupações. Resolver o problema do ensino da Matemática requer diversas ações integradas dos diversos agentes envolvidos: as famílias, as escolas, as comunidades e o Estado (que de ne os parâmetros e diretrizes curriculares, bem como pelo seu papel ativo e scalizador da formação dos professores). Aqui, nossa intenção é bastante especí ca: divulgar e experimentar a seguinte tese: O conhecimento de programação (a linguagem do computador) nos possibilita resolver problemas matemáticos sem preocupação com os algoritmos de cálculo incluindo problemas que subentendem conceitos desconhecidos. No ensino da Matemática, isso permite a aplicação de uma metodologia de ensino que priorize a signi cação conceitual e a resolução de problemas, contornando as di culdades geradas pela necessidade do professor apresentar, justi car e promover a memorização de algoritmos de cálculo. O minicurso está apoiado em três artigos: L. Fassarella (2016): Resolução computacional de problemas matemáticos. URL: < http://www.luciofassarella.net/pesquisa/artigos/2016rcpm > L. Fassarella (2016): Estimando probabilidades por simulações computacionais. URL: < http://www.luciofassarella.net/pesquisa/artigos/2016rcpp > L. Fassarella: Resolução computacional de problemas de probabilidade. Proceedings Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics, v.3, n.2 (2015): 020129 [6 pages]. DOI:10.5540/03.2015.003.02.0129. URL1: < http://proceedings.sbmac.org.br/sbmac/article/view/1020/1033 > URL2: < http://www.luciofassarella.net/pesquisa/artigos/2015rcpp > 1
1 Sobre a Matemática, o Ensino de Matemática e a Abordagem Algorítmica A Matemática é um sistema de representação da realidade, como são as diversas línguas naturais desenvolvidas pela humanidade. Característico da Matemática é sua relação com os problemas envolvendo números, formas e relações. Acreditamos na ideia (defendida por eminentes matemáticos) de que a essência da Matemática está na resolução de problemas que emergem da investigação empírica ou puramente intelectual. Um aspecto interessante e problemático para a aprendizagem da Matemática é que seus conceitos geralmente envolvem algoritmos de cálculo com os quais não possuem relação direta ou intuitiva. Essa característica constitui um importante obstáculo para a aprendizagem da Matemática na medida em que as situações (problemas, especialmente) nas quais os conceitos ocorrem suscitam questões que requerem a realização de cálculos dependentes da aplicação de algoritmos memorizados. Para ilustrar as ideias, considere dois exemplos da aritmética elementar. 1 Divisão Euclideana. O quociente e o resto da divisão euclideana de um número inteiro b por um número inteiro a 6= 0 são, respectivamente, os únicos números inteiros q e r tais que b = q a + r; 0 r < jaj : No caso em que o dividendo e o divisor são ambos positivos, o signi cado da divisão euclideana é claro: o quociente é o número máximo de vezes que o divisor pode ser somado sem que o resultado ultrapasse o dividendo, enquanto o resto é a diferença entre o dividendo e este resultado. No caso dos números envolvidos serem relativamente pequeno, é possível ilustrar o signi cado da divisão euclideana com desenhos ou material concreto. Entretanto, o algoritmo geralmente ensinado para se efetuar a divisão euclideana não tem relação intuitiva com esta de nição ou seu signi cado; é um trabalho que deve ser desenvolvido para que os estudantes possam efetuar cálculos e resolver problemas. Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de um conjunto nito de números inteiros é de nido pelo maior inteiro positivo que os divide. O algoritmo mais difundido para o cálculo do MDC envolve a fatoração prima e a comparação das potências dos fatores primos nesses números. Percebe-se imediatamente que o conceito de MDC não depende dos conceitos de número primo e potência (somente do conceito de divisor) e que seu signi cado pode ser apreendido independentemente da memorização de qualquer algoritmo de cálculo. Entretanto, os problemas que envolvem o MDC geralmente requerem a realização do cálculo do MDC, o que pode implicar na vinculação do ensino do MDC ao ensino de números primos e de potência. A alternativa curricular consiste em ensinar o MDC depois de se ter ensinado números primos e potenciação mas esta não é, necessariamente, a melhor alternativa didática. Uma outra possibilidade seria contornar a dissociação computacional pela aplicação da abordagem algorítmica. 1 Naturalmente, podemos prescindir da programação se temos uma calculadora ou um computador a disposição para realizar cálculos de divisão euclideana ou MDC através de comandos pré-programados. A necessidade real de programação surge em problemas cujos cálculos não estão pré-programados nas calculadoras ou programas. 2
Para melhor caracterizar o ponto em questão e facilitar as discussões, de nimos duas noções: Dissociação procedimental: propriedade de um conceito matemático não possuir relação direta e signi cativa com os algoritmos de cálculo relacionados. Obstáculo dissociativo: obstáculo didático caracterizado pela di culdade de se apreender um conceito devido à dissociação procedimental. (Um obstáculo dissociativo pode depender da metodologia de ensino, na medida em que esta presume o conhecimento ou requer a aprendizagem simultânea de algoritmos de cálculo.) Assim, podemos dizer que um obstáculo dissociativo decorre da dissociação procedimental de um conceito em função da metodologia de ensino usada pelo professor. Seria possível contornar ou reduzir a importância dos obstáculos dissociativos no processo de ensinoaprendizagem da Matemática? Acreditamos que sim, em particular pela aplicação da abordagem algorítmica: Abordagem algorítmica de um problema matemático consiste em resolver o problema pela elaboração de um algoritmo-solução, i.e., um algoritmo cuja execução gera a resposta exata ou uma aproximação da resposta exata com margem de erro que pode ser arbitrariamente reduzida. Noutras palavras, um algoritmo-solução não é a resposta do problema, senão uma sequência de procedimentos que gera a reposta quando executada. (Na situação em que é possível demonstrar matematicamente que um algoritmo-solução realmente gera a solução do problema, podemos até considerar que o algoritmo-solução é equivalente à solução propriamente dita.) Usar a abordagem algorítmica para contornar o obstáculo da dissociação procedimental (oriunda da necessidade de memorizar algorítmos) pode parecer paradoxal mas não é: a abordagem algorítmica requer a elaboração criativa de algorítmos, não a memorização de algoritmos prontos. Podemos imaginar uma metodologia de ensino da Matemática que pressuponha e utilize o conhecimento de programação dos estudantes tendo em vista contornar o obstáculo de dissociação computacional. Em particular, esta metodologia pode ser obtida pela adaptação de uma metodologia de Resolução de Problemas cujas etapas englobem em ordem cronológica a seguinte sequência de ações: apresentação do problema pelo professor, resolução do problema pelos alunos, conclusão (com eventual conceituação). 2 2 A metodologia de Resolução de Problemas de de nida por Onuchic-Allevato possui estas características. 3
2 Problemas Problemas Aritméticos e Problemas de Combinatória i. Qual é o máximo divisor comum de 263340 e 302575? ii. Qual é o mínimo múltiplo comum de 263340 e 302575? iii. Para o aniversário de sua lha Ana, dona Maria comprou 600 pirulitos, 300 paçoquinhas e 225 bombons. Ela quer distribuir os doces em saquinhos para dar aos convidados, contendo todos as mesmas quantidades de cada tipo. Se ela pretende montar o maior número possível de saquinhos sem deixar sobrar nenhum doce, qual deve ser o número de saquinhos? Quais são as quantidades de cada tipo de doce em cada saquinho? iv. Dentre os números inteiros entre 1 e 1000, quantos são aqueles cuja soma dos algarismos é igual a 12? v. Dado um inteiro n 1, qual é o número de permutações do conjunto de números naturais f1; :::; ng nas quais todos os números mudam de posição? vi. Dados números reais x 1 ; :::; x n (n 2), determine o número a (n) de modos de dispor parênteses para indicar a ordem em que deve ser feita a adição x 1 + :::: + x n. Exemplos: n a (n) modos de dispor os parênteses 2 1 (x 1 + x 2 ) ; 3 2 ((x 1 + x 2 ) + x 3 ) ; (x 1 + (x 2 + x 3 )) ; 4 5 (((x 1 + x 2 ) + x 3 ) + x 4 ) ; ((x 1 + (x 2 + x 3 )) + x 4 ) ; (x 1 + ((x 2 + x 3 ) + x 4 )) ; (x 1 + (x 2 + (x 3 + x 4 ))) ; ((x 1 + x 2 ) + (x 3 + x 4 )) : 4
Problemas de Probabilidade i. Num lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade do resultado ser cara e coroa? ii. Num lançamento de três dados, qual é a probabilidade da soma dos resultados ser igual a 10? iii. Duas pessoas decidem se encontrar em um determinado local entre 11 e 12 horas, com a combinação prévia de que a primeira pessoa a chegar esperará no máximo 15 minutos pela outra. Ache a probabilidade do encontro acontecer nessas circunstâncias, admitindo que ambas pessoas chegam ao local em instantes aleatórios compreendidos entre 11 e12 horas. iv. Num programa de auditório, os participantes de um jogo recebem a opção de escolher uma dentre três portas, ganhando o que estiver atrás dela; atrás de uma há um carro e atrás das outras duas há cabras. O jogo ocorre em três etapas: primeiro, o participante escolhe uma das portas; depois o apresentador elimina uma das portas que esconde uma cabra dentre as outras duas; nalmente, o participante tem a opção de manter ou trocar de nitivamente a porta escolhida pela porta que restou. Presumindo que o participante deseja ganhar o carro, a questão é saber o que lhe é mais vantajoso, manter ou trocar de porta? v. Considere o seguinte jogo que consiste no lançamento de um par de dados e tem a seguinte regra de pontuação: (a) se cairem duas faces diferentes de 4, então o jogador não marca pontos; (b) se cair uma face 4, então a pontuação do jogador é igual ao valor que saiu na outra face.qual é a probabilidade de um jogador marcar 3 pontos numa jogada, sabendo-se que um dos dados caiu na face 4? vi. Selecione um número real aleatório no intervalo (0; 1); selecione outro número aleatório no intervalo (0; 1) e repita o procedimento até que a soma dos resultados seja maior do que 1. Em média, quantas vezes você precisa repetir o procedimento? 5