Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade

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1 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Lúcio Fassarella Universidade Federal do Espírito Santo 26 de maio de 2015 Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

2 Sumário 1 Introdução Matemática e Computador 2 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall 3 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Fundamentos Exemplos Exercícios/Problemas 4 Referências Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

3 O minicurso Introdução Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

4 O minicurso Introdução Objetivos: aprender a resolver problemas de probabilidade através de simulações computacionais de ensaios aleatórios. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

5 O minicurso Introdução Objetivos: aprender a resolver problemas de probabilidade através de simulações computacionais de ensaios aleatórios. Metodologia: fundamentação teórica, discussão exemplos e resolução de exercícios/problemas. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

6 O minicurso Introdução Objetivos: aprender a resolver problemas de probabilidade através de simulações computacionais de ensaios aleatórios. Metodologia: fundamentação teórica, discussão exemplos e resolução de exercícios/problemas. Requisitos: vontade de aprender, além de material para escrita. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

7 O minicurso Introdução Objetivos: aprender a resolver problemas de probabilidade através de simulações computacionais de ensaios aleatórios. Metodologia: fundamentação teórica, discussão exemplos e resolução de exercícios/problemas. Requisitos: vontade de aprender, além de material para escrita. Suporte: Apostila (revisão, estudos posteriores,...): Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

8 Introdução Matemática e Resolução de Problemas Em Matemática, resolver problemas é fundamental! Eu acredito que os problemas são o coração da Matemática e espero que nós professores, nas aulas e seminários e nos livros e artigos que escrevermos, enfatizemos isso cada vez mais, e que treinemos nossos estudantes a serem melhores elaboradores e solucionadores de problemas do que nós mesmos somos. Paul Halmos [Halmos, 1980] Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

9 Introdução Matemática e Computador MATEMÁTICA & COMPUTADOR Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

10 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

11 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Vivemos uma era em que o uso do computador está bastante difundido em diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas próprias vidas. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

12 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Vivemos uma era em que o uso do computador está bastante difundido em diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas próprias vidas. Dadas suas amplas potencialidades, é natural pensarmos no emprego do computador na educação, particularmente na educação matemática. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

13 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Os computadores liberam a matemática do mundo real do cálculo manual, permitindo que ela possa ir mais rápido e mais longe do que jamais se poderia imaginar. Agora, é vital que a educação matemática também incorpore essa automação. Conrad Wolfram (Tradução livre) Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

14 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

15 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: Como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidos utilizados numa estratégia de resolução concebida sem o subsídio do computador. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

16 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: Como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidos utilizados numa estratégia de resolução concebida sem o subsídio do computador. Como instrumento cognitivo que nos permite conceber estratégias de resolução alternativas. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

17 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: Como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidos utilizados numa estratégia de resolução concebida sem o subsídio do computador. Como instrumento cognitivo que nos permite conceber estratégias de resolução alternativas. Talvez não seja essencial distinguir essas duas formas de usar o computador na prática, até porque elas podem colaborar, se sobrepor ou se confundir em diversas situações... Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

18 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: Como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidos utilizados numa estratégia de resolução concebida sem o subsídio do computador. Como instrumento cognitivo que nos permite conceber estratégias de resolução alternativas. Talvez não seja essencial distinguir essas duas formas de usar o computador na prática, até porque elas podem colaborar, se sobrepor ou se confundir em diversas situações... Chamo de abordagem algorítmica a tentativa de resolver um problema pela elaboração de um algoritmo específico, cuja execução gera a solução exata ou uma aproximação arbitrariamente próxima da solução exata. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

19 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Trabalhos recentes indicam a relevância de desenvolvermos o uso do computador ou da computação simbólica no ensino de Probabilidade: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

20 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador Trabalhos recentes indicam a relevância de desenvolvermos o uso do computador ou da computação simbólica no ensino de Probabilidade: Graças à abundância de computadores de baixo custo, agora temos a oportunidade de melhorar o ensino de matemática em uma frente vastamente mais ampla e interessante, que irá melhorar a importância da matemática aprendida pelos alunos. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

21 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador Trabalhos recentes indicam a relevância de desenvolvermos o uso do computador ou da computação simbólica no ensino de Probabilidade: Graças à abundância de computadores de baixo custo, agora temos a oportunidade de melhorar o ensino de matemática em uma frente vastamente mais ampla e interessante, que irá melhorar a importância da matemática aprendida pelos alunos. Por exemplo, com a ajuda do método de Monte Carlo, e programas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumir um lugar proeminente na Matemática Escolar. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

22 Introdução Matemática e Computador Matemática & Computador Trabalhos recentes indicam a relevância de desenvolvermos o uso do computador ou da computação simbólica no ensino de Probabilidade: Graças à abundância de computadores de baixo custo, agora temos a oportunidade de melhorar o ensino de matemática em uma frente vastamente mais ampla e interessante, que irá melhorar a importância da matemática aprendida pelos alunos. Por exemplo, com a ajuda do método de Monte Carlo, e programas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumir um lugar proeminente na Matemática Escolar. Nesse caso, eliminamos a opressora dificuldade com os cálculos combinatórios. Além disso, medidas importantes relacionadas com a distribuição normal (de Gauss) e outras distribuições exponenciais também podem ser abordadas pelo método de Monte Carlo, tornando essa parte da matemática não mais complicada do que meras contagens. [Uhl-Woods, 2007, p.3] (Tradução livre) Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

23 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Uma pesquisa realizada com o objetivo de investigar as contribuições que a inserção da tecnologia pode trazer à educação estocástica e que teve como questão descobrir como os recursos tecnológicos podem ser úteis para a construção de novos conhecimentos da Estocástica no Ensino Fundamental chegou à seguinte conclusão pertinente: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

24 Introdução Matemática & Computador Matemática e Computador Uma pesquisa realizada com o objetivo de investigar as contribuições que a inserção da tecnologia pode trazer à educação estocástica e que teve como questão descobrir como os recursos tecnológicos podem ser úteis para a construção de novos conhecimentos da Estocástica no Ensino Fundamental chegou à seguinte conclusão pertinente: Tornou-se evidente que a inserção de tais recursos gera conhecimentos mais amplos e precisos, porém exige do professor um conhecimento teórico-metodológico muito mais aprofundado sobre o assunto. Além disso, os resultados destacaram a importância da simulação e do processo de interação na educação estocástica. [Souza, 2009, p.6] Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

25 Brevíssima Introdução às Probabilidades BREVÍSSIMA INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

26 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Probabilidade é um conceito matemático que define uma medida para a possibilidade de ocorrência de eventos aleatórios. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

27 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Probabilidade é um conceito matemático que define uma medida para a possibilidade de ocorrência de eventos aleatórios. O conceito é caracterizado de modo bastante geral e rigoroso pelos Axiomas de Kolmogorov ( ), mas numa ampla variedade de casos é suficiente considerar uma concepção mais antiga e restrita que remonta a Cardano ( ) e Laplace ( ) na qual o espaço amostral se decompõem em eventos elementares igualmente prováveis. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

28 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Probabilidade é um conceito matemático que define uma medida para a possibilidade de ocorrência de eventos aleatórios. O conceito é caracterizado de modo bastante geral e rigoroso pelos Axiomas de Kolmogorov ( ), mas numa ampla variedade de casos é suficiente considerar uma concepção mais antiga e restrita que remonta a Cardano ( ) e Laplace ( ) na qual o espaço amostral se decompõem em eventos elementares igualmente prováveis. Apresentamos aqui somente a definição de probabilidade e sua interpretação frequentista; para detalhes, indicamos o livro elementar [Morgado et.al., 2005]. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

29 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Definição Dado um conjunto não-vazio U (chamado espaço amostral), uma probabilidade em U é uma função definida na classe S (U) dos subconjuntos de U que toma valores em R, e cumpre as seguintes condições: P : S (U) R, Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

30 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Definição Dado um conjunto não-vazio U (chamado espaço amostral), uma probabilidade em U é uma função definida na classe S (U) dos subconjuntos de U que toma valores em R, e cumpre as seguintes condições: P (E) [0, 1], E U; P : S (U) R, Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

31 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Definição Dado um conjunto não-vazio U (chamado espaço amostral), uma probabilidade em U é uma função definida na classe S (U) dos subconjuntos de U que toma valores em R, e cumpre as seguintes condições: P (E) [0, 1], E U; P ( ) = 0, P (U) = 1; P : S (U) R, Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

32 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Definição Dado um conjunto não-vazio U (chamado espaço amostral), uma probabilidade em U é uma função definida na classe S (U) dos subconjuntos de U que toma valores em R, e cumpre as seguintes condições: P (E) [0, 1], E U; P ( ) = 0, P (U) = 1; Aditividade: P : S (U) R, A, B U, A B = P (A B) = P (A) + P (B). Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

33 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades O conceito de probabilidade possui diversas interpretações, uma delas sendo a interpretação frequentista a qual se baseia na noção de experimentos aleatórios: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

34 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades O conceito de probabilidade possui diversas interpretações, uma delas sendo a interpretação frequentista a qual se baseia na noção de experimentos aleatórios:experimentos aleatórios são sequências de experimentos realizados sob condições relevantes iguais, mas cujos resultados podem ser diferentes. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

35 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades O conceito de probabilidade possui diversas interpretações, uma delas sendo a interpretação frequentista a qual se baseia na noção de experimentos aleatórios:experimentos aleatórios são sequências de experimentos realizados sob condições relevantes iguais, mas cujos resultados podem ser diferentes. A interpretação frequentista é bastante intuitiva, mas não está isenta de problemas conceituais relacionados à própria noção de experimento aleatório e a existência do limite de frequências relativas. Para uma discussão aprofundada, recomendo [Hájek, 2012]. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

36 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Interpretação frequentista das probabilidades: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

37 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Interpretação frequentista das probabilidades: Definição Numa sequência finita de N experimentos aleatórios num sistema físico, a frequência relativa de um evento especifico E é definida pelo quociente do número n E dos experimentos que tiveram resultados em E pelo número total de experimentos: n E N. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

38 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Interpretação frequentista das probabilidades: Definição Numa sequência finita de N experimentos aleatórios num sistema físico, a frequência relativa de um evento especifico E é definida pelo quociente do número n E dos experimentos que tiveram resultados em E pelo número total de experimentos: n E N. A probabilidade do evento E é definida pelo limite das frequências relativas de E, considerando uma sequência infinita de experimentos aleatórios no sistema físico: n E P (E) = lim N N, Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

39 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Teorema Seja U um espaço amostral finito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., Então: P ({u}) = p 0, u U. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

40 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Teorema Seja U um espaço amostral finito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., P ({u}) = p 0, u U. Então: e p 0 = 1 #U Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

41 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Teorema Seja U um espaço amostral finito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., P ({u}) = p 0, u U. Então: e p 0 = 1 #U P (E) = #E #U, E U. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

42 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Teorema Seja U um espaço amostral finito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., P ({u}) = p 0, u U. Então: e p 0 = 1 #U P (E) = #E #U, E U. Infelizmente, podemos nos enganar facilmente quando estimamos as probabilidades de situações bastante simples. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

43 Brevíssima Introdução às Probabilidades Brevíssima Introdução às Probabilidades Teorema Seja U um espaço amostral finito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., P ({u}) = p 0, u U. Então: e p 0 = 1 #U P (E) = #E #U, E U. Infelizmente, podemos nos enganar facilmente quando estimamos as probabilidades de situações bastante simples. Isso acontece tipicamente no problema de Monty Hall... Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

44 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O PROBLEMA DE MONTY HALL Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

45 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades Problema de Monty Hall: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

46 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades Num programa de auditório, os participantes de um jogo recebem a opção de escolher uma dentre três portas, atrás de uma das quais há um carro, enquanto atrás das outras duas há cabras embora o participante conheça os prêmios, somente o apresentador sabe o que há atrás de cada porta. O participante começa o jogo escolhendo uma das portas e, depois disso, o apresentador abre uma das portas que esconde uma cabra, deixando fechadas as outras duas; então, o apresentador pergunta ao participante se ele quer manter ou trocar de escolha, para ganhar o prêmio que estivar atrás daquela porta que ele escolher por último. Afinal, é vantajoso para o participante trocar sua escolha? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

47 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall teve ampla repercussão nos EUA no ano de 1990, após um artigo publicado na coluna Ask Marilyn da revista Parade. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

48 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall teve ampla repercussão nos EUA no ano de 1990, após um artigo publicado na coluna Ask Marilyn da revista Parade. A razão da repercussão: a solução correta (dada por Marilyn) contrariava a opinião da grande maioria das pessoas, cerca de 92% daquelas que se corresponderam com a revista dentre as quais foram contados quase mil PhDs (...), muitos deles professores de matemática [Mlodinow, 2009, p.53] Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

49 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O raciocínio comum é algo assim: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

50 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O raciocínio comum é algo assim: Afinal, há apenas duas alternativas: uma porta com um carro e uma porta com uma cabra, de modo que as chances do participante ganhar o carro ou a cabra são ambas iguais a 50%, independentemente dele trocar ou manter sua escolha; portanto, trocar a escolha não melhora as expectativas do participante ganhar o carro, ou seja, isso não é vantajoso (nem desvantajoso). Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

51 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades O raciocínio comum é algo assim: Afinal, há apenas duas alternativas: uma porta com um carro e uma porta com uma cabra, de modo que as chances do participante ganhar o carro ou a cabra são ambas iguais a 50%, independentemente dele trocar ou manter sua escolha; portanto, trocar a escolha não melhora as expectativas do participante ganhar o carro, ou seja, isso não é vantajoso (nem desvantajoso). Contudo, esse raciocínio está errado, por mais natural, claro e convincente que pareça! Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

52 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades Dentre aqueles que se equivocaram com a solução do problema, cabe destacar o eminente matemático Paul Erdös ( ): Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

53 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades Dentre aqueles que se equivocaram com a solução do problema, cabe destacar o eminente matemático Paul Erdös ( ): [Ao ser informado da resposta certa,] Paul Erdös, um dos maiores matemáticos do século XX, afirmou: Impossível. A seguir, quando apresentado a uma prova matemática formal da resposta correta, ainda assim não acreditou nela, e ficou irritado. Somente depois que um colega preparou uma simulação computadorizada na qual Erdös assistiu a centenas de testes que geraram um resultado de 2 para 1 a favor da mudança de escolha da porta, ele admitiu estar errado. [Mlodinow, 2009, p.54] Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

54 Brevíssima Introdução às Probabilidades O Problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades Dentre aqueles que se equivocaram com a solução do problema, cabe destacar o eminente matemático Paul Erdös ( ): [Ao ser informado da resposta certa,] Paul Erdös, um dos maiores matemáticos do século XX, afirmou: Impossível. A seguir, quando apresentado a uma prova matemática formal da resposta correta, ainda assim não acreditou nela, e ficou irritado. Somente depois que um colega preparou uma simulação computadorizada na qual Erdös assistiu a centenas de testes que geraram um resultado de 2 para 1 a favor da mudança de escolha da porta, ele admitiu estar errado. [Mlodinow, 2009, p.54] O caso de Paul Erdös e dos leitores da revista Parede com o Problema de Monty Hall mostra como nossa intuição pode errar na estimativa de probabilidades, bem como ilustra que as simulações computacionais podem nos ajudar a compreender melhor o assunto. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

55 RESOLUÇÃO COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS DE PROBABILIDADE Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

56 Fundamentos FUNDAMENTOS Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

57 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

58 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Destaco três características: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

59 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Destaco três características: fundamento na interpretação frequentista das probabilidades; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

60 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Destaco três características: fundamento na interpretação frequentista das probabilidades; padronização da resolução de problemas de probabilidade; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

61 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Destaco três características: fundamento na interpretação frequentista das probabilidades; padronização da resolução de problemas de probabilidade; evitação de problemas de combinatória intermediários. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

62 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa as abordagens anaĺıticas, sendo eventualmente uma alternativa mais atraente ou mais fácil de ser executada. Destaco três características: fundamento na interpretação frequentista das probabilidades; padronização da resolução de problemas de probabilidade; evitação de problemas de combinatória intermediários. Por essas razões, temos a expectativa de que a proposta pode realmente ajudar os estudantes a compreender melhor a teoria das probabilidades. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

63 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Esclarecimento: simulação computacional de um ensaio aleatório significa usar um gerador de números pseudo-randômicos para selecionar um elemento de um conjunto finito dado. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

64 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral finito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

65 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral finito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: 1 definir o espaço amostral U de modo adequado para realizar ensaios pseudo-ramdômicos; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

66 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral finito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: 1 definir o espaço amostral U de modo adequado para realizar ensaios pseudo-ramdômicos; 2 caracterizar o evento E por um conjunto finito de propriedades em U; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

67 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral finito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: 1 definir o espaço amostral U de modo adequado para realizar ensaios pseudo-ramdômicos; 2 caracterizar o evento E por um conjunto finito de propriedades em U; 3 realizar uma sequência finita N de simulações de ensaios randômicos em U, contando o número n de vezes nos quais os ensaios resultam num elemento do evento E; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

68 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral finito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: 1 definir o espaço amostral U de modo adequado para realizar ensaios pseudo-ramdômicos; 2 caracterizar o evento E por um conjunto finito de propriedades em U; 3 realizar uma sequência finita N de simulações de ensaios randômicos em U, contando o número n de vezes nos quais os ensaios resultam num elemento do evento E; 4 calcular a probabilidade de E pelo quociente p (E) = n N. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

69 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Podemos escrever um pseudo-algoritmo para calcular a probabilidade do evento E utilizando a função característica de E (viz., o teste que determina se um elemento de U pertence a E): Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

70 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Podemos escrever um pseudo-algoritmo para calcular a probabilidade do evento E utilizando a função característica de E (viz., o teste que determina se um elemento de U pertence a E): { 1, u E, ε (u) = 0, u U \ E. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

71 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Denotando por Random (U) a simulação computacional de um ensaio aleatório em U, podemos escrever o algoritmo-solução do problema da seguinte forma: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

72 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Denotando por Random (U) a simulação computacional de um ensaio aleatório em U, podemos escrever o algoritmo-solução do problema da seguinte forma: Algoritmo-Solucão Genérico 1: Entrada: U, E, ε, N; 2: n = 0 3: Para i = 1 até i = N faça 4: Se ε (Random (U)) = 1 então n = n + 1; 5: Retorne: n/n Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

73 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Denotando por Random (U) a simulação computacional de um ensaio aleatório em U, podemos escrever o algoritmo-solução do problema da seguinte forma: Algoritmo-Solucão Genérico 1: Entrada: U, E, ε, N; 2: n = 0 3: Para i = 1 até i = N faça 4: Se ε (Random (U)) = 1 então n = n + 1; 5: Retorne: n/n Naturalmente, um mesmo problema pode ser resolvido por diversos algoritmos-solução diferentes, sendo eventualmente mais simples e elegantes do que esse algoritmo-solução genérico. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

74 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Para testar a correção do algoritmo-solução e de sua codificação no computador, podemos calcular a probabilidade total definida por uma partição de U a qual deve sempre ser igual a 1: se {E 1,..., E m } é uma partição de U em m N subconjuntos disjuntos, U = E 1... E m e E i E j = i j {1,..., m}, então (necessariamente) p (E 1 ) p (E m ) = 1. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

75 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Duas observações: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

76 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Duas observações: O cálculo de uma probabilidade por simulações não resulta no valor exato da probabilidade, mas numa aproximação cujo erro pode ser arbitrariamente reduzido aumentando o número de ensaios. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

77 Fundamentos Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Duas observações: O cálculo de uma probabilidade por simulações não resulta no valor exato da probabilidade, mas numa aproximação cujo erro pode ser arbitrariamente reduzido aumentando o número de ensaios. Usando Estatística, podemos estimar o número necessários de ensaios para que o erro da estimativa esteja abaixo de uma margem previamente estabelecida com uma probabilidade arbitrariamente alta. Contudo, não desenvolvemos esse tópico nesta breve exposição. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

78 Exemplos EXEMPLOS Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

79 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

80 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Problema No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade da soma dos resultados ser igual a k {1, 2,..., 12}? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

81 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Resolução Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

82 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Resolução Considerando que os resultados dos dados são números entre 1 e 6 independentes e igualmente prováveis, o espaço amostral do problema no qual todos os elementos são igualmente prováveis é dado por: U = {(a, b) ; a, b {1,..., 6}}. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

83 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Resolução Considerando que os resultados dos dados são números entre 1 e 6 independentes e igualmente prováveis, o espaço amostral do problema no qual todos os elementos são igualmente prováveis é dado por: Algoritmo-solução: U = {(a, b) ; a, b {1,..., 6}}. 1: Entrada: k, N; 2: n = 0; 3: Para i = 1 até i = N faça 4: a = Random ({1, 2, 3, 4, 5, 6}), 5: b = Random ({1, 2, 3, 4, 5, 6}), 6: Se a + b = k então n = n + 1; 7: Retorne: n/n. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

84 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Problema Dado um inteiro m 2, qual é a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

85 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Resolução Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

86 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Resolução Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamente cada dia do ano a um número entre 1 e 365. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

87 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Resolução Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamente cada dia do ano a um número entre 1 e 365. Definimos o espaço amostral do problema pelo conjunto U de todas as sequências de m números entre 1 e 365 cada termo representando o dia do aniversário de uma determinada pessoa do grupo. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

88 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Resolução Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamente cada dia do ano a um número entre 1 e 365. Definimos o espaço amostral do problema pelo conjunto U de todas as sequências de m números entre 1 e 365 cada termo representando o dia do aniversário de uma determinada pessoa do grupo. O evento cuja probabilidade devemos calcular é o subconjunto E de todas as sequências de U que possuem pelo menos dois termos iguais. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

89 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Resolução Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamente cada dia do ano a um número entre 1 e 365. Definimos o espaço amostral do problema pelo conjunto U de todas as sequências de m números entre 1 e 365 cada termo representando o dia do aniversário de uma determinada pessoa do grupo. O evento cuja probabilidade devemos calcular é o subconjunto E de todas as sequências de U que possuem pelo menos dois termos iguais. A função característica de E é associa uma sequência u U ao valor 0 ou 1, respectivamente, se u não possui termos iguais ou se u possui pelo menos dois termos iguais: { 0, se u não possui termos iguais, ε : U {0, 1}, ε (u) = 1, se u possui dois termos iguais; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

90 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Algoritmo-solução: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

91 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Algoritmo-solução: 1: Entrada: m, N; 2: U = {sequências com m números entre 1 e 365} 3: n = 0; 4: ε : U {0, 1}, ε (u) = { 0, se u não possui termos iguais, 1, se u possui dois termos iguais; 5: Para i = 1 até i = N faça 6: Se ε (Random (U)) = 1 então n = n + 1; 7: Retorne: n/n Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

92 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Esse algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados para N = simulações em cada caso: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

93 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Esse algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados para N = simulações em cada caso: para m = 2, a probabilidade computada foi (o valor exato é 1/ ); Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

94 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Esse algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados para N = simulações em cada caso: para m = 2, a probabilidade computada foi (o valor exato é 1/ ); para m = 3, a probabilidade computada foi (o valor exato é 1/ / ); Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

95 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Esse algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados para N = simulações em cada caso: para m = 2, a probabilidade computada foi (o valor exato é 1/ ); para m = 3, a probabilidade computada foi (o valor exato é 1/ / ); para m = 10, a probabilidade computada foi (o valor exato fica para o interessado determinar...). Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

96 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Comentário Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

97 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Comentário Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haver dois integrantes com aniversário no mesmo dia seja maior do que 50% (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

98 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Comentário Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haver dois integrantes com aniversário no mesmo dia seja maior do que 50% (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? A resolução deste problema não se resume a realizar simulações computacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computador extendendo o algoritmo-solução apresentado para o problema restrito de calcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia: Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

99 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Comentário Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haver dois integrantes com aniversário no mesmo dia seja maior do que 50% (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? A resolução deste problema não se resume a realizar simulações computacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computador extendendo o algoritmo-solução apresentado para o problema restrito de calcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia: basta escrever um algoritmo para aplicar sucessivamente o algoritmo-solução do problema restrito para um número m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante até que o resultado ultrapasse 0.5. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

100 Exemplos Probabilidade de aniversários coincidirem Comentário Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haver dois integrantes com aniversário no mesmo dia seja maior do que 50% (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? A resolução deste problema não se resume a realizar simulações computacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computador extendendo o algoritmo-solução apresentado para o problema restrito de calcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia: basta escrever um algoritmo para aplicar sucessivamente o algoritmo-solução do problema restrito para um número m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante até que o resultado ultrapasse 0.5. A resposta exata do problema é 23, número que parece baixo para a maioria das pessoas. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

101 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Problema 10 pessoas são colocadas ao acaso numa roda. Qual é a probabilidade de duas pessoas predeterminadas ficarem juntas? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

102 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

103 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas. Naturalmente, podemos definir uma disposição dessas pessoas na roda por uma permutação do conjunto dos números de 1 a 10, por exemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde à disposição em que a pessoa 3 fica à esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica à esquerda da pessoa 4 e assim sucessivamente até cheguar à pessoa 6 que fica à esquerda da pessoa 3 (fechando a roda). Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

104 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas. Naturalmente, podemos definir uma disposição dessas pessoas na roda por uma permutação do conjunto dos números de 1 a 10, por exemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde à disposição em que a pessoa 3 fica à esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica à esquerda da pessoa 4 e assim sucessivamente até cheguar à pessoa 6 que fica à esquerda da pessoa 3 (fechando a roda). Desse modo, o espaço amostral do problema cujos elementos são igualmente prováveis é o conjunto das permutações dos números de 1 a 10. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

105 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas. Naturalmente, podemos definir uma disposição dessas pessoas na roda por uma permutação do conjunto dos números de 1 a 10, por exemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde à disposição em que a pessoa 3 fica à esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica à esquerda da pessoa 4 e assim sucessivamente até cheguar à pessoa 6 que fica à esquerda da pessoa 3 (fechando a roda). Desse modo, o espaço amostral do problema cujos elementos são igualmente prováveis é o conjunto das permutações dos números de 1 a 10. O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde às permutações em que os números 1 e 2 aparecem juntos ou que eles ocupem a primeira e décima posições. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

106 Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas. Naturalmente, podemos definir uma disposição dessas pessoas na roda por uma permutação do conjunto dos números de 1 a 10, por exemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde à disposição em que a pessoa 3 fica à esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica à esquerda da pessoa 4 e assim sucessivamente até cheguar à pessoa 6 que fica à esquerda da pessoa 3 (fechando a roda). Desse modo, o espaço amostral do problema cujos elementos são igualmente prováveis é o conjunto das permutações dos números de 1 a 10. O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde às permutações em que os números 1 e 2 aparecem juntos ou que eles ocupem a primeira e décima posições. Com base nessas considerações, definimos o seguinte algoritmo-solução onde PermutaRandom (U) denota a sequência Lúcio correspondente Fassarella (UFES) a uma permutação Probabilidade randômica do conjunto 26 de maio de U, 2015 A [k] 41 / 63 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda

107 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Algoritmo-Solução 1: Entrada: N; 2: n = 0; 3: Para i = 1 até i = N faça 4: A = PermutaRandom ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) 5: Se A [1] = 1 e A [2] = 2 ou A [10] = 2, então n = n + 1; 6: Se A [10] = 1 e A [9] = 2 ou A [1] = 2, então n = n + 1; 7: Para k = 2 até k = 9 faça 8: Se A [k] = 1 e A [k 1] = 2 ou A [k + 1] = 2, então n = n 9: Retorne: n/n. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

108 Exemplos Probabilidade de um par de pessoas numa roda Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou numa execução com N = simulações; ou seja, a probabilidade das duas pessoas predeterminadas sentarem juntas nas circunstâncias do problema é de 22%, aproximadamente. O resultado exato é dado por 2/9 = Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

109 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

110 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Problema Um móvel tem três gavetas iguais. Em uma gaveta há duas bolas brancas, em outra há duas bolas pretas, e na terceira há uma bola branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso sem olhar a segunda bola que está na gaveta. A bola que tiramos é branca. Qual é a probabilidade de que a segunda bola que ficou sozinha na gaveta também seja branca? Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

111 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Resolução Considere que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolas brancas por 1. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

112 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Resolução Considere que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolas brancas por 1. Definimos o espaço amostral com elementos igualmente prováveis por U = {a, b, c}, a = {(0, 0)}, b = {(0, 1), (1, 0)}, c = {(1, 1)}. Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

113 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Resolução Considere que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolas brancas por 1. Definimos o espaço amostral com elementos igualmente prováveis por U = {a, b, c}, a = {(0, 0)}, b = {(0, 1), (1, 0)}, c = {(1, 1)}. Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve o problema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, b ou c; Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

114 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Resolução Considere que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolas brancas por 1. Definimos o espaço amostral com elementos igualmente prováveis por U = {a, b, c}, a = {(0, 0)}, b = {(0, 1), (1, 0)}, c = {(1, 1)}. Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve o problema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, b ou c; se a escolha resultar em a ou c, não é necessário fazer nova escolha para determinar a cor da bola que será retirada primeiro (ela será necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c); Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63

115 Exemplos Problema da retirada de bolas em gavetas Resolução Considere que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolas brancas por 1. Definimos o espaço amostral com elementos igualmente prováveis por U = {a, b, c}, a = {(0, 0)}, b = {(0, 1), (1, 0)}, c = {(1, 1)}. Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve o problema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, b ou c; se a escolha resultar em a ou c, não é necessário fazer nova escolha para determinar a cor da bola que será retirada primeiro (ela será necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c); entretanto, se o resultado da escolha da gaveta for b, então devemos realizar uma escolha aleatória em {0, 1} para determinar qual é a cor da primeira bola retirada (e também da segunda, consequentemente). Lúcio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de / 63