Resolução Computacional de Problemas de Contagem:

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1 Resolução Computacional de Problemas de Contagem: Como o computador pode nos ajudar a resolver problemas de contagem? Lucio S. Fassarella DMA/CEUNES/UFES October 1, 01 Abstract Breve discussão e exemplos de resolução de problemas de contagem na forma de algoritmo. Introdução Eu realmente acredito que os problemas são o coração da Matemática. P.R. Halmos [7]. Aqui discuto a resolução computacional ou algorítmica de problemas de contagem, i.e., na forma de algoritmos que podem ser programados num computador. Como alternativa para resolver problemas de contagem, sua principal vantagem está em nos permitir focalizar o trabalho na compreensão e no desenvolvimento de estratégias para resolver os problemas sem preocupação com a realização de cálculos tediosos, ao preço da necessidade de elaborar um algoritmo e posteriormente programá-lo no computador. Uma classe ampla de problemas de contagem pode ser naturalmente resolvida pela estratégia da função característica, que possui um algoritmo-solução com estrutura genérica bastante simples. Antes de apresentar a estratégia da função característica, vamos ilustrar a ideia geral abordando alguns problemas típicos de contagem mediante outras estratégias. 3 Exemplos Gerais 3.1 Um problema de anagramas Problema: Quantos anagramas possui a palavra estrela? Pelo signi cado de anagrama, interpretamos que o problema pergunta pelo número de sequências distintas que podem ser construidas pela permutação dos termos da sequência (e; s; t; r; e; l; a). Considerando que a palavra possui sete letras, segue que cada permutação p de f1; ; 3; ; 5; ; 7g de ne um anagrama A (p) de estrela através da correspondência e s t r e l a l l l l l l l posição posição posição posição posição p () p (3) p () p (5) p () posição p (1) posição p (7) : Por exemplo, se p é a permutação p (1) = ; p () = 3; p (3) = ; p () = 5; p (5) = ; p () = 7; p (7) = 1; então A (p) = aestrel. 1

2 Deve estar claro que a correspondência entre as permutações de f1; ; 3; ; 5; ; 7g e os anagramas de estrela é uma função sobrejetiva mas não é injetiva, pelo fato da primeira e quinta letras da palavra serem iguais a e. Mais precisamente, denote por a permutação que troca os números 1 e 5 de posição, mantendo os demais números invariantes, (1) = 5; () = ; (3) = 3; () = ; (5) = 1; () = ; (7) = 7; então, duas permutações p e q de f1; ; 3; ; 5; ; 7g produzem o mesmo anagrama de estrela se, e somente se, uma é igual a outra composta com : Por exemplo, a permutação q dada por A (q) = A (p) () q = p: q (1) = ; q () = 3; q (3) = ; q () = 5; q (5) = ; q () = 7; q (7) = 1; cumpre q = p (p dada acima) e de ne o mesmo anagrama que p, como se pode veri car. A ideia fundamental do nosso algoritmo para resolver o problema está em comparar as permutações de f1; ; 3; ; 5; ; 7g entre si, contando uma, e somente uma, para cada anagrama distinto da palavra estrela. Para tanto, vamos assumir que conhecemos uma enumeração do conjunto das permutações de f1; ; 3; ; 5; ; 7g, digamos U = fp 1 ; :::; p n! g: começando com p 1 contamos uma permutação; se p é diferente de p 1, então contamos mais uma permutação, senão continuamos com o número anterior; se p 3 é diferente tanto de p 1 quanto de p, então contamos mais uma permutação, senão continuamos com o número anterior; e assim por diante... Formalizamos o algoritmo do seguinte modo: Algoritmo Entrada: U = fp 1 ; :::; p n! g ; n 1 R = 1; De k = até k = n! faça: c = 1; De j = 1 até j = k 1 faça: [Se p k = p j então c = c senão c = 0; Retorne c; R = R + c; Retorne R; Saída: R Para testar o algoritmo, podemos executá-lo e comparar os resultados com aqueles obtidos por enumeração explícita, nos casos de pequenos valores de n: N () = 1, N (3) =, N () = Uma problema com solução na forma de recorrência Consideramos como caso especial de resolução computacional as soluções de problemas de contagem dadas na forma de fórmulas de recorrência, porque elas possuem a forma de algoritmos. Problema: Dados números reais x 1 ; :::; x n (n ), determine o número a (n) de modos de dispor parênteses para indicar a ordem em que deve ser feita a adição x 1 + :::: + x n. Exemplos: n a (n) modos de dispor os parênteses 1 (x 1 + x ) ; 3 ((x 1 + x ) + x 3 ) ; (x 1 + (x + x 3 )) ; 5 (((x 1 + x ) + x 3 ) + x ) ; ((x 1 + (x + x 3 )) + x ) ; (x 1 + ((x + x 3 ) + x )) ; (x 1 + (x + (x 3 + x ))) ; ((x 1 + x ) + (x 3 + x )) :

3 Uma alternativa para resolver o problema é agrupar a soma dos n números em duas partes: a primeira envolvendo as primeiras r parcelas e a segunda envolvendo as n r parcelas seguintes, com r variando de 1 a n 1. Para cada r xado entre 1 e n 1, os números de modos de dispor os parênteses na primeira e na segunda partes são independentes, implicando que o total é dado pelo produto de a (r) a (n r). Os agrupamentos determinam uma partição do conjunto dos modos de dispor os parênteses; portanto, o número total desses modos é a soma dos números de modos de correspondentes a cada agrupamento: Algoritmo Entrada: n a (1) = 1; De h k = até k = n faça: a (k) = P k 1 r=1 a (r) a (r 1) ; Retorne a (n) ; Saída: a (n) nx 1 a (n) = a (r) a (n r) : r=1 Para testar o algoritmo, podemos executá-lo e comparar os resultados com aqueles obtidos por enumeração explícita, nos casos de pequenos valores de n: a () = 1, a (3) =, a () = 5. Estratégia da Função Característica Aqui apresento a estratégia da função característica, um modo simples e direto para resolver problemas de contagem na forma de algoritmo. Ela pode ser aplicada de modo imediato quando a solução do problema é dada pelo número de elementos de um conjunto E caracterizado como subconjunto de um conjunto nito e conhecido U por um número nito de propriedades em U, de nidas matematicamente como funções de U em f0; 1g; nesse caso, chamamos U de conjunto universo e E de conjunto objetivo e a função característica de E é de nida por 1; u E; : U! f0; 1g ; (u) = 0; u = E: Observação 1 Informalmente, uma propriedade num conjunto U é uma qualidade que pode ser testada nos elementos de U. Formalmente, dizemos que uma propriedade P em U é uma função (qualquer) P : U! V, de modo que P (u) = v signi ca u possui valor v para a propriedade P. 1 Nesse caso, dizer que E é o subconjunto de U caracterizado pelos valores v 1 ; :::; v m das propriedades P k, respectivamente signi ca que u E se, e somente se, u U e P k (u) = v k para todo k f1; :::; mg, ou seja E = fu U = P k (u) = v k ; 8k = 1; :::; mg : Nesse caso, a função característica de E é dada por 1; Pk (u) = v : U! f0; 1g ; (u) = k ; 8k = 1; :::; m; 0; no caso contrário. Por exemplo, se U é o conjunto dos números inteiros positivos menores do que 015, o conjunto E dos números inteiros positivos menores do que 015 que são primos ímpares é o subconjunto de U constituido 1 Dizemos que P é uma propriedade binária em U quando seu contra domínio é um conjunto com apenas dois elementos, ff; V g. Nesse caso, podemos convencionar que P (u) = V signi ca u U possui a propriedade P ou P (u) é verdadeira, enquanto P (u) = F signi ca u U não possui a propriedade P ou P (u) é falsa. Naturalmente, toda propriedade cujo contra-domínio é nito pode ser decomposta como conjunção de propriedades binárias. 3

4 por aqueles elementos que possuem as propriedades P 1 de ser primo e P de ser ímpar, simultaneamente: U = f1; ; :::; 015g ; 1; se u é primo, P 1 : U! f0; 1g ; P 1 (u) = 0; se u não é primo, 1; se u é ímpar, P : U! f0; 1g ; P (u) = : 0; se u par, E = fu U = P 1 (u) = 1; P (u) = 1g : Suponha que num problema de contagem deduzimos que sua resposta é igual ao número de elementos de um subconjunto E de um conjunto U tais que i) U é um conjunto nito com enumeração conhecida, digamos U = fu 1 ; :::; u n g; ii) E é um subconjunto de U caracterizado por um conjunto nito de propriedades, digamos P 1 ; :::; P m. Então, para obter a solução do problema basta contar o número de elementos de E, tarefa que podemos descrever forma de um algoritmo usando função característica de E. Então, as condições bastam para que possamos resolver o problema de contagem e aplicar a estratégia da função característica: Estratégia da Função Característica Com base na interpretação do problema de contagem, i) de na e enumere o conjunto universo U, identi cando o conjunto objetivo E; ii) de na as propriedades e os valores que juntas caracterizam E; iii) escreva o Algoritmo de Contagem Entrada: U = fu 1 ; :::; u w g ; (* conjunto universo *) P k : U! V k ; k = 1; :::; m; (* propriedades características de E *) : U! f0; 1g ; se P k (u) = v k ; 8k = 1; :::; m, então (x) = 1, senão (x) = 0; R = 0; (* inicialização da contagem *) De j = 1 até j = w faça: [Se (u j ) = 1 então R = R + 1, senão R = R; Retorne R; Saída: R: iv) programe o Algoritmo de Contagem no computador; v) execute o algoritmo. Observação No algoritmo, destacamos que (u) = 1 se, e somente se, o seguinte algoritmo retorna 1: c = 1; De j = 1 até j = m faça: [Se P j (u) = 1 então c = c senão c = 0; Retorne c. Naturalmente, o Algoritmo de Contagem e sua programação no computador devem ser validados para garantir que o resultado da execução do programa seja realmente a resposta do problema; se não for possível demonstrar que a programação do algoritmo está correta, pode ser su ciente aplicar alguns testes ao programa para nos convencer de sua correção []. Aqui, a notação (*... *) indica um comentário.

5 .1 Problemas & Soluções.1.1 O problema das permutações caóticas Problema: Dado n N, qual é o número de permutações do conjunto de números naturais f1; :::; ng nas quais todos os números mudam de posição? Este problema pode ser naturalmente resolvido pela estratégia da função característica. O conjunto universo é o conjunto das permutações de f1; :::; ng, o conjunto objetivo é constituido pelas permutações de f1; :::; ng que não possuem ponto xo e a função característica pode ser de nida por 1; se p (j) = j 8j f1; :::; ng ; (p) = 0; caso contrário. O algoritmo de contagem: Entrada: U = fp 1 ; :::; p n! g : U! f0; 1g ; se p (j) = j 8j f1; :::; ng então (x) = 1, senão (x) = 0; R = 0; De k = 1 até k = n faça: [Se (p k ) = 1 então R = R + 1, senão R = R Retorne R; Saída: R: Para testar um programa do algoritmo, podemos comparar seus resultados com aqueles obtidos por enumeração explícita das permutações caóticas, nos casos de pequenos valores de n: R (1) = 0, R () = 1, R (3) =, R () = 9. No Apêndice A.3 apresentamos um código de programação no Mathemática veri cado por esse teste.. Um problema com ladrilhos Problema: Dado n N, determine o número de maneiras de dispor ladrilhos dos tipos 1 1 e 1 numa faixa de comprimento 1 n. Vamos aplicar a estratégia da função característica. 3 O conjunto universo é o conjunto das sequências de ladrilhos dos tipos 1 1 e 1 com número de termos variando de dn=e a n, o conjunto objetivo é constituido pelas sequências cujo comprimento é igual a n e a função característica é dada por ((a 1 ; :::; a k )) = 1; se a1 + ::: + a k = n; 0; caso contrário; k = dn=e ; :::; n: O número variável de termos da sequência di culta a programação, por isso particionamos o conjunto universo e o subconjunto objetivo em subconjuntos nos quais as sequências possuem número xo de termos: para k variando de dn=e a n, U k é o conjunto das sequências de k ladrilhos dos tipos 1 1 e 1, E k é o subconjunto das sequências de U k cujo comprimento é igual a n e a correspondente função característica é dada por 1; se a1 + ::: + a k ((a 1 ; :::; a k )) = k = n; 0; caso contrário. O algoritmo de contagem: 3 Para uma resolução usando recorrência, vide []. Para x R, a notação dxe indica o menor inteiro maior ou igual a x. 5

6 Entrada: n; De k = 1 até k = n faça: U k = fs 1 ; :::; s kg ( lista das sequências com k termos iguais a 1 ou *); De k = 1 até k = n faça: R = 0; k : U k! f0; 1g ; se P k i=1 s (i) = 1 então k (s) = 1 senão k (s) = 0; De k = 1 até k = n faça: De j = 1 até j = k faça: [Se k (s j ) = 1 então R = R + 1, senão R = R; Retorne R; Retorne R; Saída: R Uma das di culdades para programar este algoritmo é a criação do conjunto universo e sua enumeração. Isso pode ser realizado considerando que o número de sequências com k termos iguais a 1 ou é igual a quantidade de números que se escrevem na base com k dígitos! Utilizamos essa ideia para programar o algoritmo no Mathematica, conforme Apêndice A.. 5 Conclusão De nimos e apresentamos exemplos de resoluções computacionais de problemas de contagem. Defendemos também a tese de que o método pode repercutir positivamente no ensino do tema tanto no nível da Educação Básica quanto no nível do Ensino Superior. Naturalmente, são necessárias pesquisas de campo para compreendermos como o método deve ser ensinado para garantirmos um melhor aproveitamento, bem como para comprovar nossas espectativas. Esperamos que este artigo motive trabalhos nessa direção. A resolução computacional não elimina a necessidade de compreendemos e de criarmos estratégias de resolução para os problemas de contagem, embora nos permita contornar a necessidade de usar o Princípio Multiplicativo. Na estratégia da função característica, a interpretação do problema e sua resolução se resumem a escolher o conjunto universo e de nir a função característica, o que signi ca deduzir as expressões matemáticas das propriedades que caracterizam o conjunto objetivo. Essa estratégia funciona como uma estrutura que organiza e orienta o pensamento, reduzindo a sensação comum de não sabermos o que fazer, mas não se aplica naturalmente a todos os problema (e.g., o problema de contar anagramas da seção 3.1). Aqui, não discutimos a questão dos recursos computacionais requeridos para o computador executar o Algoritmo de Contagem programado em tempo hábil. Na prática esse ponto é importante porque muitos problemas de contagem que podem ser teoricamente resolvidos pela estratégia da função característica requerem um volume tão grande de memória ou uma quantidade tão grande cálculos que não pode ser executado pelos computadores atuais em tempo hábil. No ensino de Combinatória, a proposta constitui aplicação profícua do computador, além de ser uma alternativa notável às práticas do ensino tradicional vigentes [1, p.5]; como bônus, ela oferece uma ilustração adequada do que é computação cientí ca, um elemento importante da ciência e tecnologia atuais com potencial de despertar o interesse de muitos estudantes. A proposta pode reduzir signi cativamente as di culdades de aprendizagem constatadas na Educação Básica e no Ensino Superior [], compensando o trabalho e o tempo dispendidos para discutir e praticar o método. En m, esse tipo de abordagem para o ensino de Matemática é uma tendência em desenvolvimento [] [3] e que não pode ser ignorada: Graças à abundância de computadores de baixo custo, agora temos a oportunidade de melhorar o ensino de matemática em uma frente vastamente mais ampla e interessante, que irá melhorar a importância da matemática aprendida pelos alunos. Por exemplo, com a ajuda do método de Monte Carlo, e programas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumir um lugar proeminente na Matemática Escolar. [Nesse caso,] eliminamos a opressora di culdade com os

7 cálculos combinatórios. [Além disso,] medidas importantes relacionadas com a distribuição normal (de Gauss) e outras distribuições exponenciais [também] podem ser abordadas pelo método de Monte Carlo, tornando essa parte da matemática não mais complicada do que [mera] contagem. J.J. Uhl, D. Woods [8]. References [1] M. de C. Borba, M.G. Penteado: Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 01. [] F. Le Calvez, H. Giroire, G. Tisseau: Design of a Learning Environment in Combinatorics based on Problem Solving: Modeling Activities, Problems and Errors. International Journal of Arti cial Intelligence in Education Vol.18, No.1 (008): [3] F. Le Calvez, H. Giroire: Solving Combinatorics Problems: from the Design of a Solving Method to a Training System. In: L. Gómez Chova, D. Martí Belenguer, I. Candel Torres (eds): International Conference of Education, Research and Innovation ICERI, 008, IATED. [] Maurício Fabbri: Brincando com Ladrilhos. Revista do Professor de Matemática, no.8, pp.11-17, 01. [5] A. C. de O. Morgado, et.al.: Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 005. [] L. S. Fassarella (009): A resposta é plausível? Comentários baseados em um cálculo de probabilidades. Revista do Professor de Matemática no.70: p.1-5. [7] P. R. Halmos: The Heart of Mathematics. The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 7 (1980): pp [8] J.J. Uhl, D. Woods: The crisis we face and how to try to deal with it. In: S. Li, D. Wang, J.-Z. Zhang: Symbolic Computation and Education. World Scienti c, 007: pp

8 A Códigos Para designar comentários no programa são usados parênteses e asteriscos: (*...*). A.1 Um problema de anagramas... A. Uma problema com solução na forma de recorrência (* Programa para cálculo do número de modos de dispor parênteses na soma x 1 + ::: + x n *) n= A=Table[1,{i,1,n}] For[k=, k n, k++, A[[k]] = P k 1 i=1 A[[i]]*A[[k-i]] ] Print[ A[[n]] ] A.3 O problema das permutações caóticas (* Programa para cálculo do número de permutações caóticas de {1,...,n} *) n = U = Permute[Table[k, {k, 1, n}], SymmetricGroup[n]]; ny [J_ ] = (If[ J[[i]] = i, 1, 0]); i=1 Nc = 0; For[k = 1, k <= n!, k++, If[[U[[k]]] == 1, Nc = Nc + 1, Nc = Nc]] Print[ Nc ] A. Um problema com ladrilhos... 8