2 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade 6

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1 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Lucio S. Fassarella DMA/CEUNES/UFES 26 de maio de 2015 Resumo Notas de aula sobre o uso do computador na resolução de problemas de probabilidade. Aqui, discuto brevemente a essência de uma proposta para resolução problemas de probabilidade através de simulações computacionais de experimentos aleatórios, tendo em perspectiva sua aplicação na educação matemática. Além das de nições básicas, apresento alguns exemplos ilustrativos da técnica e proponho exercícios/problemas. Palavras-chave. Probabilidade, Simulação Computacional, Ensino de Matemática. Sumário 0 Introdução Motivação: o problema de Monty Hall Brevíssima Introdução às Probabilidades 4 2 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade 6 3 Exemplos Probabilidade da soma de dois dados Probabilidade de haver aniversários coincidentes Probabilidade de um par de pessoas numa roda O problema da retirada de bolas em gavetas O problema da agulha Exercícios/Problemas 12 A Códigos no Mathematica 14 A.1 Problema A.2 Problema A.3 Problema A.4 Problema A.5 Problema

2 0 Introdução Eu acredito que os problemas são o coração da Matemática e espero que nós professores, nas aulas e seminários e nos livros e artigos que escrevermos, enfatizemos isso cada vez mais, e que treinemos nossos estudantes a serem melhores elaboradores e solucionadores de problemas do que nós mesmos somos. Paul Halmos 1 Os computadores liberam a matemática do mundo real do cálculo manual, permitindo que ela possa ir mais rápido e mais longe do que jamais se poderia imaginar. Agora, é vital que a educação matemática também incorpore essa automação. Conrad Wolfram 2 Vivemos uma era em que o uso do computador está bastante difundido em diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas próprias vidas. 3 Dadas suas amplas potencialidades, é natural pensarmos no emprego do computador na educação, particularmente na educação matemática. De fato, o uso da informática tem sido uma das fortes tendências em Educação Matemática e vem ganhado espaço cada vez maior nas práticas pedagógicas [2]. Neste minicurso discuto a resolução de problemas de probabilidade através de simulações computacionais de experimentos aleatórios. Esta proposta constitui uma heurística para resolução de problemas de probabilidade que complementa a abordagem analítica, sendo eventualmente uma alternativa mais fácil ou mais atraente de ser realizada. Dentre suas vantagens, destaco a padronização da resolução de problemas e o fato dela contornar a necessidade de resolvermos problemas intermediários de combinatória. A ideia está fundada diretamente na interpretação frequentista da probabilidade, o que suscita a expectativa de que pode realmente ajudar os estudantes a compreender melhor a teoria das probabilidades, além de ampliar sua capacidade para interpretar e resolver problemas especí cos. Além disso, acredito que a proposta tanto ajuda a evitar equívocos na resolução de problemas quanto confronta nossas previsões intuitivas ou resultados analíticos com dados empíricos. Esta proposta utiliza o computador como instrumento cognitivo. O uso do computador na resolução de problemas matemáticos pode ocorrer de duas formas diferentes, pelo menos: (i) como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidos utilizados numa estratégia de resolução concebida sem o subsídio do computador ou (ii) como instrumento cognitivo que nos permite conceber estratégias de resolução alternativas. Talvez não seja essencial distinguir essas duas formas de usar o computador na prática, até porque elas podem colaborar, se sobrepor ou se confundir em diversas situações; entretanto, para exempli car, podemos dizer que a resolução numérica de uma equação de quinto grau através de um algoritmo genérico (tal como o método de Newton) ilustra a primeira forma, enquanto o recurso à geometria dinâmica para investigar as propriedades de uma con guração geométrica particular ilustra a segunda forma. Chamo de abordagem algorítmica a tentativa de resolver um problema pela elaboração de um algoritmo especí co, cuja execução gera a solução exata ou uma aproximação arbitrariamente próxima da solução exata. A abordagem algoritmica é um caso especial do uso do computador como instrumento cognitivo que geralmente também o aplica como ferramenta auxiliar (para executar os algoritmos-solução). Outro exemplo de uso do computador como ferramenta meramente auxiliar: considere o problema de determinar o número S n de interseções de n retas em posição geral no plano ( n 2 Z; n 1) 4 ; podemos 1 Paul Halmos: The Heart of Mathematics. The American Mathematical Monthly, vol. 87(7) (1980): Estas notas estão baseadas no artigo homônimo submetido ao III CMAC - Sudeste 2015 (Congresso de Matemática Aplicada e Computacional), eventualmente a ser publicado no Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics. Qualquer semelhança não é mera coincidência. 4 Dizemos que um conjunto de retas está em posição geral no plano quando ele não possui um par de retas paralelas e nem possui três retas que se intersectam num mesmo ponto. 2

3 obter sua solução em termos da seguinte fórmula de recorrência (provando sua validade por indução nita) e usar o computador apenas para calcular os valores de S n, para qualquer inteiro positivo n dado: 5 S 1 = 0; S n = S n 1 + n 1 8n 2 Z; n 2: Embora a abordagem algoritmica pareça mais indicada para o Ensino Médio ou Superior, uma pesquisa realizada com o objetivo de investigar as contribuições que a inserção da tecnologia pode trazer à educação estocástica e que teve como questão descobrir como os recursos tecnológicos podem ser úteis para a construção de novos conhecimentos da Estocástica no Ensino Fundamental chegou à seguinte conclusão pertinente: Tornou-se evidente que a inserção de tais recursos gera conhecimentos mais amplos e precisos, porém exige do professor um conhecimento teórico-metodológico muito mais aprofundado sobre o assunto. Além disso, os resultados destacaram a importância da simulação e do processo de interação na educação estocástica. [13, p.6] Trabalhos recentes mostram a relevância de usarmos o computador, ou da computação simbólica, no ensino de Probabilidade: Graças à abundância de computadores de baixo custo, agora temos a oportunidade de melhorar o ensino de matemática em uma frente vastamente mais ampla e interessante, que irá melhorar a importância da matemática aprendida pelos alunos. Por exemplo, com a ajuda do método de Monte Carlo, e programas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumir um lugar proeminente na Matemática Escolar. Nesse caso, eliminamos a opressora di culdade com os cálculos combinatórios. Além disso, medidas importantes relacionadas com a distribuição normal (de Gauss) e outras distribuições exponenciais também podem ser abordadas pelo método de Monte Carlo, tornando essa parte da matemática não mais complicada do que meras contagens. [14, p.3] (Tradução livre) 0.1 Motivação: o problema de Monty Hall O problema de Monty Hall é um problema de probabilidade muito simples, mas que é especialmente interessante pelo fato da grande maioria pessoas e matemáticos errarem sua solução. Aqui, menciono este problema como motivação para a proposta de resolver problemas de probabilidade usando simulações computacionais. Problema de Monty Hall Num programa de auditório, os participantes de um jogo recebem a opção de escolher uma dentre três portas, atrás de uma das quais há um carro, enquanto atrás das outras duas há cabras e somente o apresentador sabe o que há atrás de cada porta. O participante começa o jogo escolhendo uma das portas e, depois disso, o apresentador abre uma das portas que esconde uma cabra, deixando fechadas as outras duas; então, o apresentador pergunta ao participante se ele quer manter ou trocar de escolha, para ganhar o prêmio que estivar atrás daquela porta que ele escolher por último. A nal, é vantajoso para o participante trocar sua escolha? O Problema de Monty Hall teve ampla repercussão nos EUA no ano de 1990 após um artigo publicado na coluna Ask Marilyn da revista Parade [8, pp.51-54]. 6 A razão da repercussão foi que a solução correta (dada por Marilyn) contrariava a opinião da grande maioria das pessoas, cerca de 92% daquelas que se corresponderam com a revista dentre as quais foram contados quase mil PhDs (...), muitos deles professores de matemática [8, p.53]. O raciocínio comum é algo assim: A nal, há apenas duas alternativas: uma porta com um carro e uma porta com uma cabra, de modo que as chances do participante ganhar o carro ou a cabra 5 É incidental que podemos deduzir dessa relação de recorrência uma expressão fechada para a solução do problema; eventualmente, isso não é possível e o uso do computador torna-se muito conveniente, senão obrigatório. 6 A referência [8, pp.51-54] apresenta diversos detalhes do caso que são omitidos aqui, dentre os quais a origem do nome do problema. 3

4 são ambas iguais a 50%, independentemente dele trocar ou manter sua escolha; portanto, trocar a escolha não melhora as expectativas do participante ganhar o carro, ou seja, isso não é vantajoso (nem desvantajoso). Contudo, esse raciocínio está errado, por mais natural, claro e convincente que pareça! Dentre aqueles que se equivocaram com a solução do problema, cabe destacar o eminente matemático Paul Erdös ( ) 7 : [Ao ser informado da resposta certa,] Paul Erdös, um dos maiores matemáticos do século XX, a rmou: Impossível. A seguir, quando apresentado a uma prova matemática formal da resposta correta, ainda assim não acreditou nela, e cou irritado. Somente depois que um colega preparou uma simulação computadorizada na qual Erdös assistiu a centenas de testes que geraram um resultado de 2 para 1 a favor da mudança de escolha da porta, ele admitiu estar errado. [8, p.54] O caso de Paul Erdös e dos leitores da revista Parede com o Problema de Monty Hall mostra como nossa intuição pode errar na estimativa de probabilidades, bem como ilustra que as simulações computacionais podem nos ajudar a compreender melhor o assunto. 1 Brevíssima Introdução às Probabilidades Probabilidade é um conceito matemático que de ne uma medida para a possibilidade de ocorrência de eventos aleatórios. O conceito é caracterizado de modo bastante geral e rigoroso pelos Axiomas de Kolmogorov ( ), mas numa ampla variedade de casos é su ciente considerar uma concepção mais antiga e restrita que remonta a Cardano ( ) e Laplace ( ) na qual o espaço amostral se decompõem em eventos elementares igualmente prováveis. Apresentamos aqui somente a de nição de probabilidade e sua interpretação frequentista; para detalhes, indicamos o livro elementar [9]. De nição 1.1 (Probabilidade) Uma probabilidade é uma função P : S (U)! R de nida na classe S (U) dos subconjuntos de um conjunto não-vazio U (chamado espaço amostral) que toma valores em R e cumpre as seguintes condições: P (E) 2 [0; 1] ; 8E U; P (;) = 0; P (U) = 1; Aditividade: A; B 2 U; A \ B = ; P (A [ B) = P (A) + P (B) : O conceito de probabilidade possui diversas interpretações, uma delas sendo a interpretação frequentista ou interpretação objetiva [6], a qual se baseia na noção de experimentos aleatórios: experimentos aleatórios são sequências de experimentos num sistema físico realizados sob condições relevantes idênticas, mas cujos resultados podem ser diferentes. 8 7 Paul Ho man fala sobre Paul Erdös em The Men Who Loved Only Numbers (tradução nossa): Erdös foi um prodígio matemático. Aos três anos ele multiplicava na cabeça números de três dígitos e aos quatro descobriu os números negativos ; em sua carreira acadêmica, ele escreveu ou colaborou em 1475 artigos acadêmicos, todos eles substanciais, e muitos dos quais monumentais. [7, p.11, p.6] 8 Aqui, sistema físico designa qualquer conjunto de objetos concretos que podem ser caracterizados por propriedades objetivas: partículas, uidos, moléculas, células, animais, plantas, pessoas, etc. Como exemplo, um sistema físico pode ser uma moeda e os experimentos aleatórios podem ser o lançamento da moeda sobre a superfície de uma mesa (com apenas dois resultados possíveis: cara ou coroa). 4

5 De nição 1.2 (Interpretação Frequentista da Probabilidade) Numa sequência nita de N experimentos aleatórios num sistema físico, a frequência relativa de um evento especi co E é de nida pelo quociente do número n E dos experimentos que tiveram resultados em E pelo número total de experimentos: n E N : A probabilidade do evento E é de nida pelo limite das frequências relativas de E, considerando uma sequência in nita de experimentos aleatórios no sistema físico: n E P (E) = lim N!1 N ; Observação 1.1 A interpretação frequentista é bastante intuitiva, mas não está isenta de problemas conceituais relacionados à própria noção de experimento aleatório e a existência do limite de frequências relativas. Para uma discussão aprofundada, recomendo [6]. No que segue, vou considerar somente espaços de probabilidade nitos nos quais todos os elementos são igualmente prováveis condição que determina uma única probabilidade: Proposição 1.1 Seja U um espaço amostral nito e P uma probabilidade em U com respeito a qual todos elementos são igualmente prováveis, i.e., P (fug) = p 0 ; 8u 2 U: Então: 9 p 0 = 1 #U e P (E) = #E ; 8E U: #U Prova. Segue diretamente da de nição de probabilidade. 9 O sinal # à esquerda de um conjunto designa o número de elementos desse conjunto. 5

6 2 Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade Preliminarmente esclareço que simulação computacional de um ensaio aleatório signi ca usar um gerador de números pseudo-randômicos para selecionar um elemento de um conjunto nito dado. A resolução computacional para o caso de um problema que se resume a determinar a probabilidade de um evento E num espaço amostral nito U no qual todos os elementos são igualmente prováveis, pode ser esquematizada em quatro etapas: i. de nir o espaço amostral U de modo adequado para realizar experimentos pseudo-ramdômicos; ii. caracterizar o evento E por um conjunto nito de propriedades em U; iii. realizar uma sequência nita N de simulações de experimentos aleatórios em U, contando o número n E de vezes nos quais os experimentos aleatórios resultam num elemento do evento E; iv. calcular a probabilidade de E pelo quociente p (E) = n E N : Podemos escrever um pseudo-algoritmo para calcular a probabilidade de E utilizando a função característica de E (viz., o teste que determina se um elemento de U pertence a E): 1 ; u 2 E; " (u) = 0 ; u 2 U n E: Denotando por Random (U) a simulação computacional de um ensaio aleatório em U, podemos escrever o algoritmo-solução do problema da seguinte forma: Algoritmo-Solucão Genérico 1: Entrada: U; E; "; N; 2: n = 0 3: Para i = 1 até i = N faça 4: Se " (Random (U)) = 1 então n = n + 1; 5: Retorne: n=n (2.1) Naturalmente, um mesmo problema pode ser resolvido por diversos algoritmos-solução diferentes, sendo eventualmente mais simples e elegantes do que esse algoritmo-solução genérico. Isso será lustrado nos exemplos. Para testar a correção do algoritmo-solução e de sua codi cação no computador, podemos calcular a probabilidade total de nida por uma partição de U a qual deve sempre ser igual a 1: se fe 1 ; :::; E m g é uma partição de U em m 2 N subconjuntos disjuntos, U = E 1 [ ::: [ E m e E i \ E j = ; 8i 6= j 2 f1; :::; mg ; então (necessariamente) p (E 1 ) + ::: + p (E m ) = 1: Observação 2.1 Destacamos que o cálculo de uma probabilidade por simulações de experimentos aleatórios não resulta no valor exato da probabilidade, mas numa aproximação cujo erro pode ser arbitrariamente reduzido aumentando o número de experimentos. Usando Estatística, podemos estimar o número necessários de experimentos para que o erro da estimativa esteja abaixo de uma margem previamente estabelecida com uma probabilidade arbitrariamente alta. Contudo, não desenvolvemos esse tópico nesta breve exposição. 6

7 3 Exemplos Nos exemplos que seguem ilustramos concretamente a proposta apresentada na seção anterior, utilizando alternativas ou adaptações do algoritmo-solução genérico. Códigos dos algoritmos-soluções escritos no software Mathematica de todos os exemplos estão registrados no Apêndice A. 3.1 Probabilidade da soma de dois dados Problema 3.1 No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade da soma dos resultados ser igual a um m 2 f1; 2; ::; 12g? Resolução Considerando que os resultados dos dados são independentes e igualmente prováveis, o espaço amostral do problema no qual todos os elementos são igualmente prováveis é dado pelo conjunto de pares ordenados (nos quais cada entrada representa um dado) U = f(a; b) ; a; b 2 f1; :::; 6gg: Com isso, podemos escrever o seguinte algoritmo-solução com estrutura similar ao algoritmo-solução genérico (2.1), onde a e b representam os dados, N é o número de simulações e k é o resultado da soma cuja probabilidade deve ser calculada: Algoritmo-Solução 1: Entrada: m; N; 2: n = 0; 3: Para i = 1 até i = N faça 4: a = Random (f1; 2; 3; 4; 5; 6g), 5: b = Random (f1; 2; 3; 4; 5; 6g), 6: Se a + b = m então n = n + 1; 7: Retorne: n=n. Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados nas execuções com N = simulações, os quais correspondem aos valores exatos das probabilidades até a segunda casa decimal (pelo menos): Soma dos dados (m) = Probabilidade (p) 0:0 0:028 0:054 0:084 0:110 0:138 0:166 0:137 0:112 0:084 0:055 0:028 7

8 3.2 Probabilidade de haver aniversários coincidentes Problema 3.2 Dado um inteiro m 2, qual é a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Resolução Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamente cada dia do ano a um número entre 1 e 365. Nesse caso, de nimos o espaço amostral do problema pelo conjunto U de todas as sequências de m números entre 1 e 365 cada termo representando o dia do aniversário de uma determinada pessoa do grupo. O evento cuja probabilidade devemos calcular é o subconjunto E de todas as sequências de U que possuem pelo menos dois termos iguais. A função característica de E associa uma sequência u 2 U ao valor 0 ou 1, respectivamente, se u não possui termos iguais ou se u possui pelo menos dois termos iguais. Algoritmo-Solução 1: Entrada: m; N; 2: U = fsequências com m números entre 1 e 365g 3: n = 0; 4: " : U! f0; 1g ; " (u) = 5: Para i = 1 até i = N faça 6: Se " (Random (U)) = 1 então n = n + 1; 7: Retorne: n=n 0 ; se u não possui termos iguais, 1 ; se u possui (pelo menos) dois termos iguais; A função característica " e este algoritmo foram programados no software Mathematica e retornou os seguintes resultados para N = simulações em cada caso: para m = 2, a probabilidade computada foi 0:0022 (o valor exato é 1=365 0:0027); para m = 3, a probabilidade computada foi 0:0089 (o valor exato é 1= = :0082); para m = 10, a probabilidade computada foi 0:1119 (o valor exato ca para o leitor determinar...). Problema 3.3 Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haver dois integrantes com aniversário no mesmo dia seja maior do que 50% (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Resolução A resolução deste problema não se resume a realizar simulações de experimentos aleatórios, mas pode ser facilmente resolvido no computador extendendo o algoritmo-solução apresentado para o Problema 1 : basta escrever um algoritmo para aplicar sucessivamente o algoritmo-solução do problema restrito para um número m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante até que o resultado ultrapasse 0:5. Denotando por F (m; N) o algoritmo-solução do Problema 1 executado para um número m de pessoas com N simulações, podemos escrever o seguintes algoritmo-solução ara este problema: Algoritmo-Solução 1: Entrada: N; 2: s = : p = 0; 4: m = 1; 5: Enquanto p < 0:5 faça m = m + 1 e p = F [m; N]; 6: Retorne m 8

9 Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou o número 23 quando executado com N = simulações para cada estimativa de probabilidade. Esse número coincide com a resposta exata, embora pareça demasiado baixo para a maioria das pessoas: Quantas pessoas deve ter um grupo para que haja uma probabilidade maior que 50% de que dois integrantes façam anos no mesmo dia (presumindo que todas as datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? A maior parte das pessoas acha que a resposta é igual à metade do número de dias no ano, ou cerca de 183. Mas essa é a resposta correta para uma pergunta diferente: quantas pessoas que façam anos em dias diferentes deve haver numa festa para que exista uma probabilidade maior que 50% de que uma delas faça anos no mesmo dia do aniversariante? Se não houver nenhuma restrição quanto a quais pessoas devem fazer anos no mesmo dia, a existência de muitos pares de pessoas que poderiam fazê-lo altera drasticamente o resultado. De fato, a resposta é surpreendentemente baixa: apenas 23. [8, p.73] 3.3 Probabilidade de um par de pessoas numa roda Problema pessoas são colocadas ao acaso numa roda. predeterminadas carem juntas? Qual é a probabilidade de duas pessoas Resolução Designamos as pessoas pelos números de 1 a 10, representando por 1 e 2 as duas pessoas predeterminadas para carem juntas. Naturalmente, podemos de nir uma disposição dessas pessoas na roda por uma permutação do conjunto dos números de 1 a 10, por exemplo (3; 5; 4; 1; 10; 7; 2; 8; 9; 6) corresponde à disposição em que a pessoa 3 ca à esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 ca à esquerda da pessoa 4 e assim sucessivamente até cheguar à pessoa 6 que ca à esquerda da pessoa 3 (fechando a roda). Desse modo, o espaço amostral do problema cujos elementos são igualmente prováveis é o conjunto das permutações dos números de 1 a 10. O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde às permutações em que os números 1 e 2 aparecem juntos ou que eles ocupem a primeira e décima posições. Com base nessas considerações, de nimos o seguinte algoritmo-solução onde PermutaRandom (U) denota a sequência correspondente a uma permutação randômica do conjunto U, A [k] designa o k-ésimo termo da sequencia A e N designa o número de experimentos aleatórios que serão realizados. Algoritmo-Solução 1: Entrada: N; 2: n = 0; 3: Para i = 1 até i = N faça 4: A = PermutaRandom (f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g) 5: Se A [1] = 1 e A [2] = 2 ou A [10] = 2, então n = n + 1; 6: Se A [10] = 1 e A [9] = 2 ou A [1] = 2, então n = n + 1; 7: Para k = 2 até k = 9 faça 8: Se A [k] = 1 e A [k 1] = 2 ou A [k + 1] = 2, então n = n + 1; 9: Retorne: n=n. Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou 0:2228 numa execução com N = simulações; ou seja, a probabilidade das duas pessoas predeterminadas sentarem juntas nas circunstâncias do problema é de 22%, aproximadamente. O resultado exato é dado por 2=9 = 0:222:::. 9

10 3.4 O problema da retirada de bolas em gavetas Problema 3.5 Um móvel tem três gavetas iguais. Em uma gaveta há duas bolas brancas, em outra há duas bolas pretas, e na terceira há uma bola branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso sem olhar a outra bola. Se a bola que tiramos é branca, qual é a probabilidade de que a segunda bola na mesma gaveta também seja branca? Resolução Representando uma bola preta por 0 e uma bola branca por 1 e considerando que as três gavetas têm igual probabilidade de serem escolhidas, de nimos o espaço amostral com elementos igualmente prováveis por U = fa; b; cg ; a = f(0; 0)g ; b = f(0; 1) ; (1; 0)g ; c = f(1; 1)g : Podemos pensar nos experimentos em duas etapas (como descreve o problema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, b ou c; se a escolha resultar em a ou c, não é necessário fazer nova escolha para determinar a cor da bola que será retirada primeiro (ela será necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c); entretanto, se o resultado da escolha da gaveta for b, então devemos realizar uma escolha aleatória em f0; 1g para determinar qual é a cor da primeira bola retirada (e também da segunda, consequentemente). Numa sequência de experimentos aleatórios em U, a informação de que a primeira retirada resultou numa bola branca é considerada simplesmente desprezando todos os casos em que os experimentos aleatórios em U resultam na gaveta a ou resultam na gaveta b com o subsequente ensaio aleatório em f0; 1g resultando em 0. Naturalmente, precisamos contar separadamente o número de experimentos válidos (aqueles que correspondem à primeira bola retirada ser branca) dos experimentos que resultam no evento cuja probabilidade pretendemos calcular (aqueles que correspondem à escolha da gaveta c). Algoritmo-Solução 1: Entrada: N; 2: n = 0; m = 0; 3: Para i = 1 até i = N faça 4: x = Random (fa; b; cg), 4: Se x = a então m = m e n = n; 6: Se x = b e Random f0; 1g = 1 então m = m + 1 e n = n; 7: Se x = c então m = m + 1 e n = n + 1; 8: Retorne: n=m. Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou os seguintes resultados em execuções para N = 1000, N = e N = simulações, respectivamente: 0:655642, 0:66338 e 0: A resposta exata do problema é 2=3 = 0:6666:::. Observação 3.1 Para uma discussão detalhada deste problema, veja [12]. 10

11 3.5 O problema da agulha Problema 3.6 Num plano marcado por linhas paralelas com linhas adjacentes separadas por uma distância xa d, calcular a probabilidade de uma agulha de comprimento c tocar numa dessas linhas quando lançada aleatoriamente sobre o plano. 10 Resolução A situação possui simetria translacional contínua ao longo da direção paralela às linhas marcadas e simetria translacional discreta em múltiplos inteiros de d ao longo da direção perpendicular à essas linhas. Portanto, para realizar as simulações podemos considerar uma faixa entre duas linhas adjacentes; usando coordenadas cartesianas, identi camos uma dessas linhas com y = 0 e a outra com y = d. Por uma análise geométrica, podemos deduzir a seguinte condição necessária e su ciente para uma agulha de comprimento c intersectar uma linha da malha, considerando que ela caia no plano com base num ponto (x; y) com 0 y d e com ângulo de inclinação 2 [0; 2] em relação ao eixo-x: (sin 0 e y + c sin () d) ou (sin () 0 e y + c sin () 0) : Com base nesta condição, podemos simular o lançamento da agulha simulando as posições da sua base entre as linhas e sua orientação em relação a direção das linhas, para então veri car se a agulha corta ou não uma das linhas. Algoritmo-Solução 1: Entradas: d, c, ; 2: N = 1000 ("número de simulações") 3: d = 2 ("distância entre linhas paralelas adjacentes") 4: c = 1 ("comprimento da agula") * ("Função que identi ca se a agula intersecta uma linha:") 5: F (y; ) = Se ((sin 0 e (y + c sin () d) ou (sin () 0 e (y + c sin () 0))) então 1, senão 0; 6: n = 0 ("variável para contagem de resultados favoráveis") 7: Para k = 1 até k = N faça 8: y = Random ([0; d]), 9: = Random ([0; 2]), 10: Se F (y; ) = 1, então n = n + 1; 11: Retorne: n=n. Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou para os parâmetros c = 1 e d = 2 a probabilidade 0:31718 numa execução com N = simulações; ou seja, a probabilidade de uma agulha de 1 cm lançada ao acaso no plano intersectar uma linha numa malha de linhas paralelas separadas por uma distância d = 2 cm é aproximadamente igual a 0: O valor exato é p = 2c= (d) 0:31831, para c = 1 e d = Veja em [5] fatos históricos e a solução analítica do problema, bem como outros problemas de probabilidade geométrica e uma discussão sobre o ensino-aprendizagem deste tópico. 11

12 4 Exercícios/Problemas Problema 4.1 Qual é a probabilidade de que duas pessoas escolhidas ao acaso façam aniversário no mesmo dia (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Problema 4.2 Alice e Bob lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a probabilidade do resultado de Alice ser maior ou igual ao resultado de Bob? Problema 4.3 Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em 5 cartões diferentes e colocados numa urna. Retira-se aleatoriamente da urna 5 cartões em sequência e escreve-se um número natural de 5 algarismos com a correspondente sequência de algarismos. i. Se houver reposição dos cartões, qual é a probabilidade de que o númereo obtido seja par? ii. Se não houver reposição dos cartões, qual é a probabilidade de que o número obtido seja par? Problema pessoas são separadas em 2 grupos de 5 pessoas cada um, uma delas se chama Alice e outra Bob. i. Qual é a probabilidade de que Alice e Bob façam parte do mesmo grupo? ii. Qual é a probabilidade de que Alice e Bob não façam parte do mesmo grupo? Problema homens e 5 mulheres sentam-se aleatoriamente em 10 cadeiras dispostas em círculo. i. Qual é a probabilidade de os homens e as mulheres se sentarem em lugares alternados? ii. Qual é a probabilidade das mulheres se sentarem juntas? Problema 4.6 Dado um inteiro n > 0, n bolas são colocadas aleatoriamente em n urnas. i. Qual é a probabilidade de que uma urna que vazia? ii. Qual é a probabilidade de que exatamente uma urna que vazia? Problema 4.7 Num armário com n pares de sapatos são retirados p pés de sapato. i. Qual é a probabilidade de que tenham sido retirados k pares de sapatos, pelo menos? ii. Qual é a probabilidade de que tenham sido retirados k pares de sapatos, exatamente? Problema 4.8 Uma prova contém 15 questões e cada questão contem 5 alternativas, com apenas uma delas sendo correta. Se um candidato chutar todas as questões, qual é sua probabilidade de zerar a prova? Veja em [4] uma resolução analítica do problema, além de outras questões relacionadas. 12

13 Problema 4.9 Dois amigos querem decidir quem pagará a conta do restaurante com uma aposta. Cada um deles escolhe uma seqüência de três caras ou coroas, e eles jogam uma moeda até que saia uma das duas seqüências: aquele que tiver escolhido a primeira seqüência a sair ganhou a aposta. Por exemplo, André (por ser o primeiro em ordem alfabética) é o primeiro a escolher e ca com a seqüência ckc (em que c representa cara e k coroa) enquanto Bernardo responde com cck. Eles jogam a moeda obtendo kckkckkkkccck, e neste momento Bernardo declarase o vencedor. Esta aposta é justa? André leva vantagem ou desvantagem por ser o primeiro a escolher? Quais são as probabilidades de vitória de cada um? 12 Problema 4.10 Num programa de auditório, Eugênio foi sorteado e tem direito a um prêmio, mas ele deve escolher entre dois envelopes lacrados aparentemente iguais. O apresentador informa que cada envelope tem um cheque e que o valor de um cheque é o dobro do outro, mas não diz nada sobre o valor dos cheques, nem indica qual envelope contém o cheque de maior valor. Eugênio escolhe e abre um envelope que contém um cheque de, digamos, R$ 100. Neste momento, o apresentador sempre faz uma proposta ao convidado: ele pode trocar de envelope mediante uma multa de 5% do valor do cheque que ele tem em mãos, no caso, R$ 5. Assim, se Eugênio aceitar, ele pode ganhar R$ 45 (se o cheque no segundo envelope for de R$ 50) ou R$ 195 (se o outro cheque for de R$ 200). Suponhamos que Eugênio (que fez um curso de Introdução à Probabilidade no período anterior) queira maximizar o valor esperado de seu prêmio. Ele deve aceitar a troca? E se o valor do primeiro cheque tivesse sido outro, de que forma deveria isto in uenciar a decisão de Eugênio? Se Eugênio trocar de envelope independentemente do valor do cheque, não vale mais a pena para ele trocar de envelope antes de abrir, evitando, assim, a multa? Para uma discussão detalhadas deste problema, veja [12]. 13 Para uma discussão detalhada veja [12]. 13

14 A Códigos no Mathematica Observações: Os algoritmos apresentados aqui foram escritos e executados no Mathematica 9.0. Como N denota uma função prede nida no Mathematica, todas as suas ocorrências nos algoritmossolução apresentados no texto foram substituidos por s nas programações. O comando Print foi usado para documentar o resultado dos cálculos, bem como para servir de comentário no corpo dos algoritmos. A.1 Problema 3.1 Código do algoritmo-solução do problema da seção 3.1: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade da soma dos resultados ser igual a um m 2 f1; 2; ::; 12g? Print["ENTRADA..."] Print["Soma dos dados m:"] m = 12 Print["Número de simulações:"] s = n = 0; (* variável para contar o número de resultados favoráveis *) For[k = 1, k <= s, k++, a = RandomInteger[{1, 6}]; b = RandomInteger[{1, 6}]; If[a + b == m, n = n + 1] ] Print["SAÍDA: probabilidade da soma dos dados ser m:"] n/s N[n/s] (* representação decimal *) Um algoritmo mais elaborado nos permite obter todas as probabilidades simultaneamente. Para tanto, considero duas sequências de 12 termos para contar as ocorrências dos eventos e calcular suas probabilidades, cada termo correspondendo a um determinado evento. Neste algoritmo, k-ésimo termo da sequência C conta as ocorrências do evento soma dos dados igual a k, enquanto o k-ésimo termo de P é a frequência relativa desse evento (k 2 f1; 2; :::; 12g); além disso, o algoritmo possui comandos para imprimir uma lista e um grá co dos resultados, bem como executa o teste da probabilidade total: Print["ENTRADA: número de simulações:"] s = (* número de lances dos dados A e B *) Print["Contagem das frequências absolutas dos eventos:"] Cont = Table[0, {k, 12}]; For[k = 1, k <= s, k++, A = RandomInteger[{1, 6}]; B = RandomInteger[{1, 6}]; Cont[[A + B]] = Cont[[A + B]] + 1 ] Cont Print["SAÍDA: Frequências relativas dos eventos (sequência e plotagem):"] P[k_] := Cont[[k]]/s Prob = Table[N[P[k]], {k, 1, 12}] ListPlot[Prob] Print["Teste da probabilidade total:"] Sum[Prob[[k]], {k, 1, 12}] 14

15 A.2 Problema 3.2 Código do algoritmo-solução do problema 3.2 da seção 3.2: Dado um inteiro m 2, qual é a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoas que fazem aniversário num mesmo dia (supondo que todas as possíveis datas de aniversário sejam igualmente prováveis)? Print[ "Função característica do evento de interesse:"] n[epsilon][l_] := Module[{v = 0}, j = 1; While[((v == 0) n[and] (j < Length[L])), i = j + 1; While[((v == 0) n[and] (i <= Length[L])), If[L[[i]] == L[[j]], v = 1]; i++]; j++]; v ] Print[ "ENTRADA..."] Print["Número de pessoas no grupo:"] m = 10 Print["Número de simulações:"] s = n = 0 (* variável que conta o número de resultados favoráveis *) For[k = 1, k <= s, k++, If[n[Epsilon][RandomInteger[{1, 365}, m]] == 1, n = n + 1] ]; Print["SAÍDA: probabilidade:"] n/s N[n/s] Código do algoritmo-solução do problema 3.3 da seção 3.2: Print["ENTRADA: número de simulações:"] s = p = 0 ;(* variável auxiliar *) m = 1; While[p < 1/2, m = m + 1; n = 0; (* variável que conta o número de resultados favoráveis *) For[k = 1, k <= s, k++, If[n[Epsilon][RandomInteger[{1, 365}, m]] == 1, n = n + 1] ]; p = n/s; ] Print["SAÍDAS"] Print["Número de pessoas num grupo:"] m Print["Correrespondente probabilidade de haver aniversários coincidentes:"] p 15

16 A.3 Problema 3.3 Código do algoritmo-solução do problema da seção 3.3: 10 pessoas são colocadas ao acaso numa roda. Qual é a probabilidade de duas pessoas predeterminadas carem juntas? Print["ENTRADA: número de simulações"] s = n = 0; (* variável que conta os resultados favoráveis *) For[k = 1, k <= s, k++, A = RandomSample[Range[10]]; If[(A[[1]] == 1 n[and] (A[[2]] == 2 n[or] A[[10]] == 2)), n = n + 1]; If[(A[[10]] == 1 n[and] (A[[9]] == 2 n[or] A[[1]] == 2)), n = n + 1]; For[i = 1, i <= 9, i++, If[(A[[i]] == 1 n[and] (A[[i-1]] == 2 n[or] A[[i+1]] == 2)), n = n+1] ] ] Print["SAÍDA: probabilidade"] n/s A.4 Problema 3.4 Código do algoritmo-solução do problema 3.4: Um móvel tem três gavetas iguais. Em uma gaveta há duas bolas brancas, em outra há duas bolas pretas, e na terceira há uma bola branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso sem olhar a outra bola. Se a bola que tiramos é branca, qual é a probabilidade de que a segunda bola na mesma gaveta também seja branca? Print["ENTRADA: Número de simulações:"] s = m = 0; (* variável para contagem de experimentos válidos *) n = 0; (* variável para contagem de resultados favoráveis *) For[k = 1, k <= s, k++, G = RandomInteger[{1, 3}]; If[G == 2 n[and] RandomInteger[{0, 1}] == 1, m = m + 1]; If[G == 3, m = m + 1; n = n + 1] ] Print["SAÍDA: Probabilidade"] n/m 16

17 A.5 Problema 3.5 Código do algoritmo-solução do problema da seção 3.5: Num plano marcado por linhas paralelas com linhas adjacentes separadas por uma distância xa d, calcular a probabilidade de uma agulha de comprimento c tocar numa dessas linhas quando lançada aleatoriamente sobre o plano. Print["DADOS DE ENTRADA..."] Print["Distância entre linhas paralelas adjacentes:"] d = 2 Print["Comprimento da agulha:"] c = 1 Print["Número de simulações:"] s = (* Função que identifica se a agula intersecta uma linha *) F[y_, n[theta]_] := If[ ((Sin[n[Theta]] >= 0) n[and] (y + c*sin[n[theta]] >= d)) n[or] ((Sin[n[Theta]] <= 0) n[and] (y + c*sin[n[theta]] <= 0)), 1, 0] (* Simulações *) n = 0; For[i = 1, i <= s, i++, y = RandomReal[{0, d}]; n[theta] = RandomReal[{0, 2*n[Pi]}]; If[F[y, n[theta]] == 1, n = n + 1] ]; Print["SAÍDA: probabilidade"] n/s N[n/s] 17

18 Referências [1] C. Batanero et. al.: Using simulation to bridge teacher s content and pedagogical knowledge in probability. In: 15th International Comission ond Mathematics Instruction Study. Águas de Lindóia, Brazil. Proceedings... Águas de Lindóia: ICMI, p.1-6. URL: Acesso em 15/07/2011. [2] Marcelo de C. Borba, R.S.R. da Silva e G. Gadanidis: Fases das Tecnologias Digitais em Educação Matemática. Editora Autêntica: Belo Horizonte, [3] F. Le Calvez, H. Giroire, G. Tisseau: Design of a Learning Environment in Combinatorics based on Problem Solving: Modeling Activities, Problems and Errors. International Journal of Arti cial Intelligence in Education Vol.18, No.1, p.59-94, [4] Lúcio Fassarella: A resposta é plausível? Comentários baseados em um cálculo de probabilidades. Revista do Professor de Matemática no.70 (2009): p.1-5. [5] Hellen F. Gondin.: Probabilidade e Probabilidade Geométrica: Conceitos e Exemplos Aplicáveis no Ensino Básico. Trabalho de Conclusão de Curso. Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia CCET/UFMS: Campo Grande - MS, URL: Acesso em 27/03/2015. [6] Alan Hájek: Interpretations of Probability. In: Edward N. Zalta (ed.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2012 Edition). URL: < [7] Paul Ho man: The Men Who Loved Only Numbers: the story of Paul Erdös and the search for mathematical truth. Fourth State Limited: Great Britain, [8] Leonard Mlodinow: O Andar do Bêbado: como o acaso determina nossas vidas. Zahar: Rio de Janeiro, [9] Augusto C.O. Morgado, João B.P. de Carvalho, Paulo C.P. Carvalho, Pedro Fernandez: Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios - 7a. edição. SBM: [10] L. O. Souza: A Educação Estatística no Ensino Fundamental e os recursos tecnológicos. Dissertação de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática. Instituição Educacional São Miguel Paulista, Universidade Cruzeiro do Sul: São Paulo, [11] C.E. Lopes, L. de Oliverita Souza: O Uso de Simuladores e a Tecnologia no Ensino da Estocástica. Bolema v. 24, n. 40 (2011). URL: Acesso em 30/03/2015. [12] Nicolau Corção Saldanha.: Como perder amigos e enganar pessoas. Revista Eureka!, v. 1 (1998): URL: Acesso em 13/04/2015. [13] L. O. Souza: A Educação Estatística no Ensino Fundamental e os recursos tecnológicos. Dissertação de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática. Universidade Cruzeiro do Sul: [14] J.J. Uhl and D. Woods: The crisis we face and how to try to deal with it. In: S. Li, D. Wang, J.-Z. Zhang: Symbolic Computation and Education. Singapure: World Scienti c, 2007: Chapter 1. 18