Instituto de Matemática e Estatística, UFF Março de 2011

Transcrição

1 ,,,,, Instituto de Matemática e Estatística, UFF Março de 2011

2 ,, Sumário,,. finitos,. conjunto: por lista, por propriedade.. Igualdade,. Propriedades básicas..

3 ,, Christos Papadimitriou, Autor dos livros Elementos da Teoria da Computação, Otimização Combinatória: e complexidade, Complexidade Computacional, entre outros. Prêmio Knuth, em 2002 for longstanding and seminal contributions to the foundations of computer science.

4 ,,, Os conceitos, ser um conjunto e ser um elemento de um conjunto são considerados como primitivos, i.e., não são definidos formalmente. O nosso entendimento sobre eles é guiado pela familiaridade e a intuição que temos sobre e elementos.

5 ,,, de elementos Um problema é que a nossa intuição sobre elementos e, geralmente, está errada! Por exemplo, podem ser elementos. Podemos considerar o conjunto dos alunos da Turma A2 da disciplina Matemática Discreta. Cada um dos alunos que compõem a turma é um elemento deste conjunto. Bruno é um elemento deste conjunto. Podemos considerar o aluno Bruno como um conjunto de órgãos. Coração é um elemento de Bruno.

6 ,,, de Esta situação é, na verdade, corriqueira. Podemos considerar o conjunto das pastas da pasta Meus documentos do desktop da Profa. Renata. Cada pasta armazenada nesta pasta é um elemento deste conjunto. Assim, um mesmo objeto pode tanto ser considerado como um elemento ou um conjunto, dependendo do contexto.

7 ,, Notação, Bruno Turma A2 Jogos Meus Documentos notação a b a b a b a b leitura a é elemento de b a pertence a b a não é elemento de b a não pertence a b

8 ,,, finitos Um conjunto é finito se possui um número (natural) bem determinado de elementos. O conjunto cujo único elemento é o time carioca que já foi campeão mundial. O conjunto das células de memória deste computador. O conjunto dos grãos de areia da praia de Copacabana. O conjunto dos átomos do universo.

9 ,,, Um conjunto é infinito se quando retiramos qualquer quantidade finita de elementos dele, ele continua tendo elementos. O conjunto dos números naturais. O conjunto dos números racionais. O conjunto dos pontos do Plano Cartesiano. O conjunto das curvas que podemos desenhar no espaço.

10 ,,, Um conjunto é denotado pela apresentação de sua definição entre chaves: {, }. Vamos estudar duas maneiras de definir um conjunto: por lista ou indicação de uma lista, por propriedade.

11 ,, Definição por lista Para definir um conjunto por lista, apresentamos uma lista dos nomes dos elementos do conjunto.,

12 ,,, Notação Um conjunto definido por lista é denotado pela apresentação dos nomes dos seus elementos separados por vírgulas e encerrados entre chaves. Meus Documentos = {Artigos, Orientações, Aulas, Apresentações, Projetos}

13 ,,, Definição por indicação de lista A definição por lista é adequada apenas para finitos pequenos. No caso de finitos grandes ou de, podemos apresentar uma indicação da lista dos elementos do conjunto.

14 ,,, Notação Um conjunto definido por indicação de lista é denotado pela apresentação dos nomes de alguns dos seus elementos separados por vírgulas e encerrados entre chaves e são usadas reticências para substituir os nomes de elementos do conjunto que não são listados. Devem ser listados nomes de elementos em quantidade suficiente para que o leitor possa inferir quais nomes foram substituídos pelas reticências. D = {Andre, Bruno, Carlos, Daniel,..., Walter}

15 ,,, Notação No caso de, podem ser usados nomes genéricos que indiquem a forma dos elementos do conjunto. N = {0, 1, 2,..., n,...} P = {0, 2, 4,..., 2n,...} Há ainda outras formas mais complicadas, dependendo do que se passa na cabeça do autor da definição do conjunto.

16 ,,, Definição por propriedade Para definir um conjunto por propriedade, devemos apresentar um conjunto universo e uma propriedade que se aplica a elementos desse universo. Os elementos do conjunto definido são os elementos do conjunto universo que possuem a propriedade.

17 ,,, Notação Um conjunto definido por propriedade é denotado do seguinte modo: {x U : P(x)}, onde U é o nome do conjunto universo e P(x) é uma especificação da propriedade, envolvendo a variável x. Apesar de ser estranho, a expressão costuma ser lida como {x U : P(x)} o conjunto dos x pertencentes a U tais que x é P.

18 ,,, Notação Outra maneira de denotar um conjunto definido por propriedade é: {x : x U e P(x)}, ou ainda de formas mais complicadas, dependendo do que se passa na cabeça do autor da definição do conjunto. Por exemplo, o conjunto também pode ser denotado por P = {x N : x é par} P = {x : existe y N tal que x = 2y} ou, ainda, por P = {2y : y N}

19 ,,, Do ponto de vista da matemática, os mais importantes são: N, o conjunto dos números naturais. Z, o conjunto dos números inteiros. Q, o conjunto dos números racionais. R, o conjunto dos números reais. C, o conjunto dos números complexos. Observe que todos estes são.

20 ,,, Pré requisitos Assumimos como conhecidas todas as propriedades dos, que são abordadas no Ensino Médio. Isso não significa que você tem que saber todas elas de cor mas, sim, que você deve estar preparado para usá-las e não ter medo de fazer isso, quando for preciso.

21 ,,, Igualdade A relação de ntre é regulada pelo seguinte princípio: Princípio da Extensionalidade Dois são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Por exemplo, considere os : A = {x Z : x é natural}, B = {x Z : x é soma de 4 quadrados}. Temos que A e B são iguais.

22 ,,, notação leitura = é igual a para todo pertence se, e somente se Tradução Em símbolos: A = B se, e somente se, x(x A x B).

23 ,,, Ordem e repetições Para saber se dois A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos de A e de B. Não importa a ordem em que os elementos são apresentados. {1, 2, 3} = {3, 2, 1} Não importa se há repetição na apresentação dos elementos. {1, 2, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 3, 3}

24 ,,, Representações e universos Não importa a maneira como os elementos são apresentados. {1, 2, 2, 2, 3} = {3, 3, 4, 1} Não importa o universo em que os objetos são tomados. {x N : 1 < x < 3} = {x R : x 2 4x + 4 = 0}

25 ,,, Propriedades básicas da igualdade Estamos interessados nas propriedades da igualdade que valem para todos os, independente da natureza dos seus elementos. Para todos os A, B e C, para todos os objetos x U, temos que: (1) A = A. (2) Se A = B, então B = A. (3) Se A = B e B = C, então A = C. (4) Se A = B e x A, então x B. Se A = B e A C, então B C.

26 ,, Verificando igualdades Como verificar se dois dados A e B são iguais?, {x Z : x é soma de 3 quadrados} = N? Verificando se: todo elemento de A é também elemento de B, todo elemento de B é também elemento de A.

27 ,,, Inclusão Definição Sejam A e B. Dizemos que A está contido em B se, e somente se, todos os objetos que são elementos de A são também elementos de B. Por exemplo, o conjunto das pessoas com deficiência está contido no conjunto dos seres humanos.

28 ,,, notação leitura está contido em para todo pertence = se... então Tradução Em símbolos: A B se, e somente se, x(x A = x B).

29 ,,, notação a b a b a b a b Notação leitura a está contido em b a é subconjunto de b a não está contido em b a não é subconjunto de b Observe a semelhança entre o símbolo, utilizado quando comparamos números, e o símbolo, utilizado quando comparamos.

30 ,,, Propriedades básicas da Estamos interessados nas propriedades da que valem para todos os, independente da natureza dos seus elementos. Para todos os A, B e C, temos que: (1) A A. (2) Se A B e B A, então A = B. (3) Se A B e B C, então A C. (4) Se A = B e C A, então C B. Se A = B e A C, então B C.

31 ,,, Uma propriedade que falta Observe que as propriedades listadas da relação, sobre, são inteiramente análogas a propriedades da relação, sobre números. Mas, neste contexto, a semelhança pára por aí. Por exemplo, para números, vale x, y(x y ou y x), mas existem A e B tais que A B e B A. Por exemplo, os A = {1} e B = {2}.

32 ,,, Problemas Um problema computacional é uma questão geral a ser respondida, possuindo determinado parâmetros. Por exemplo, multiplicar duas matrizes, determinar se um número natural é primo.

33 ,,, Especificações Um problema é especificado quando damos (1) uma indicação dos parâmetros considerados no problema, (2) o universo no qual os parâmetros tomam valores e (3) a questão a ser respondida. Por exemplo: O problema da multiplicação de matrizes pode ser especificado como: Dados: Duas matrizes A e B de números reais, tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; Questão: Calcular o produto AB. O problema dos números primos pode ser especificado como: Dados: Um número natural n, não nulo e maior do que 1; Questão: n é primo?

34 ,,, Problemas de decisão Um problema é de decisão quando a questão pode ter como resposta sim ou não. Multiplicar matrizes não é um problema de decisão. O problema de determinar se um número natural é primo é de decisão.

35 ,,, Algoritmos Um algoritmo que resolve um problema de decisão é um procedimento que sempre pára e responde corretamente com sim ou não à questão do problema, para quaisquer dados de entrada. Você conhece um algoritmo para multiplicar duas matrizes? Você conhece um algoritmo para determinar se um número é primo?

36 ,,, Exercício Problemas de Projetar para decidir se A B, nos casos em que A e B são apresentados como segue. A B A B? listagem listagem Algoritmo? listagem propriedade Algoritmo? propriedade listagem Algoritmo? propriedade propriedade Algoritmo? Escrever os o mais detalhadamente possível, usando as notações introduzidas nesta aula.

37 ,,, 1. Exercícios do Capítulo 1 do Menezes Mais exercícios (Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006). 2. Exercícios do Capítulo 2, pp , itens 1, 3 e 9, do Scheinerman (E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006). 3. Exercícios da Lista 1.