UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 3-ESTATÍSTICA II (CE003) Prof. Benito Olivares Aguilera 2 o Sem./17 MODELOS DISCRETOS. 1. Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda honesta. a) Desenhe o gráfico da função de distribuição (acumulada) de X. b) Calcule as seguintes probabilidades, utilizando a função distribuição: PP( 2 < XX 3), PP(1 < XX < 3), PP(2 XX 8), PP(1 XX < 3). OBSERVAÇÃO: PP(aa < XX bb) = FF(bb) FF(aa), PP(aa XX bb) = FF(bb) FF(aa ), PP(aa < XX < bb) = FF(bb ) FF(aa), PP(aa XX < bb) = FF(bb ) FF(aa ), sendo FF(aa ) o limite pela esquerda de FF(xx) no ponto aa. 2. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por 50.000 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias. 3. O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: T 2 3 4 5 6 7 p 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 a) Obter F(t), a função distribuição (acumulada) da v.a T. b) Calcule o tempo médio de processamento. Suponha agora que para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade monetária), mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 1,00 u.m. c) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a G: quantia em u.m. ganha por peça. 4. Se X: b(n,p), sabendo-se que E(X)=12 e σ 2 =3, determinar: a) n b) p c) P(X<12) d) P(X 14)
e) E(Z) e Var(Z), onde Z=(X-12)/ 3 f) P(Y 14/16), onde Y=X/n g) P(Y 12/16), onde Y=X/n 5. Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de 8 chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: a) 10 ou mais chamadas; b) Menos do que 9 chamadas; c) entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive). 6. Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem maior probabilidade de ser sorteado? 7. Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.00 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha: a) nenhum corte? b) no máximo dois cortes? c) pelo menos dois cortes? 8. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se 10 itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson, e compare os resultados. 9. O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ=2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? b) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? 10. Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com 1.000 peças. É uma característica da fabricação produzir 10% defeituosos. Normalmente, cada caixa é vendida por 13,50 u.m. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa tiver 0 defeituoso, ele paga 20,00 u.m.; 1 ou 2 defeituosos, ele paga 10,00 u.m.; 3 ou mais defeituosos, ele paga 8,00 u.m. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? (Justificar estatisticamente.). 11. Num teste tipo certo-errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responde ao acaso? 12. Repita o problema anterior, considerando cinco alternativas para cada questão. 13. Em um experimento binomial com 3 provas, a probabilidade de exatamente 2 sucessos é 12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Encontre p. 14. Um dia de pescaria você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago novamente. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que 2
desses peixes haviam sido marcados por você. Se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes, encontrar dois peixes marcados? Para que valor de k essa probabilidade é máxima? MODELOS CONTÍNUOS. 15. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a.com distribuição uniforme no intervalo de 150 a 300. Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C1 u.m. Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 200 o, o produto obtido é vendido a C2 u.m.; se a temperatura for superior a 200 o, o produto é vendido a C3 u.m. a) Fazer o gráfico da função densidade de probabilidade de T. b) Qual o lucro médio esperado por galão? 16. Se X~U(-1/2,1/2), calcule E(X-1/2) 2. 17. Se X~N(10, 4) calcular: a) P ( 8 < X < 10), (R:0.34) b) P ( 9 X 12), (R: 0.53) c) P ( X >10), (R: 0.5) d) P ( X < 8 ou X > 11). (R: 0.47) 18. Na distribuição X~N(100, 100), encontre: a) P ( X <115), (R: 0.933) b) P ( X 80), (R: 0.977) c) P ( X 100 10), (R: 0.6827) d) o valor de a, tal que P ( 100 a X 100 + a) = 0,95. (R: 19.6) 19. As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500 e desvio padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada? (R: 0.023) 20. As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1,65 cm? b) Qual o intervalo simétrico em torno da média, que conterá 75% das alturas dos alunos? 21. Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas?
22. O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem uma distribuição que pode ser considerada como N(0,6140; (0,0025) 2 ). O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro, sendo que T=0,10 se a esfera é boa (0,6100<X<0,6180); T=0,05 se a esfera é recuperável (0,6080<X<0,6100) ou (0,6180<X<0,6200); T=-0,10 se a esfera é defeituosa (X<0,6080 ou X<0,6200). Calcular: a) as probabilidades de as esferas serem boas, recuperáveis e defeituosas. b) E(T). 23. Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de 1.000 horas) que é considerado uma v.a. contínua com f.d.p. ( ) = x f x e, x > 0. Suponha que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de venda seja 5,00 u.m. O fabricante garante total devolução se x 0,9. Qual o lucro esperado por item? (R: 0.033) 24. Seja Y com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,4. Determinar a aproximação normal para: a) P ( 3 < Y < 8), (R: 0.6136) b) P ( Y 7), (R: 0.0537) c) P ( Y < 5). (R: 0.6255) 25. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 itens ao acaso; se 10% dos itens do lote são defeituosos, calcular a probabilidade de 12 itens serem defeituosos. Use a aproximação normal. (R:0.1043) 26. As notas de Estatística dos alunos de uma determinada universidade distribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui graus A, B e C da seguinte forma. Nota X<5 5 x <7,5 7,5 x 10 Grau C B A Em uma classe de 80 alunos, qual o número esperado de alunos com grau A? B? e C? (R: 7, 70 e 3) 27. O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a. com distribuição normal de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média de mais de 0,03 cm, ele é vendido por 5,00 u.m. ; caso contrário, é vendido por 10,00 u.m. Qual o preço médio de venda de cada anel? (R: 9.34) 28. Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
1 kx 4 ( 1 f x) = ke, x > 0 4 Com k sendo 1 ou 2, dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. Sabe-se que dentre os clientes que se utilizam do Internet Banking, a porcentagem dos que são classificados como pessoa física é estimada em 20%. a) Sendo pessoa jurídica, qual a probabilidade de ficar conectado menos de 6 minutos? b) Em média, que tipo de cliente fica mais tempo conectado? c) Qual a probabilidade de um cliente ficar mais de 2 minutos conectado? d) Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual a probabilidade de ele ser pessoa jurídica? 29. Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo, ao acaso, para ser inspecionado. Calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.