Nota de aula 1 - Teoria da Flexão Oblíqua - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF 2o. semestre de 2010 Flávia Bastos REMAT II 1/26
Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos REMAT II 2/26
Elementos da flexão reta Plano de solicitação - P ; Eixo de solicitação ss ; Vetor momento M; Linha neutra (nn); nn ss; Flexão simétrica. Flávia Bastos REMAT II 3/26
Elementos da flexão reta Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitação vertical. Flávia Bastos REMAT II 4/26
Elementos da flexão reta Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitação horizontal. Flávia Bastos REMAT II 5/26
Elementos da flexão reta Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação vertical Flávia Bastos REMAT II 6/26
Elementos da flexão reta Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação horizontal Flávia Bastos REMAT II 7/26
Elementos da flexão reta Figure: a) Viga U com ss - vertical; b) Viga U com ss - horizontal Flávia Bastos REMAT II 8/26
Elementos da flexão reta Figure: Viga cantoneira com abas iguais em flexão reta Flávia Bastos REMAT II 9/26
Caracterização da flexão oblíqua Plano de solicitação inclinado; ss passa por G; nn não perpendicular a ss; É necessário determinar nn; Pode ocorrer mesmo em seções com dois eixos de simetria; Flávia Bastos REMAT II 10/26
Caracterização da flexão oblíqua Figure: Viga retangular em flexão oblíqua - Plano de olicitação inclinado Flávia Bastos REMAT II 11/26
Caracterização da flexão oblíqua Figure: Viga T em flexão oblíqua Flávia Bastos REMAT II 12/26
Caracterização da flexão oblíqua N = 0 Q = 0 M t = 0 (1) M 0 M = M y + M z (vetorialmente) com M y 0 e M z 0 (2) Flávia Bastos REMAT II 13/26
Deformações na flexão oblíqua Figure: Deformações na flexão oblíqua similares à flexão reta ɛ x = δdx dx = udϕ dx = udϕ ds = u ρ σ x = Eɛ x σ x = E ρ u E ρ = σ x u (3) (4) Flávia Bastos REMAT II 14/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Equilíbrio: N = M n = M s = df = udf = vdf = σ x d (5) uσ x d (6) vσ x d (7) Flávia Bastos REMAT II 15/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Figure: ituação no plano da seção Flávia Bastos REMAT II 16/26
Tensões Normais na flexão oblíqua O esforço normal na seção, neste caso, nulo: E N = df = σ x d = ρ ud = E ud = 0 (8) ρ ud = M n = ū = 0 ū = 0 (9) M n Momento estático da área da seção com relação à linha neutra; ū distância do G à linha neutra; LN é baricêntrica! Flávia Bastos REMAT II 17/26
Tensões Normais na flexão oblíqua O momento M n (em relação à linha neutra): M n = udf = uσ x d = u E ρ ud = E ρ M n I n = E ρ E ρ = σ x u u 2 d = E ρ I n (10) (11) (12) M n I n = σ x u (13) σ x = M nu I n (14) Flávia Bastos REMAT II 18/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra I n = u 2 d = (zsenβ ycosβ) 2 d (15) I n = (z 2 sen 2 β 2zysenβcosβ + y 2 cos 2 β)d (16) I n = I y sen 2 β + I zy sen2β + I z cos 2 β (17) I n = I y sen 2 β + I z cos 2 β (18) Flávia Bastos REMAT II 19/26
Tensões Normais na flexão oblíqua O momento M s (em relação ao eixo de solicitação) é nulo: M s = vdf = vσ x d = v E ρ ud = E vud = 0 (19) ρ E ρ I ns = 0 (20) I ns = 0 (21) I ns = vud Produto de inércia com relação aos eixos nn e ss. Flávia Bastos REMAT II 20/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Posição relativa: Eixo de olicitação x Linha Neutra Figure: Relação entre as coordenadas u, v e y, z v = ycosα zsenα (22) u = zsenβ ycosβ (23) Flávia Bastos REMAT II 21/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Posição relativa: Eixo de olicitação x Linha Neutra I ns = vud = (ycosα zsenα)(zsenβ ycosβ)d (24) I ns = (zysenβcosα z 2 senβsenα y 2 cosβcosα+zycosβsenα)d como I zy = 0, já que z e y são eixos principais de inércia: já que I ns = 0: (25) I ns = I z cosαcosβ I y senαsenβ (26) senα senβ cosα cosβ = I z tgαtgβ = I z (27) I y I y Flávia Bastos REMAT II 22/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer σ x = M nu I n a distribuição de tensões é plana (28) σ x = ay + bz equação do campo de tensões (29) Flávia Bastos REMAT II 23/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer Figure: Balanço entre ações internas e externas - direção z. Flávia Bastos REMAT II 24/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer M z = σ x yd = (ay +bz)yd = a y 2 d +b yzd (30) M y = σ x zd = (ay + bz)zd = a yzd b z 2 d (31) M z = ai z + bi yz (32) M y = bi y ai yz (33) [ Iz I yz I yz I y ] { a b } = { Mz M y } (34) Flávia Bastos REMAT II 25/26
Tensões Normais na flexão oblíqua Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer solução: { } [ ] { a 1 Iy I = yz Mz b Iyz 2 I z I y I yz I z M y } (35) σ x = (I ym z + I yz M y )y (I yz M z + I z M y )z I y I z I 2 yz Com eixos principais de inércia (I yz = 0): (36) σ x = (I ym z )y (I z M y )z I y I z (37) σ x = M z I z y M y I y z (38) Flávia Bastos REMAT II 26/26