Como podemos prever a evolução do preço das acções coadas na bolsa? Cláudia Nunes Philippar cnunes@mah.is.ul.p
Início da Hisória The Royal Swedish Academy of Sciences has decided o award he Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel, 1997 o Prof. Rober Meron, Harvard Univ. Prof. Myron Scholes, Sanford Univ. for a new mehod o deermine he value of derivaives.
O seu rabalho pioneiro Ambos, em colaboração com o falecido Fisher Black, derivaram uma formulação maemáica para a valorização de opções reais (fórmula de Black- Scholes) Hoje em dia os negociadores e invesidores da bolsa usam eses procedimenos para avaliar as esraégias ópimas de invesimeno em mercados financeiros. Enfim, quase sempre Nos dias acuais há ouros facores a (des)norear os mercados financeiros!
Exemplo simples Imaginemos que enho uma opção de compra: daqui a um ano posso comprar à empresa XPTO uma acção por 10 euros. O preço acual desa acção é de 9 euros. Qual o valor que eu esou disposa a dar por ese conrao? (pricing)
Opções Reais Opções de Compra (call opions) Opções de Venda (pu opions) Opções Americanas, Europeias, Exóicas Obrigações (Zero-coupon bond) vs Acções Porfólio
erminologia 10 euros: srike price (preço de exercício, ) K K 1 ano: exercise dae (daa de exercício ou mauridade) European call opion K Obrigações ( zero-coupon bonds ) In he money Hockey sick! K
Conceios imporanes Mercado: Porfolio: h = ( B, h) [ ] b, h 1 h 2... h n, h i R Long posiion: Shor posiion: b > 0 i h < 0 evenualmene, para algum i
Conceios imporanes (con.) Valor do Porfólio V h ( ) = b( ) + n h i S i ( ) Arbirage porfólio: i= 1 V h ( ) h 0 < 0, V (1) 0 w.p.1
Conceios imporanes (con.) Shor Selling Não há cusos de ransacção Compra fraccionária Mercado líquido Mercado livre de arbiragem
Aleaoridade O preço das acções de cada ipo evoluem de forma aleaória ao longo do empo Dependem de um processo esocásico Designam-se por derivados financeiros (coningen claim) S = Φ( W ) Que processo é ese??
Movimeno Browniano Um processo esocásico é um movimeno browniano se: W { W ( ), > 0} = W ( 0 ) = 0 Incremenos independenes W ( s) ~ N(0, s) Trajecórias conínuas
Um movimeno browniano é uma pura absracção! Como??? Nem conseguimos imaginar/desenhar uma rajecória! Porque
Algumas propriedades Para cada rajecória Função conínua w.p.1. Função não-diferenciável em oda a pare! Variação local ilimiada
pricing Reformulando (para opções de compra, por exemplo) objecivo é deerminar o preço do conrao juso enre ambas as pares para qq insane anes da daa de exercício, quando o preço de exercício é K π ( ) = F (, S ( )) = max [ S ( ) K,0] S = Φ( W )
Modelo Económico ds ( ) = µ (, S( )) + σ (, S( )) dw ( ) db ( ) = rb( ) d (derivados com risco vs dinheiro seguro, com axa de juro r, consane)
Comenário nº 1 σ ds( ) = µ (, S( )) + (, S( )) dw ( ) dw () deve ser inerpreado como a derivada do processo browniano. Mas como, se ese não é diferenciável w.p.1?
Comenário nº 2 σ ds( ) = µ (, S( )) + (, S( )) dw ( ) Equação diferencial esocásica (EDE) + ( s, S( s)) ds + S( ) = a µ σ ( s, 0??? 0 S( s)) dw ( s)
Comenário nº 3 + ( s, S( s)) ds + S( ) = a µ σ ( s, 0 0 S( s)) dw ( s) 0 g( s) dw ( s) Inegral esocásico, mas não é um Inegral de Riemann-Sieljes!
Modelo de Black-Scholes ds ( ) = µ S( ) + σs( ) dw ( ) db ( ) = rb( ) d µ σ - Local mean rae - volailiy
Fore volailidade faz acenuar quedas das bolsas europeias 10.10.2008-11h14 Por Eduardo Melo Paulo Whiaker/Reuers Os invesidores podem esar a anecipar maus resulados das empresas nos próximos rimesres (Público online, 10/10/2008)
Formula de Black-Scholes ) ( 2 2 (0). ) ( W e S S σ σ µ + = Enão qual é o pricing? ( ) [ ],0 ) ( max )) (, ( K S S F = = π Mov. Geomérico Browniano ) ( 2 1 ), ( 2 dw F d F F F S df S SS S σ σ µ + + + = formula de Io
Previsão do ráfego de passageiros no aeroporo de Lisboa Equação de Black-Scholes Se aplicarmos a fórmula de Io, o nosso problem consise em resolver a seguine equação diferencial deerminísica: F 1 2 2 (, s) + rsfs (, s) + s σ Fss (, s) rf s 2 (independene de S() e de!) µ (, ) = 0 Equação diferencial parcial
Fórmula de Black-Scholes Solução ÚNICA para a equação de BS: [ ( )] r( T ) d, s, σ, T, K e KsΦ[ d (, s,, T, K )] F(, s) = sφ 2 1 σ i.e., se quisermos celebrar um conrao juso no insane, para uma opção de compra com mauridade T e preço de exercício K, sendo o preço correne da acção s, devemos pagar F(,s) (arbirage free price)
Como coninua a hisória Os modelos podem ser mais complicados que o de Black-Scholes Por exemplo, em BC a dependência no processo de preços é linear. Mas pode ser de ouros ipos: Reversível na média (mean-reversion) Logarímica Ouras O problema é que eses modelos podem levar a equações diferenciais de muio difícil resolução.