e Verfcação de Códgos Objectvo: verfcar que o programa não tem erros - O erro numérco tende para zero quando o tamanho da malha / passo no tempo tendem para zero? p ( φ ) = φ φ e + αh exact - A ordem de convergênca obtda está de acordo com a ordem teórca da dscretzação? - Se não estver, descrobr porquê?! o Erro descrto por uma expansão em sére de potêncas φ Verfcação de Códgos e( φ ) = φ φ e + αh exact Quantdade local ou ntegral na malha φ exact Solução exacta do quantdade local ou ntegral e o α h p o p Erro para a malha de tamanho nulo (suposto ser ) Constante Tamanho típco da malha Ordem de convergênca obtda Se, log ( e( φ) ) p log( h ) + log( α ) e o =
Verfcação de Códgos Semelhança geométrca - Defnção do tamanho típco da malha, h l nspace = Λ = S nspace =, V nspace = 3 h h h h N = = Λ ( Ncells ) ( N ) cells ( Λ ) ( Λ ) Ncells Ncells Λ Λ = = =, Λ =, N cells N cells n space n space,, h h h h = mode ( Λ) ( Λ ) = n space ( Λmode ) ( Λ ) mode Λ n mode space Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) - Defnção do tamanho típco da malha (um únco parâmetro) requer conjuntos de malhas geometrcamente semelhantes - Para um problema -D defndo em x - Malhas geometrcamente semelhantes têm uma únca defnção da dstânca admensonal (s) em função do índce admensonal da malha (x) s = x x x x max mn mn = x, ξ = N x
Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D).8.6 s.4. Equal Cos Stret Gpf.5.5.75 Malhas semelhantes ξ.8.6 Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) s.4..5.5.75 Malhas dessemelhantes ξ Equal Stret Cos Gpf
Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) 7 6 5 N cells =Λ Λ Λ mod h h /h 4 3 3 Malhas semelhantes Grd number Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) 7 6 5 N cells =Λ Λ Λ mod h h /h 4 3 Malhas dessemelhantes 3 Grd number
Verfcação de Códgos φ exact Semelhança Geométrca (Exemplo -D) d φ = aφ para < x < dx φ( ) = φ() = = e e a a e a e x a ( a = 5) + e e a a e a e x a Conjuntos de 3 malhas com 5 Ncells 3 - Normas do erro: L e φ L Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) L [ ( )] = max( φ φ ) [ e ( φ ) ] [ e( φ) ] = = N x j= φ φ N j x N x j= j exact exact ( φ φ ) j N x exact - e o (φ), p e a obtdos com uma aproxmação de mínmos quadrados utlzando os resultados das 6 malhas mas refnadas
Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) e(φ φ) - - p=. L p=. L p=. p=. L p=. L -3 L p=. -4-5 -6-7 p=. L p=. L p=. h /h p=. L p=. L p=. h h N,,,mode Malhas semelhantes Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) e(φ φ) - - p= 3. L p=.8 L p=.9 p=.7 L p=.5 L -3 L p=.6-4 -5-6 p=.9 L p=.9 L p=.9 p=.9 L p=.9 L p=.9 h h N, -7 Malhas dessemelhantes h /h
p=.9 L p=.8 L p=.8 - φ)- p=.5 L p=.3-3 L p=.4 Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) e(φ -4-5 -6-7 p=.9 L p=. L p=. h /h p=.9 L p=. L p=.9 Malhas dessemelhantes h h Verfcação de Códgos Semelhança Geométrca (Exemplo -D) e(φ φ) - - p=.4 L p=.3 L p=.3 p=. L p=. L -3 L p=. -4-5 -6-7 p=. L p=. L p=. h /h p=. L p=. L p=. Malhas dessemelhantes h h mode
Verfcação de Códgos Em algums modelos matemátcos para aplcações prátcas, não há soluções exactas dsponíves. Por exemplo, as equações de Naver-Stokes em méda de Reynolds (RANS) acrescdas de um modelo de turbulênca não têm soluções exactas conhecdas. O Method of Manufactured Solutons (MMS) é a técnca dsponível para fazer Verfcação de Códgos quando não há soluções analítcas dsponíves. Método de Manufactured Solutons : Verfcação de Códgos. Escolher o domíno de cálculo. Escolher a solução analítca das varáves dependentes do problema 3. Substtur a solução escolhda no sstema de equações a resolver e determnar os termos fonte que garantem que a solução escolhda satsfaz o novo sstema de equações (equações orgnas + termos fonte ) (Equvalente a um campo de forças para as equações de balanço de quantdade de movmento)
/Cálculos Solução exacta não é conhecda Estmatva do erro numérco assuma habtualmente que o erro de dscretzação é domnante (requer erros teratvos duas ordens de grandeza nferores ao erro de dscretzação) Uma das técncas dsponíves para estmar o erro/ncerteza de dscretzação são os estudos de refnamento de maha Problema matemátco Estmatva da ncerteza, U, da solução numérca de uma quantdade φ para a qual a solução exacta não é conhecda Objectvo: φ U ( φ ) φ exact φ + U ( φ ) com um grau de confança de 95% U ( φ) = F e S ( φ) F S e( φ ) Factor de segurança Estmatva do erro
Erro descrto por uma expansão em sére de potêncas φ φ o δ RE α h p e( φ ) = φ φ = δ = αh o Quantdade local ou ntegral na malha Estmatva da solução exacta da quantdade local ou ntegral Estmatva do erro de dscretzação Constante Tamanho típco da malha Ordem de convergênca aparente RE p Pelo menos 3 malhas necessáras para determnar φ o, α, p X φ φ o X X φ φ = δ o RE φ3 φ h φ φ h = φ φ ( h h ) p ( h3 h ) ( h h ) p p p = h
Convergênca ou dvergênca aparente para 3 malhas com h /h =h 3 /h! φ φ Razão de convergênca: R = φ φ < R < Convergênca monotónca - < R < Convergênca osclante R > R <- Dvergênca monotónca Dvergênca osclante Equação do slde anteror só se pode usar para Convergênca monotónca 3 Exemplo I d φ = aφ para < x < dx φ( ) = φ() = Conjunto de 3 malhas com 5 Ncells 3 Semelhança geométrca requer s = x x x x max mn mn = f ( ξ ), ξ = N x
Exemplo I d φ = aφ para < x < φ( ) = φ() = dx - Determnação da solução em x=.5 - Três conjuntos de malhas com 5 Ncells 8 a) Malhas gualmente espaçadas (geometrcamente semelhantes), Equal b) Malhas com estramento (geometrcamente semelhantes), Stret c) Malhas com estramento (geometrcamente dessemelhantes), Stret N Exemplo I Equal.8 Determnaton of soluton Stret at x=.5 Stret N.6 s.4..5.5.75 ξ
φ(x=.5).98.97 Determnaton of soluton at x=.5.96.95.94.93 Exemplo I Exact Equal p=. Stret p=.9 4 6 8 4 6 h /h φ(x=..5).958 Exemplo I Exact Equal Determnaton of p= soluton. at x=.5.956.954.95 Stret p=.95 3 4 h /h
φ(x=.5).98.97 Determnaton of soluton at x=.5.96.95.94.93 Exemplo I Exact Stret p= Stret N p=.9.9 4 6 8 4 6 h /h Exemplo I.955 Determnaton of soluton at x=.5.954 φ(x=..5).953.95 Exact Stret p= Stret N p=.9.95 3 4 h /h
φ(x=..5).3 Exact Stret, 3 rd Determnaton of soluton at x=.5.3 Exemplo I.3 p= Stret, st p=.9 4 6 8 4 6 h /h φ(x=.5) Exemplo I.98 Exact Stret, 3 rd Determnaton of p=.97 soluton at x=.5.96.95 Stret, st p=.94 3 4 h /h
Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 C p = y φ.5l = x U x = U y =.5L.5L L.5L x Equações de Naver-Stokes em méda temporal de Reynolds suplementadas com modelos de vscosdade turbulenta Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 Três modelos de vscosdade turbulenta. Modelo de duas equações SST k-ω (SST). Modelo de duas equações k- kl (KSKL) 3. Modelo de uma equação Spalart & Allmaras (SPAL) Quantdade de nteresse: Coefcente de resstênca da placa C F L τ wdx = = ρu L L U x µ y y ρu L = dx
Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 conjuntos de 7 malhas ortogonas geometrcamente semelhantes com redução do espaçamento entre nós no bordo de ataque, bordo de fugo e junto à parede Mesmo número de células (5 a 949, h /h 6) e espaçamento horzontal dos nós para todas as malhas Estramentos dferentes junto à parede que mudam o tamanho da célula junto à parede Erros teratvos e de arredondamento desprezáves quando comparados com o erro de dscretzação (y + )max Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 GS GS 9 GS3 8 GS4 GS5 7 GS6 GS7 6 GS8 5 GS9 GS 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 h /h
5 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 4 (y + )max 3 3 4 h /h (y + )mean Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 GS GS 9 GS3 8 GS4 GS5 7 GS6 GS7 6 GS8 5 GS9 GS 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 h /h
5 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 4 (y + )mean 3 3 4 h /h 8 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 SST C F 3 6 4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 h /h
.9 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 C F 3.8.7 GS p=.84 GS p=.6 GS3 p=.37 GS4 p=.6 GS5 p=. GS6 p=.86 GS7 p=.74 GS8 p=.65 GS9 α h+α h GS α h+α h h /h SST.6 3 4.9 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 C F 3.8.7 GS p=.88 GS p=.9 GS3 p=.95 GS4 p=.94 GS5 p=.96 GS6 p=.94 GS7 p=.9 GS8 p=.93 GS9 p=.94 GS p=.9 h /h KSKL.6 3 4
Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 C F 3 3. GS GS7 p=. αh GS GS8 p=. αh GS3 GS9 p=.68 αh GS4 GS 3 α h+α h αh GS5 αh GS6 αh.9 SPAL.8 3 4 h /h.95 SST KSKL SPAL.9 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 949 (536 9) cells C F 3.85.8.75.7 3 4 (y + ) max
.95 SST KSKL SPAL.9 Exemplo II Escoamento sobre uma placa placa com Re= 7 949 (536 9) cells C F 3.85.8.75.7 3 4 (y + ) max Necessáro: Valdação (ASME V&V ) Procedmento ASME V&V Objectvo: Estmar um ntervalo [ E U, E + ] que contem o erro de modelação com 95% de confança o resultado de uma smulação numérca S com a ncerteza numérca a ncerteza dos parâmetros que defnem o escoamento val U val δ model o correspondente resultado expermental D com a ncerteza expermental U nput U num U D
Valdação (ASME V&V ) Procedmento ASME V&V E Erro de compação, E = S D [ E U, E + ] Objectvo: Estmar um ntervalo que contem o erro de modelação com 95% de confança U val Incerteza de valdação, U = U + U + U val D num nput val U val δ model Análse do resultado: E U val δ >> model Valdação (ASME V&V ) Procedmento ASME V&V Se δ model [ E U, E + ] E val U val for grande demas: Houston, we have a problem... E U val δ model < U val Se for acetável: U val O modelo é sufcentemente precso para a determnação da quantdade de nteresse
Valdação (ASME V&V ) - Escoamento no plano do hélce de um petrolero à escala do modelo - Ondas gravítcas desprezadas - Comparação da velocdade axal no plano do hélce - Equações RANS com modelo de vscosdade turbulenta - Incerteza dos parâmetros que defnem o escoamento gual a zero Valdação (ASME V&V ) -.3 Expermental Numérco z/l PP P -.35 -.4 -.45 -.5 -.55 -.6 Numérco U x.9.85.8.75.7.65.6.55.5.45.4.35.3.5..5. -.65 -... y/l PP
U x.9.8.7.6.5.4.3.. -. -. Valdação (ASME V&V ) Expermental SST 3 6 9 5 8 ϕ Comparação habtual U x.9.8.7.6.5.4.3.. -. -. Valdação (ASME V&V ) Expermental SST ϕ Introdução da ncerteza expermental 3 6 9 5 8
U x.9.8.7.6.5.4.3.. -. -. Valdação (ASME V&V ) Expermental SST ϕ Introdução da ncerteza numérca 3 6 9 5 8.3. Valdação (ASME V&V ) E= S-D U val =(U num +U D )/ Comparação da ncerteza de valdação com o erro de comparação U x. 3 6 9 5 8 ϕ