TÓPICOS DE MATEMÁTICA

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE COIMBRA SOLICITADORIA E ADMINISTRAÇÃO TÓPICOS DE MATEMÁTICA FUNÇÕES 2ª Parte Clara Viseu, Maria de Lurdes Vieira Baseado em: Harshbarger, Reynolds. Matemática Aplicada, administração, Economia e Ciências Sociais e Biologia. 2006.7ª edição. Mc Graw-Hill 29

5. - Funções especiais e seus Gráficos I. Função Identidade Uma função linear em que a = e b = 0, isto é, da forma y = f() = designa-se função identidade. O seu gráfico tem o seguinte aspecto: Y 4 2 y = - 2 4 - Fig. 5. Nota 5.: O declive da função identidade é a =. II. Função Constante Uma função linear em que a = 0, isto é, da forma: y = f() = b designa-se função constante. O seu gráfico tem o seguinte aspecto: Y c y = c 0 Fig. 5.2 Nota 5.2: O coeficiente angular da função constante é a = 0. 30

III. Funções Potência Toda a função do tipo y = a b, com b > 0 designa-se função potência. Eemplo 5. y =, y = 2, y = 4, y = = 2 3 3, y = = A função do tipo y = n, n N, de que são eemplo y = e y = 3, designa-se função raiz. No caso geral, a representação gráfica duma função potência y = a b, com b>0, depende do valor de b. Eemplo 5.2 Considere a função potência y = b e vejamos o aspecto da sua representação gráfica, conforme os valores considerados para b. Y Y Y y = b y = y= b b > b = b < Fig. 5.3 IV- Funções Polinomial e Racional. Função Polinomial Uma função polinomial de grau n tem a forma f() = a n n +a n- n- + +a 2 2 +a +a 0 onde a 0, a,, a n são constantes, a n 0 e n N Eemplo 5.3 f() = 4 5-3 4 + 2 - - 8 é uma função polinomial de grau 5. g() = 0,00 3-2 2 + 20 + 400 é uma função polinomial de grau 3. 3

Note que a função linear é uma função polinomial de grau e a função quadrática é uma função polinomial de grau 2.. Proporcionalidade Directa A proporcionalidade directa é um caso particular das funções polinomiais. Observemos algumas situações rotineiras com que nos deparamos: Determinar a distância, d, percorrida por um carro que se desloca a velocidade constante v no tempo t: O preço q de uma certa quantidade de pão, k, sabendo o valor unitário, p: q = k p A quantia em euros, q, dispendida em k litros de gasolina, em função da distância, d, percorrida: q = k d Em qualquer destes casos verifica-se uma propriedade importante: se o valor da variável independente (t, p ou d neste caso) dobra, o mesmo se verifica com a variável dependente (d, q neste caso); se o valor da variável independente triplica, o mesmo se verifica com a variável dependente. Duma maneira geral, se multiplicarmos a variável independente por um número real, k, o mesmo sucede com a variável dependente. Dito y y de outro modo, o quociente mantém-se constante: = k y = k, isto é, uma relação linear cujo gráfico passa pela origem das coordenadas. Uma relação deste tipo chama-se proporcionalidade directa. Diz-se que y é directamente proporcional a. À constante k chama-se constante de proporcionalidade. Verifica-se, assim, que a proporcionalidade directa é um acaso particular duma função polinomial de grau. Eemplo 5.4 As escalas das cartas geográficas são eemplo duma proporcionalidade directa 2. Função Racional Dados dois polinómios P() e Q() de graus, respectivamente, m e n, designa-se por função racional a função que pode ser escrita como o quociente dos dois polinómios: f() = P( ). Q( ) 32

Eemplo 5.5 f() = 4 4 2 3 é uma função racional e Df = R \ {-, } 2. Proporcionalidade Inversa Observemos agora as seguintes situações: O tempo, t, gasto a percorrer uma determinada distância, d, depende da velocidade média, v, do meio de transporte utilizado (d = vt) A quantidade, q, de maçãs que posso comprar com euros, depende do preço unitário, p, das maçãs; (q= = pq) p Observamos assim que, em qualquer dos casos, se mantém constante o produto das variáveis (no º caso e distância é constante e no 2º caso é a quantia de dinheiro que não se altera). Toda a função do tipo y = k y = k, 0 com k constante, representa uma relação de proporcionalidade inversa e k é a constante de proporcionalidade. Dizemos que e y são inversamente proporcionais. k Analisando a função y =, com k > 0, com auilio da sua representação gráfica (ver Fig. 5.4 (a)) verificamos que: Trata-se duma função racional, com domínio \ { 0} R ; Se fizermos variar o valor de, ao longo da recta real, quer para a direita, quer para a esquerda, o valor de y aproima-se de zero, mas sem atingir o valor nulo. Diz-se, neste caso, que o eio das abcissas é uma assímptota horizontal para a função: lim f ( ) = 0 e lim f ( ) = 0 +. Se fizermos ter um valor muito próimo de zero, sem tomar o valor zero, lim f ( 0 ), caso em que a função não esta definida, verificamos que; 33

(i) se se aproimar de zero pela esquerda, y decresce indefinidamente, lim f 0 ( ) =, isto é, o eio YY é assímptota vertical unilateral da função. (ii) se se aproimar de zero pela direita, y cresce indefinidamente, lim f + 0 ( ) = +, isto é, o eio YY é assímptota vertical unilateral da função Y Y 0 0 (a) y = k, k > 0 (b) y = k, k < 0 Fig, 5.4 k Analisando a função y =, com k < 0, com auilio da sua representação gráfica (ver Fig. 5.4 (b)) verificamos que: Trata-se duma função racional, com domínio \ { 0} R ; Se fizermos variar o valor de, ao longo da recta real, quer para a direita, quer para a esquerda, o valor de y aproima-se de zero, mas sem atingir o valor nulo. Diz-se, neste caso, que o eio das abcissas é uma assímptota horizontal para a função: lim f ( ) = 0 e lim f ( ) = 0 +. 34

Se fizermos ter um valor muito próimo de zero, sem tomar o valor zero, lim f ( 0 ), caso em a função não está definida, verificamos que; (i) se se aproimar de zero pela esquerda, y cresce indefinidamente, lim f 0 função; ( ) = + isto é, a recta = 0 é assímptota vertical unilateral da (ii) se se aproimar de zero pela direita, y decresce indefinidamente, lim f + 0 função; ( ) =, isto é, a recta = 0 é assímptota vertical unilateral da V Função Definida por Partes Designa-se por função definida por partes a função que é descrita por epressões algébricas diferentes em diferentes intervalos do seu domínio. Considere os intervalos de números reais I n, n =, 2, 3,,k, tais que U k R = n= P k (). A função definida por: f() = é uma função definida por partes. ( ) ( ) P se I P2 se I 2... Pk ( ) se I Pk ( ) se I k k- I k e os polinómios Eemplo 5.7 (i) É possível que o preço de venda de um produto seja dado por uma função de custo C do produto, definida por partes. Por eemplo, o preço de venda poderia ser definido por duas equações diferentes em dois intervalos diferentes, consoante a variação do custo do produto: 3C se 0 C 20 S = f(c) =,5C + 30 se C > 20 O preço de venda de um produto que custa 5 seria f(5) = 3 5 = 45. O preço de venda de um produto que custa 25 seria f(25) =,5 25 + 30 = 67,5. 35

O gráfico desta função seria: S 00 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 20 30 40 Fig. 5.5 C (ii) A função f() = é uma função definida por partes, pois é possível escrever a função na forma f() = - se 0 se < 0 Uma função deste tipo designa-se por função módulo. A sua representação gráfica tem o seguinte aspecto: Y y = - y = 0 Fig. 5.6 36

VI Função Eponencial Seja a um número real positivo, com a > 0 e a. A função f() = a designa-se por função eponencial de base a. a) a > O gráfico duma função eponencial f() = a, com a >, tem o seguinte aspecto: Y y = a Fig. 5.7 O domínio da função eponencial é R e Im(f) = R +. A intersecção de f() com o eio das ordenadas é o ponto de coordenadas (0, ). A função não intersecta o eio das abcissas, mas aproima-se dele à medida que decresce. Diz-se que que f() tende para 0 quando decresce indefinidamente e escreve-se limf () = 0. Neste caso a recta y = 0 (eio dos ) designa-se por assímptota de f (assímptota horizontal). Eemplo 5.3 Suponha que uma cultura de bactérias tem a seguinte característica: a cada minuto, todos os microrganismos se dividem em dois novos microrganismos. Se t representar o número de minutos que passaram e y o número de microrganismos, então y = 2 t. Temos assim uma função eponencial de base 2. A sua representação gráfica terá o aspecto da fig. 5.8 e foi obtido com auílio da seguinte tabela: 37

-3-2 - 0 2 3 4 y = 2 2-3 = 8 2-2 = 4 2 - = 2 2 0 = 2 =2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 =6 Y 4 2 y = 2 2 Fig. 5.8 De notar que neste caso não tem sentido dar a t valores negativos ( t é uma variável tempo) e que y (nº de microrganismos num determinado instante) só pode tomar valores inteiros). Dizemos que a função y = 2 modela o crescimento do número de bactérias. As funções eponenciais do tipo f() = k a, k > 0 e a >, chamam-se funções de crescimento eponencial porque são usadas para modelar crescimento em diversas aplicações. Eemplo 5.4: Valor de um Investimento Se 0000 forem investidos a 6% de juros anuais, capitalizados mensalmente, então o valor I do investimento após anos é dado por: I = 0000,06 2 Determine o valor do investimento: a) Ao fim de 6 meses. b) Ao fim de anos c) Ao fim de 5 anos 38

2 a) I = 0000,06 2 ( 6 meses = ano) 2 = 0000 6,06 = 485,9 b) I = 0000 = 202.96 c) I = 0000 2,06 2,06 = 329876, 9 5 Note que o valor do investimento ao fim de 5 anos é significativamente maior que a quantia depois de ano de investimento (ao fim de um ano o investimento aumentou de 02,96, e ao fim dos 5 anos aumentou 39876, >> 5 02,96 = 50609,8). Isto é consequência do crescimento eponencial. Nas aplicações de economia e biologia utiliza-se frequentemente uma função eponencial especial : f() = e, onde e é um número irracional fio (e 2,7828 ). Como e > o gráfico de f() = e tem o mesmo aspecto que o das outras funções eponenciais com a >. b) 0 < a < Neste caso o gráfico da função eponencial tem aspecto diferente ao anteriormente descrito. Eemplo 5.5 Considere a função eponencial f() = 2. Utilizando as regras dos epoentes podemos escrever: f() = 2 = ( 2 - ) = 2 - Isto é, se f() = b, com 0 < b <, então podemos escrever a função de forma equivalente, na forma f() = a -, onde a = >. b O gráfico desta função terá o aspecto seguinte: 39

Y y = a - Fig 5. 9 As funções do tipo f() = a, ou mais geralmente do tipo f() = C a designam-se por funções de decrescimento eponencial. Para todas elas se verifica que D f = R, Im(f) = R +, e têm o eio dos como assímptota horizontal ( lim f ( ) = 0 + As funções de decrescimento eponencial surgem para modelar, por eemplo, o efeito residual duma campanha publicitária depois de terminada a campanha, ou, o efeito da inflação no poder de compra de um rendimento fio. Eemplo 5.6 O poder de compra, P, de um indivíduo que tenha uma de reforma de 300 mensais, depois de t meses com uma taa de inflação de 4%, pode ser modelada por: P = 300 e -0,04t Determine o poder de compra do individuo ao fim de: a) 5 meses b) ano a) P = 300 e -0,04 5 = 300 e - 0,2 = 325, 62 b) P = 300 e -0,04 2 = 300 e -0,48 = 85,64 De notar como o efeito da inflação, ao longo do tempo, desgasta significativamente o poder de compra. Isto ajuda a compreender a situação difícil dos pensionistas que vivem de pensões fias e de baio valor. 40

VI. Função Logarítmica. Função Inversa Para melhor compreendermos a definição de função logarítmica comecemos por definir função inversa. Considere dois conjuntos A e B, os produtos cartesianos A B e B A e duas funções f e g definidas da seguinte maneira: f: A B e g: B A a a f(a) = b b a g(b) = a Isto é, (a, b) A B e (b, a) B A, e que é possível definir as duas funções f e g. De uma maneira geral, dizemos que as duas funções f e g são funções inversas se, sempre que o par (a, b) satisfizer y = f (), o par (b, a) satisfizer y = g() e escreve-se f - () = g(). Nestas condições D g = Im(f) e Im(g) = D f. Eemplo 5.7 Considere os conjuntos A = {0,, 2, 3, 4} e B = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e a função f definida por: Assim, D f = A e Im f = {0, 2, 4, 6, 8}. Consideremos agora a função g definida por: Aqui D g = Im f e Im g = {0,, 2, 3, 4} = A. f: A B a 2 g: Im f B A a 2 A 0 2 3 4 B 0 2 4 6 8 3 5 7 Im f Fig. 5.0 4

Estas funções dizem-se inversas, e escreve-se f - () = g(). Nas funções inversas, como os valores e y estão trocados, os gráficos correspondentes são simétricos em relação à recta y =. 2. Nota Histórica Antes de surgirem as calculadoras, e posteriormente os computadores, certos cálculos, por eemplo 3,25 5, 2,75-3, 3 7, 92 eram difíceis de efectuar. A primeira calculadora, designada régua de cálculo, permitia realizar aqueles cálculos com relativa facilidade. Baseava-se nos logaritmos desenvolvidos no século VIII por John Nepier. Hoje, o uso de logaritmos como auiliar de cálculos caiu em completo desuso. Contundo, o estudo da função logaritmo é importante pelas inúmeras aplicações eistentes. 3. Definição de Logaritmo Sendo a > 0 e a, e dois números reais e y, define-se y = log a a y = e lê-se y é o logaritmo de na base a, se a y =. O logaritmos de um número,, em determinada base, a, é o número, y, a que é necessário elevar a base, a, para obter o número. O número a designa-se base e y é o logaritmo. Eemplo 5.8 Calcule: a) 8 log 2 b) 9 log 3 c) log 5 25 d) sabendo que 4 = log 2 a) Se y = log 2 8, então 8 = 2 y. Ora, sabemos que 2 3 = 8, então y = 3. b) Se y = log 3 9, então 9 = 3 y. Ora 3 2 = 9, então y = 2 c) Se y = log 25, então = 5 y. Como = 5-2, então y = -2 5 25 25 d) Se 4 = log 2, então 2 4 =, isto é, = 6 42

3.- Função logarítmica tal que a y = Para a > 0 e a, define-se função logarítmica por: f: + R R a y = f() = log a A forma y = log designa-se forma logarítmica, e a y = designa-se forma eponencial. a Eemplo 5.9 a) Escreva 64 = 4 3 na forma logarítmica b) Escreva log 4 = -3 na forma eponencial 64 a) 64 = 4 3 3 = log 4 64 b) log 4 = -3 4-3 = 64 64 Eemplo 5.0 Calcule: a) log 2 8 ; b) log 5 25 a) Seja y = log 2 8. Por definição y = log 2 8 8 = 2 y. Como 2 3 = 8, então 2 y = 2 3, isto é, log 2 8 = 3 b) Seja y = log 25. Atendendo à definição de logaritmo temos = 5 y. 5 25 Como = 5-2, então 5 y = 5-2, isto é, log 5 = -2 25 25 Como já vimos, o número a é chamado base em ambas as formas (y = log e a y = ) e y é o logaritmo em y = log e o epoente em a y =. Assim podemos dizer que o logaritmo é um epoente. a Da definição de logaritmo conclui-se que todo o logaritmo tem uma base. As mais utilizadas nas aplicações são a base 0, ou base comum, e a base e também chamada base natural. a 43

Assim: Logaritmos comuns: log = log 0 Logaritmos naturais: ln = log e Os valores das funções logarítmicas, calculam-se com auílio de calculadoras. A representação gráfica da função logarítmica f()=log a, a >, aspecto: tem o seguinte 0 a Fig. 5. Notas 5.3 A função logarítmica intersecta o eio das abcissas no ponto (, 0). D f = + R Im f = R O eio dos YY é assímptota da função ( lim f ( ) = + o ). Eemplo 5. A escala de Richter é usada para medir a intensidade de um sismo. A leitura, na escala de Richter, de sismo de intensidade I é dada por R = log ( I/I 0 ), onde I 0 é uma intensidade mínima usada como termo de comparação. a) Encontre R se I for 360000 vezes maior que I 0. b) O sismo em Portugal em 969 atingiu 6 na escala de Richter. Encontre a intensidade desse sismo. a) Se I= 360000 I 0, temos I/I 0 = 360000. Então R=log 360000, isto é, R= 6,5 b) Se R = 6 temos: 6 = log ( I/I 0 ) I/I 0 = 0 6 I/I 0 = 000000 Assim I = 000000 I 0. 44

Nota 5.4 Um aumento de n unidades na escala de Richter implica que a intensidade aumente 0 n vezes mais. ( Se num caso R = 4 e noutro caso R = 8, então no primeiro caso I/I 0 = 0 4 I= I 0 0 4 e no segundo caso I/I 0 = 0 8 I = I 0 0 8. Então a I0 0 intensidade do sismo aumentou 4 I 0 0 8 = 0 4 vezes) 3.. Propriedades dos logaritmos Vimos atrás, da definição da função logaritmo, que se y = log a então a y =, isto é, a função logarítmica é a inversa da função eponencial. Assim os gráficos destas funções são simétricos em relação à recta y =. Y y= 0 Fig. 5.2 Propriedade Para todo o real, se a > 0 e a, então Observe que se y = log a a log a a, então ay = a, isto é y = = Eemplo 5.2 Calcule: a) log 4 4 3 ; b) ln e a) log 4 4 3 = 3 ( repare que se y = log 4 4 3, então 4 y = 4 3, isto é, y = 3) b) ) ln e = ( y = ln e e y = e ) 45

Consequências: Como a = a, então log a a = Como a 0 =, então log = 0 (daí o gráfico da função logarítmica log a intersectar o eio dos no ponto (, 0) qualquer que seja a base considerada. Propriedade II Para todo o real, se a > 0 e a, então Observe que se y = log a a = log a a, então log a y = log a, isto é y =. Eemplo 5.3 Determine: a) a) log 7 3 7 ; b) e ln. log 7 3 7 = 3; b) e ln = Propriedade III Para todo o real positivo e y, se a > 0 e a, log a (y) = log a + log a y Eemplo 5.4 Determine log 3 (9 8) Resolução log 3 (9 8) = log 3 9 log 3 8 = 2 4 Como: log 3 9 = 3 = 9 = 2 log 3 8 = 3 = 3 4 = 4 então log 3 (9 8) = 2 4 = 8 Propriedade IV Para todo o real positivo e y, se a > 0 e a, log a (/y) = log a - log a y 46

Eemplo 5.5 6 Tendo em conta que log 6 =,204 e log 5 = 0,6990, determine log. 5 6 log = log 6 log 5 =,204-0,6990 = 0,505 5 Propriedade V Se a > 0 e a, y + R e n N, então log a (y n ) = n log a y Eemplo 5.6 Calcule: a) log 4 (6 4 ); b) log 2-5, sabendo que log 2= 0,3003. a) log 4 (6 4 ) = 4 log 4 6 = 4 2 = 8 (note que log 4 6 = y : 4 y = 6 4 y = 4 2 y = 2) b) ) log 2-5 = -5 log 2= -5 0,3003 = -,5055 Propriedade VI Mudança de base As calculadoras permitem calcular logaritmos nas bases e e 0. É útil sabermos epressar funções logarítmicas, definidas em qualquer base, nas bases e ou 0. Assim: Se a > 0, b > 0, a, b, então log b = log log a a b Eemplo 5.7 Calcule log 7 5, sabendo que ln 5 = 2,70805 e ln7 =,9459 5 5 7 2,70805,0459,3966 47